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数列题型分类


数列复习基本知识点及经典结论总结
1、数列的概念及通项公式:
?s , (n ? 1) ? 1 n 求 a n 的方法: a n = ? ?s ? s , (n ? 2) n ?1 ? n

已知

S

练习:1)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-2,则 a2 等于( A.4

B.2 C.1 D.-2 ) D.-2

)

2)设数列{an}满足 a1=0,an+an+1=2,则 a2011 的值为( A.2 B.1 C.0

2.等差数列的有关概念: 等差数列的定义:即 a n ? an?1 ? d (n ? N * , 且n ? 2) .(或 a n ? 1 ? an ? d (n ? N *) ). (1)等差数列的判断方法:①定义法: a n ? 1 ? an ? d (常数) ? ?a n?为等差数列。 ② 中项法: 2 a n ?1? a n ? a n ? 2 ? ?a n?为等差数列。③通项公式法:a n ? an ? b(a,b 为常数)? ?a n? 为等差数列。④前 n 项和公式法: s n ? An 2 ? Bn (A,B 为常数) ? ?a n?为等差数列。 (2) 等差数列的通项: 公式变形为: a n ? an ? b . 其中 a=d, b= a1 an ? a1 ? (n ?1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。 -d. S3 S2 练习:1) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 - =1,则数列{an}的公差是( 3 2 1 A. 2 B.1 C.2 D.3 . )

2)首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是________ (3)等差数列的前 n 和: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d. , S n ? na1 ? 2 2
d

d ? An 2 ? Bn 公式变形为: s n ,其中 A= 2 ,B= a 1 ? . 2
练习:1)数列 {an } 中, an ? an ?1 ?

3 15 1 (n ? 2, n ? N * ) , an ? ,前 n 项和 Sn ? ? ,则 a1 =__ 2 2 2

,n =

__



2)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n2 ,求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn .

1

(4)等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ? 3.等差数列的性质:

a?b 。 2

(1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜 率为公差 d ;前 n 和 S n ? na1 ? 数列。 ( 3 ) 对 称 性 : 若 ?a n? 是 有 穷数 列 , 则 与 首 末两 项 等距 离 的 两 项 之 和都 等 于首 末 两 项 之 和 . 当

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2 (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常

m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p .
练习:1)等差数列 {an } 中, Sn ? 18, an ? an?1 ? an?2 ? 3, S3 ? 1 ,则 n =____; 2)数列{an}的通项公式为 an=2n-49,当该数列的前 n 项和 Sn 达到最小时,n 等于( A.24 B.25 C.26 D.27 )

(4)若 {an } 是等比数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,…也成等差数列. 练习:1)等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,则它的前 3n 和为 2)在等差数列中,S11=22,则 a6 =______; 3)项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的中间项与项数. 。

(6)单调性:设 d 为等差数列 ?a n? 的公差,则 d>0 ? ?a n? 是递增数列;d<0 ? ?a n? 是递减数列;d=0 ? ?a n? 是常数数列 (7) 若 等 差 数 列 {an } 、 {bn } 的 前 n 和 分 别 为 An 、 Bn , 且

An ? f ( n) , 则 Bn

an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1
练习: 设 { an } 与 { bn } 是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,若

Sn 3n ? 1 ,那么 ? Tn 4n ? 3

an ? ___________ bn
2

(8)已知 ?a n? 成等差数列,求 s n 的最值问题:

an ① 若 a1 ? 0 ,d<0 且满足 ? ?

?

? 0,

? ?an ?1 ? 0

?a n ? 0, ,则 ,则 s n 最大;②若 a1 ? 0 ,d>0 且满足 ? s n 最小. ? ? ?a n ?1 ? 0

练习:1)等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值;

2)若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整 数n是 4.等比数列的有关概念:如果数列 a n 从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这

? ?

a 个数列叫做等比数列,这个常数叫等比数列的公比。即 a n ? q(n ? * , n ? 2) (或 n ? 1 ? q(n ? N *) N an a n ?1 a a a (1)等比数列的判断方法:定义法 n ?1 ? q(q为常数) ,其中 q ? 0, an ? 0 或 n ?1 ? n (n ? 2) 。 an an an ?1
练习:1)一个等比数列{ an }共有 2n ? 1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则 an ?1 为____; 2)数列 {an } 中, Sn =4 an ?1 +1 ( n ? 2 )且 a1 =1,若 bn ? an?1 ? 2an ,求证:数列{ bn }是等比数列。

(2)等比数列的通项: an ? a1qn?1 或 an ? amqn?m 。 练习:设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定的是( a5 A. a3 S5 B. S3 C. an+1 an Sn+1 D. Sn )

等比数列的前 n 和:当 q ? 1 时, Sn ? na1 ;当 q ? 1 时, Sn ?
练习:等比数列中, q =2,S99=77,求 a3 ? a6 ? ? ? a99

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 。 1? q 1? q

(4)等比中项:如果 a、G、b 三个数成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,即 G= ? ab . 5.等比数列的性质: (1) 对称性: 若 ?a n? 是有穷数列, 则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当 m ? n ? p ? q 时,则有 am .an ? a p .aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am .an ? a p .
3
2

练习:1)在等比数列 {an } 中, a3 ? a8 ? 124, a4a7 ? ?512 ,公比 q 是整数,则 a10 =___; 2)各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ?

