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2013-2009理科数学高考真题(学生)


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五 年 高 考 理 科 数 学 真 题 教 学 监 督 电 话 : 18673 289000

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2009-2013 年新课标高考数学考点汇总(理)


2009
1 集合运算: 不等式、交

2010
集合运算: 不等式、交

2011
复数运算: 分式、共轭复数

2012
集合运算: 有限集

2013
集合运算: 不等式、集合间 关系

2

复数运算: 分式、共轭复数

复数运算: 分式、共轭复数

函数性质: 奇偶性、单调性

排列组合:

复数运算: 分式、模

3

向量运算: 数量积、模

导数的几何意义: 程序框图 切线方程 函数: 实际问题、函数图 象 运算 概率计算: 古典概型

复数运算:

统计: 分层抽样

4

解析几何: 直线与圆的方程

圆锥曲线: 椭圆、离心率

圆锥曲线: 双曲线、离心率

5

排列组合:

逻辑与命题: 真假性、或与且

三角函数: 定义、 二倍角公式 三视图: 三棱锥与圆锥组 合体,无计算

数列: 等比数列 程序框图: 功能

程序框图: 运算、范围 立体几何: 球体嵌入正方体 体积计算

6

数列: 等比数列

概率计算: 期望

7

导数的几何意 义:切线方程

程序框图 运算 函数: 不等式、数形结合

圆锥曲线: 双曲线、离心率 二项式:

三视图: 三棱锥体积计算 圆锥曲线: 等轴双曲线、抛

数列: 等差数列 三视图: 长方体与圆柱组
-1-

8

三角函数: 图象、求参数

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校 区 一 :湘 钢 二 校 旁 银 行 正 对 面 校 区 二 :火 炬 小 学 旁 幸 福 郡 正 对 面 内 部 使 用 外 传 必 究 物线 合,体积计算

9

函数性质: 奇偶性、数形结 合

三角函数: 化简求值

定积分: 面积

三角函数: 单调性、 ? 的范 围

二项式: 系数、求参数的 值

10

程序框图 补全判断框

立体几何: 球体内接三棱柱

向量运算: 命题真假判断

函数性质: 判断函数图象

圆锥曲线: 椭圆、韦达定理

11

立体几何: 棱锥体积

函数性质: 数形结合、对数函 数

三角函数:

立体几何:

函数性质: 数形结合

辅助角、奇偶性、 球体内接三棱锥 对称性

12

函数性质: 函数与方程

圆锥曲线: 双曲线、韦达定理

函数性质: 图象交点、 数形结 合

函数性质: 反函数

数列: 递推关系

13

统计: 分层抽样

定积分:

线性规划:

向量运算:

向量运算: 求参数

平行四边形区域、 数量积、模 线性目标

14

数列: 等差数列

三视图: 无计算

圆锥曲线: 椭圆

线性规划: 四边形区域、线 性目标

数列:

an 与 Sn

15

三视图:

解析几何:

解三角形:

正态分布:

三角函数:

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校 区 一 :湘 钢 二 校 旁 银 行 正 对 面 校 区 二 :火 炬 小 学 旁 幸 福 郡 正 对 面 内 部 使 用 外 传 必 究 三棱锥体积计算 16 圆锥曲线: 双曲线、最值 直线与圆的方程 解三角形: 余弦定理、面积 立体几何: 球体内接四棱锥 求概率 数列: 已知递推关系求 和 17 解三角形: 实际问题 数列: 等比数列; 错位相减法求和 数列: 等比数列、 结合对 数 拆项相消法求和 18 立体几何: 线面角 反证法 立体几何: 线线垂直证明 线面角 立体几何: 线线垂直证明 二面角 统计与概率: 分段函数、分布 列 立体几何: 线线垂直证明 线面角 解三角形: 正弦定理、余弦 定理、求边长 解三角形: 正弦定理、余弦 定理 辅助角、最值 函数性质: 对称性与最值

19

统计与概率: 独立重复试验 概率、分布列

统计与概率: 卡方检验

统计与概率: 频数分布表、 分布 列

立体几何: 线线垂直证明 二面角

统计与概率: 独立重复试验 概率、分布列

20

解析几何: 椭圆方程 (待定 系数法) 、韦达定 理

解析几何: 椭圆、韦达定理

解析几何: 轨迹方程 (直接 法) 、基本不等式

解析几何: 抛物线、圆、基 本量计算;