? log3 a10 ?



(2)若 {an } 是等比数列,且公比 q ? ?1 ,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,…也是等比数列。 练习:1)已知 a ? 0 且 a ? 1 ,设数列 {xn } 满足 log a xn?1 ? 1 ? log a xn (n ? N *) ,且 x1 ? x2 ? 则 x101 ? x102 ?

? x100 ? 100 ,

? x200 ?

.

2)在等比数列 {an } 中, S n 为其前 n 项和,若 S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 ,则 S 20 的值为______ (3) 单调性: 若 a1 ? 0, q ? 1 , 或 a1 ? 0 , 若 a1 ? 0, q ? 1 ,或 a1 ? 0,0 ? q ? 1 ?q 1? 则 {an } 为递增数列;

则 {an } 为递减数列;若 q ? 0 ,则 {an } 为摆动数列;若 q ? 1 ,则 {an } 为常数列. (4) 当 q ? 1 时, S n ?

? a1 n a q ? 1 ? aqn ? b ,这里 a ? b ? 0 ,但 a ? 0, b ? 0 ,这是等比数列前 1? q 1? q

n 项和公式的一个特征,据此很容易根据 Sn ,判断数列 {an } 是否为等比数列。
练习:若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r = (5)在等比数列 {an } 中,当项数为偶数 2 n 时, S偶 ? qS奇 ;项数为奇数 2n ? 1 时, S奇 ? a1 ? qS偶 . 6.数列的通项的求法: ⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 练习:已知数列 3

1 1 1 1 ,5 ,7 ,9 , ? 试写出其一个通项公式:__________ 4 8 16 32

⑵已知 Sn (即 a1 ? a2 ?

S ,(n ? 1) ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ? S1 ? S ,(n ? 2) 。 n n ?1

?

练习:1)已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an ;

2)数列 {an } 满足

1 1 a1 ? 2 a2 ? 2 2

?

1 an ? 2n ? 5 ,求 an 2n

4

⑶已知 a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? f (n) ,求 an ,用作商法: an ? ? f (n) 。 ,(n ? 2)

f (1),(n ? 1) ? ? ? f (n ? 1) ?

练习:数列 {an } 中, a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n 2 ,则 a3 ? a5 ? ______ ⑷若 an?1 ? an ? f (n) 求 an 用累加法: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? 练习:已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ?

? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。

1 n ?1 ? n

(n ? 2) ,则 an =________

⑸已知

an ?1 a a ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? an an ?1 an ? 2

?

a2 ? a1 (n ? 2) 。 a1

练习:已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2 an ,求 an

⑹已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。特别地, (1)形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比 为 k 的等比数列后,再求 an 。 练习:①已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an ;

②已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2n ,求 an ;

(2)形如 an ?

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b
an ?1 ,求 an ; 3an ?1 ? 1

练习:已知 a1 ? 1, an ?

5

7.数列求和的常用方法: (1)分组求和法: (2)倒序相加法: 练习:已知 f ( x) ?

1 1 1 x2 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =______ 2 2 3 4 1? x

(3)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,即数列是 一个“差· 比”数列,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 练习:已知 f(x)=mx(m 为常数,m>0 且 m≠1).设 f(a1),f(a2),…,f(an)…(n∈N)是首项为 m2,公比 为 m 的等比数列. (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)若 bn=anf(an),且数列{bn}的前 n 项和为 Sn,当 m=2 时,求 Sn; (3)若 cn=f(an)lgf(an),问是否存在 m,使得数列{cn}中每一项恒小于它后面的项?若存在,求出 m 的 取值范围;若不存在,请说明理由.

(4)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时一些正负抵消,从而前 n 项化成首尾若干少数 项之和。如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有: ①

1 ?; n(n ? 1)



1 ? n(n ? k )


;③

1 1 ? 2 ? 2 k k ?1



1 ? (2n ? 1)(2n ? 1)

1 1 1 1 ? [ ? ] ; n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

练习:1)求和:

1 1 ? ? 1? 4 4 ? 7

?

1 ? (3n ? 2) ? (3n ? 1)

2)在数列 {an } 中, a n ?

1 n ? n ?1

,且 Sn=9,则 n=_____;

6


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