解析几何: 轨迹方程 (定义 法) 、韦达定理

21

导数:

导数:

导数: 切线、求参数;

导数: 单调区间

导数: 切线、求参数;
-3-

单调区间(含参、 单 调 区 间 ( 不 含

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校 区 一 :湘 钢 二 校 旁 银 行 正 对 面 校 区 二 :火 炬 小 学 旁 幸 福 郡 正 对 面 内 部 使 用 外 传 必 究 分类讨论) 、 不等式证明 参) 、 不等式、 分类讨论 求参数取值范围 22 23 几何证明 坐标系与参数方 程: 参数方程下求距 离 几何证明 坐标系与参数方 程: 代入法求轨迹方 程 几何证明 坐标系与参数方 程: 极坐标下求距离 几何证明 坐标系与参数方 程: 极坐标下求距离 不等式、 分类讨论 求参数取值范围 不等式、 综合转化 不等式、分类讨 论求参数取值范 围 几何证明 坐标系与参数方 程: 求交点坐标

24

不等式: 绝对值的意义; 分段函数、自变 量的取值范围

不等式: 分段函数图象; 不等式转化, 求参 数的取值范围

不等式: 解不等式 (含 1 个 绝对值) 、 求参数的值

不等式: 解不等式(含 2 个绝对值) 、 求参数的值

不等式: 解不等式 (含 2 个绝对值) 、 求参数的取值范 围

2013 年湖南省高考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的,请把正确答案的代号填在答题卡上. 1. (5 分)i 是虚数单位,复数 A.2+i B.2﹣i =( ) C.﹣1+2i ) D.不能确定 D.﹣1﹣2i

2. (5 分)若 M={直线},N={抛物线},则 M∩ N 的元素个数是( A.0 B .1 C. 2

3. (5 分)如图为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,俯视图中曲线部分为半圆,尺寸如图, 则该几何体的体积为( )

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A.π+2

B.

C.2π+2

D.2

4. (5 分)高三某班团支部换届进行差额选举,从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担 任书记、组织委员和宣传委员,并且要求乙是上届组织委员不能连任原职,则换届后不同的任职结果有 ( ) A.16 种 B.18 种 C.20 种 D.22 种

5. (5 分)若在区域

内任取一点 P,则点 P 恰好在单位圆 x +y =1 内的概率为(

2

2



A.

B.

C.

D.

6. (5 分)设直线 l 的方程为:x+ysinθ﹣2013=0(θ∈R) ,则直线 l 的倾斜角 α 的范围是( A.[0,π) B. C. D.



7. (5 分)下列命题正确的有 2 ① 用相关指数 R 来刻画回归效果越小,说明模型的拟合效果越好; 2 2 ② 命题 p:“?x0∈R,x0 ﹣x0﹣1>0”的否定?p:“?x∈R,x ﹣x﹣1≤0”; ③ 设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1) ,若 P(ξ>1)=p,则 ④ 回归直线一定过样本中心( ) . ( A.1 个 B .2 个 ) C. 3 个 D.4 个 ;

8. (5 分)在平面直角坐标系中,定义点 P(x1,y1) 、Q(x2,y2)之间的“理想距离”为:d(P,Q)=|x1 ﹣x2|+|y1﹣y2|;若 C(x,y)到点 A(2,3) 、B(8,8)的“理想距离”相等,其中实数 x、y 满足 0≤x≤8、 0≤y≤8,则所有满足条件的点 C 的轨迹的长度之和是( ) A.3+ B. C.10 D.5

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校 区 一 :湘 钢 二 校 旁 银 行 正 对 面 校 区 二 :火 炬 小 学 旁 幸 福 郡 正 对 面 内 部 使 用 外 传 必 究 二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 0 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应号后 的横线上. (一)选做题(请考生在第 9,10,11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) (二) 必做题(12~16 题) 9.计算 的值等于 _________ .

10. (5 分) 如图, 点 A, B, C 是圆 O 上的点, 且



, 则圆 O 的面积等于 _________ .

11. (5 分)若曲线 C 的极坐标方程为 ρcos θ=2sinθ,则曲线 C 的普通方程为 _________ . 12. (5 分)看图程序运行后的输出结果 s= _________ .

2

13. (5 分)已知 α、β 是不同的两个平面,直线 a?α,直线 b?β,命题 p:a 与 b 没有公共点;命题 q:α∥ β, 则p是q的 _________ 条件.

14. (5 分) 为了保证信息安全传输, 有一种称为秘密密钥密码系统, 其加密、 解密原理如下: 明文 密文 密文 明文.现在加密密钥为 y=loga(x+2) ,如上所示,明文“6”通过加密后得到密文

“3”,再发送,接受方通过解密密钥解密得到明文“6”.若接受方接到密文为“4”,则解密后得明文为 _________ . 15. (5 分)已知 a,b,c 成等差数列,则直线 ax﹣by+c=0 被曲线 x +y ﹣2x﹣2y=0 截得的弦长的最小值 为 _________ .
2 2

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*

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2 x﹣1

校 区 一 :湘 钢 二 校 旁 银 行 正 对 面 校 区 二 :火 炬 小 学 旁 幸 福 郡 正 对 面 内 部 使 用 外 传 必 究 16. (5 分)已知 x,y∈N ,且 1+2+3+4+…+y=1+9+9 ++…+9 示成 x 的函数,其解析式是 y= _________ . ,当 x=2 时,y= _________ ;若把 y 表

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (12 分)已知 ,设 ω>0, , .

,若 f(x)图象中相邻的两条对称轴间的距离等于 (1)求 ω 的值; (2)在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, 的值.

.当 f(A)=1 时,求 b,c

18. (12 分) 在一次考试中共有 8 道选择题, 每道选择题都有 4 个选项, 其中有且只有一个选项是正确的. 某 考生有 4 道题已选对正确答案,其余题中有两道只能分别判断 2 个选项是错误的,还有两道题因不理解题 意只好乱猜.

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校 区 一 :湘 钢 二 校 旁 银 行 正 对 面 校 区 二 :火 炬 小 学 旁 幸 福 郡 正 对 面 内 部 使 用 外 传 必 究 (Ⅰ )求该考生 8 道题全答对的概率; (Ⅱ )若评分标准规定:“每题只选一个选项,选对得 5 分,不选或选错得 0 分”,求该考生所得分数的分布 列.

19. (12 分)正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长是 ,侧棱长是 3,点 E、F 分别在 BB1、DD1 上, 且 AE⊥ A1B,AF⊥ A1D. (1)求证:A1C⊥ 面 AEF; (2)求截面 AEF 与底面 ABCD 所成二面角 θ 的正切值.

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校 区 一 :湘 钢 二 校 旁 银 行 正 对 面 校 区 二 :火 炬 小 学 旁 幸 福 郡 正 对 面 内 部 使 用 外 传 必 究 20. (13 分)京广高铁于 2012 年 12 月 26 日全线开通运营,G808 次列车在平直的铁轨上匀速行驶,由于 遇到紧急情况,紧急刹车时列车行驶的路程 S(t) (单位:m)和时间 t(单位:s)的关系为: . (1)求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间; (2)求列车正常行驶的速度; (3)求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值.

21. (13 分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M(1,2) ,它们在 x 轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的 对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点. (1)求这三条曲线的方程; (2)对于抛物线上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,求 a 的取值范围.

22. (13 分)已知二次函数 f(x)=x ﹣ax+a(x∈R)同时满足: ① 不等式 f(x)≤0 的解集有且只有一个元素; ② 在定义域内存在 0<x1<x2,使得不等式 f(x1)>f(x2)成立.

2

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湘潭三人行教育数学教研中心 设数列{an}的前 n 项和 Sn=f(n) , (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}中,令

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,Tn=

,求 Tn;

(3)设各项均不为零的数列{cn}中,所有满足 ci?ci+1<0 的正整数 i 的个数称为这个数列{cn}的变号数.令 (n 为正整数) ,求数列{cn}的变号数.

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2012 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学(理工农医类)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。
2 1.设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {x x ? x} ,则 M ? N ?

A. {0} 2.命题“若 ? ? A.若 ? ?

B. {0,1}

C. {?1,1}

D. {?1,0,1}

?
4

,则 tan ? ? 1 ”的逆否命题是 B.若 ? ?

?
4

,则 tan ? ? 1

?
4

,则 tan ? ? 1

C.若 tan ? ? 1,则 ? ?

?
4

D.若 tan ? ? 1,则 ? ?

?
4

3.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能 是 ...

A

B

C

D

4.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据

? ? 0.85x ? 85.71,则下列结论中不正确 的 ( xi , yi ) (i ? 1,2,?, n) ,用最小二乘法建立的回归方程为 y ...
是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心 ( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重比为 58.79 kg 5.已知双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 10 ,点 P(2,1) 在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 a2 b2

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校 区 一 :湘 钢 二 校 旁 银 行 正 对 面 校 区 二 :火 炬 小 学 旁 幸 福 郡 正 对 面 内 部 使 用 外 传 必 究 A.

x2 y2 ? ?1 20 5

B.

x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 5 20 80 20 20 80

6.函数 f ( x) ? sin x ? cos( x ? A. [?2,2]

?
6

) 的值域为
C. [ ?1,1] D. [ ?

B. [ ? 3, 3 ]

3 3 , ] 2 2

7.在 ?ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , AB ? BC ? 1 ,则 BC ? A. 3 B. 7 C. 2 2 D. 23

8 .已知两条直线 l1 : y ? m 和 l 2 : y ?

8 (m ? 0) , l1 与函数 y ? log2 x 的图像从左至右相交于点 2m ? 1

A, B ,l 2 与函数 y ? log2 x 的图像从左至右相交于点 C , D .记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分
别为 a , b .当 m 变化时, A. 16 2

b 的最小值为 a
C. 83 4 D. 43 4

B. 8 2

二、填空题: 本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分 ,共 35 分,把答案填在答题卡 中对应题 ... 号后的横线上. (一)选做题(请考生在第 9,10,11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) 9.在直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C1 : ? 有一个公共点在 x 轴上,则 a ? 10.不等式 2x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 0 的解集为

? x ? t ? 1, ? x ? a sin ? , a ? 0) (t 为参数) 与曲线 C2 : ? ( ? 为参数, ? y ? 1 ? 2t ? y ? 3 cos?
. .

11.如图 2,过点 P 的直线与⊙ O 相交于 A, B 两点.若 PA ? 1 ,

AB ? 2 , PO ? 3 ,则⊙ O 的半径等于
(二)必做题(12~16 题) 12.已知复数 z ? (3 ? i) ( i 为虚数单位),则 z ?
2





13. (2 x ?

1 x

) 6 的二项展开式中的常数项为
3

. (用数字作答)

14 . 如 果 执 行 如 图

所 示 的 程 序 框 图 , 输 入 x ? ?1, n ? 3 , 则 输 出 的 数

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S?



15.函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) 的导函数 y ? f ?( x) 的部分图象如图 4 所示,其中, P 为图象与 y 轴的交点,

A, C 为图象与 x 轴的两个交点, B 为图象的最低点.
(1)若 ? ?

?
6

,点 P 的坐标为 (0,

3 3 ) ,则 ? ? 2



(2)若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在 ?ABC 内的概率为 16.设 N ? 2n (n ? N * , n ? 2) ,将 N 个数 x1 , x2 ,



, xN 依次放入编号为1, 2,

, N 的 N 个位置,得到排列

N 和 2 N N 后 个位置,得到排列 P xN ?1x2 x4 xN ,将此操作称为 C 变换.将 P1 分成两段,每段 个 1 ? x1 x3 2 2 N i 数,并对每段作 C 变换,得到 P 2 ;当 2 ? i ? n ? 2 时,将 P i 分成 2 段,每段 i 个数,并对每段作 C 变 2

P0 ? x1 x2

xN .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前

换,得到 Pi ?1 .例如,当 N ? 8 时, P 2 ? x1 x5 x3 x7 x2 x6 x4 x8 ,此时 x7 位于 P 2 中的第 4 个位置. (1)当 N ? 16 时, x7 位于 P 2 中的第 (2)当 N ? 2 (n ? 8) 时, x173 位于 P 4 中的第
n

个位置; 个位置.

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客 的相关数据,如下表所示.

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x , y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前 的等候时间不超过 (注:将频率视为概率) ...2.5 分钟的概率.

18. (本小题满分 12 分) 如图 5 ,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , AB ? 4 ,

BC ? 3 , AD ? 5 , ?DAB ? ?ABC ? 90? , E 是 CD 的中点.
(Ⅰ)证明: CD ? 平面 PAE ; (Ⅱ)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的 角相等,求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

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19. (本小题满分 12 分) 已 知 数 列 {an } 的 各 项 均 为 正 数 , 记 A(n) ? a1 ? a2 ?

? an , B(n) ? a2 ? a3 ?

? an?1 ,

C(n) ? a3 ? a4 ?

? an?2 , n ? 1, 2,

.
*

(Ⅰ)若 a1 ? 1, a2 ? 5 ,且对任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成等差数列,求数列 {an } 的通 项公式.
* ( Ⅱ ) 证 明 : 数 列 {an } 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 的 充 分 必 要 条 件 是 : 对 任 意 n ? N , 三 个 数

q 的等比数列. A( n), B (n ),C (n组成公比为 )

20. (本小题满分 13 分) 某企业接到生产 3000 台某产品的 A,B,C 三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为 2,2,1(单位:件) .已知每个工人每天可生产 A 部件 6 件,或 B 部件 3 件,或 C 部件 2 件.该企业 计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部件,生产 B 部件的人数与生产 A 部件的人数成正比, 比例系数为 k ( k 为正整数) . (Ⅰ)设生产 A 部件的人数为 x ,分别写出完成 A,B,C 三种部件生产需要的时间; (Ⅱ)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时 间最短时具体的人数分组方案.

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21. (本小题满分 13 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 上的点均在圆 C2 : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 9 外,且对 C1 上任意一点 M , M 到 直线 x ? ?2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x 0, y 0)( y 0 ? ? 3) 为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于点 A, B 和

C , D .证明:当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A, B , C, D 的纵坐标之积为定值.

22. (本小题满分 13 分)
ax 已知函数 f ( x) ? e ? x ,其中 a ? 0 .

(Ⅰ)若对一切 x ? R , f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的取值集合. (Ⅱ)在函数 f ( x ) 的图像上取定两点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 ))( x1 ? x2 ) ,记直线 AB 的斜率为 k .问: 是否存在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使 f ?( x) ? k 成立?若存在,求 x0 的取值范围;若不存在,请说明理由.

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2011 年普通高等学校招生全国统一考试 (湖南卷)
数学(理工农医类)
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 6 页,时量 120 分钟,满分 150 分。 参考公式: (1) P( B A) ?

P( AB) ,其中 A, B 为两个事件,且 P( A) ? 0 , P( A)

(2)柱体体积公式 V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高。 (3)球的体积公式 V ?

4 ? R 3 ,其中 R 为求的半径。 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.若 a, b ? R , i 为虚数单位,且 (a ? i )i ? b ? i 则 A. a ? 1 , b ? 1 B. a ? ?1, b ? 1 C. a ? ?1, b ? ?1 D. a ? 1, b ? ?1

2 2.设集合 M ? ?1, 2? , N ? a , 则 “ a ? 1 ”是“ N ? M ”的

? ?

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3.设图 1 是某几何体的三视图,则该几何体的体积为

9 ? ? 12 2 9 B. ? ? 18 2 C. 9? ? 42 D. 36? ? 18
A. 4. 通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:

n ? ad ? bc ? 110 ? ? 40 ? 30 ? 20 ? 20 ? 由k ? 算得, k 2 ? ? 7.8 . 60 ? 50 ? 60 ? 50 ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2

2

2

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参照附表,得到的正确结论是 A.再犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.再犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%一上的把握人物“爱好该项运动与性别无关” 5.设双曲线 A.4 6.由直线 x ? ?

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ? 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为 a2 9
B.3 C.2 D.1

?
3

,x ?

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为
C.

A.

1 2

B.1

3 2

D.

3

?y ? x ? 7.设 m>1,在约束条件 ? y ? mx 下,目标函数 Z=X+my 的最大值小于 2,则 m 的取值范围为 ?x ? y ? 1 ?
A.(1, 1 ? 2 ) B.( 1 ? 2 , ?? ) C.(1,3 ) D.(3, ?? )
2

8.设直线 x=t 与函数 f ( x) ? x

g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M,N,则当 MN 达到最小时 t 的值为
C.

A.1

B.

1 2

5 2

D.

2 2

二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应号后 的横线上。 (一)选做题(请考生在 9、10、11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) 9.在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? , ( ? 为参数) 在极坐标系 (与直角坐标系 xOy ? y ? 1 ? sin ?

取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴中, 曲线 C2 的方程为 p ? cos? ? sin ? ? ? 1 ? 0 , 则 C1 与 C2 的交点个数为 10.设 x, y ? R ,则 ( x ?
2

1 1 )( ? 4 y 2 ) 的最小值为 y 2 x2



11.如图 2,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径 BC=4,

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校 区 一 :湘 钢 二 校 旁 银 行 正 对 面 校 区 二 :火 炬 小 学 旁 幸 福 郡 正 对 面 内 部 使 用 外 传 必 究 AD⊥BC,垂足为 D,BE 与 AD 相交与点 F,则 AF 的长为 (二)必做题(12~16 题) 12.设 Sn 是等差数列 {an } (n ? N ? ) ,的前 n 项和,且

a1 ? 1, a4 ? 7 ,则 S9 =

.

13.若执行如图 3 所示的框图,输入 x1 ? 1 ,

x2 ? 2, x3 ? ?3, x ? 2 ,则输出的数等于



14. 在 边 长 为 1 的 正 三 角 形 ABC 中 , 设 BC ? 2BD ,

CA ? 3CE ,则 AD ? BE ?

.

15.如图 4,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正 方形。将一颗豆子随机地扔到该院内,用 A 表示事件“豆子 落在正方形 EFGH 内”, B 表示事件“豆子落在扇形 OHE (阴 C 影部分)内”,则 (1)P(A)= _____________; (2)P(B|A)= . 16.对于 n ? N
?

,将 n 表示为

n ? a0 ? 2k ? a1 ? 2k ?1 ? a2 ? 2k ?2 ? ... ? ak ?1 ? 21 ? ak ? 20 ,当 i ? o 时, ai ? 1 ,当 1 ? i ? k 时, a1 为 0 或 1.
0 2 1 0 记 I (n) 为上述表示中 ai 为 0 的个数(例如: I ? 1? 2 , 4 ? 1? 2 ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 ),故 I (1) ? 0 , I (4) ? 2 ),

则 (1) I (12) ? ________________;(2)

?2
n ?1

m

f (n)

________________;

三、解答题:本大题共 6 小题,东 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 3 sinA-cos (B+

? )的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小。 4

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18. (本小题满分 12 分) 某商店试销某种 20 天,获得如下数据:

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变) ,设某天开始营业时有该商品 3 件,当天营业结束 后检查存货,若发现存货少于 2 件,则当天进货补充 至 3 件,否则不进货 ,将频率视为概率。 .. ... (Ⅰ)求当天商品不进货的概率; (Ⅱ)记 x 为第二天开始营业时该商品的件数,求 x 的分布列和数学期型。

19.(本小题满分 12 分) 如图 5,在圆锥 PO 中,已知 PO = 2 ,⊙O 的直径 AB ? 2 , C 是 (Ⅰ)证明:平面 POD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)求二面角 B ? PA ? C 的余弦值。 的中点, D 为 AC 的中点.

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20.(本小题满分 13 分) 如图 6,长方形物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向作匀速移动,速度为 v(v>0) ,雨速沿 E 移 动方向的分速度为 c(c ? R) 。E 移动时单位时间 内的淋雨量包括两部分: (1)P 或 P 的平行面(只有一个 ....

1 1 ; (2)其它面的淋雨量之和,其值为 , 10 2 3 记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量,当移动距离 d=100,面积 S= 时。 2
面淋雨)的淋雨量,假设其值与 v ? c × S 成正比,比例系数为 (Ⅰ)写出 y 的表达式 (Ⅱ)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v,使总淋雨量 y 最少。

21、(本小题满分 13 分)

x2 y2 3 2 如图 7,椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,x 轴被曲线 C2 : y ? x ? b 截得的线段长等 2 a b

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校 区 一 :湘 钢 二 校 旁 银 行 正 对 面 校 区 二 :火 炬 小 学 旁 幸 福 郡 正 对 面 内 部 使 用 外 传 必 究 于 C1 的长半轴长。 (Ⅰ)求 C1 , C2 的方程; (Ⅱ)设 C 2 与 y 轴的焦点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C 2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交 与 D,E. (i)证明:MD⊥ME; (ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是 S1 , S 2 .问:是否存在直线 l,使得

S1 17 ? ? S 2 32

请说明理由。

22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = x ,g ( x )= x +
3

x。

(Ⅰ)求函数 h ( x )= f ( x )-g ( x )的零点个数。并说明理由; (Ⅱ)设数列{ an }( n ? N )满足 a1 ? o(a ? 0) , f (an?1 ) ? g (an ) ,证明:存在常熟 M,使得 对于任
n n 意的 n ? N ,都有 an ≤ M .

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2010 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学(理工农医类)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.已知集合 M ? ?1, 2,3? , N ? ?2,3, 4? ,则 A. M ? N C. M B. N ? M D. M

N ? ?2,3?

N ? ?1,4?

2.下列命题中的假命题 是 ... A. ?x ? R , 2 >0 C. ?x ? R , lg x<1
x ?1 ? B. ?x ? N , ? x ? 1? >0
2
[来源:Z&xx&k.Com]

D. ?x ? R , tan x ? 2

3.极坐标方程 ? ? cos ? 和参数方程 ? A.圆、直线

? x ? ?1 ? t , (t 为参数)所表示的图形分别是 ? y ? 2 ? 3t
[来源:学 +科+网]

B. 直线、圆

C.圆、圆

D.直线、直线

4.在 Rt?ABC 中, ?C ? 90 , AC ? 4 ,则 AB AC 等于 A. ?16 5. B. ?8 C.8 D.16

?

4

2

1 dx 等于 x
B. 2 ln 2 C. ? ln 2 D. ln 2

A. ?2 ln 2

6. 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若 ?C ? 120 , c ? A.a>b B.a<b C.a=b

2a ,则

[来源:学_

D.a 与 b 的大小关系不能确定
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校 区 一 :湘 钢 二 校 旁 银 行 正 对 面 校 区 二 :火 炬 小 学 旁 幸 福 郡 正 对 面 内 部 使 用 外 传 必 究 7.在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同 信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.15

8.用 min ?a, b? 表示 a , b 两数中的最小值.若函数 f ( x) ? min x , x ? t 的图像关于直线 x ? ? 则 t 的值为 A. ?2 B.2 C. ? 1 D.1

?

?

1 对称, 2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 9.已知一种材料的最佳加入量在 110g 到 210g 之间.若用 0.618 法安排实验,则第一次试点的加入量可以是 10. 如图 1 所示, 过 O 外一点 P 作一条直线与 O 交于 A,B 两点. 已知 PA=2, 点 P 到 O 的切线长 PT=4,则弦 AB 的长为 . g.

11.在区间 ? ?1,2? 上随机取一个数 x ,则 x ? 1的概率为
2 2 2 2

. .

12.图 2 是求 1 ? 2 ? 3 ? …+100 的值的程序框图,则正整数 n ?

3 13.图 3 中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm 的几何体的三视图,则 h ?

cm .

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校 区 一 :湘 钢 二 校 旁 银 行 正 对 面 校 区 二 :火 炬 小 学 旁 幸 福 郡 正 对 面 内 部 使 用 外 传 必 究 开始

i ? 1, s ? 0

i ? i ?1

s ? s ? i2
i ? n?
否 是

输出 s

结束 图2

14.过抛物线 x ? 2 py( p>0) 的焦点作斜率为 1 的 直线与该抛物线交于 A, B 两点, A, B 在 x 轴上的正射
2

影分别为 D, C .若梯形 ABCD 的面积为 12 2 ,则 p ?
?



15.若数列 ?an ? 满足:对任意的 n ? N ,只有有限个正整数 m 使得 am<n 成立,记这样的 m 的个数为

(an )? , 则 得 到 一 个 新 数 列 ?( an )? ? . 例 如 , 若 数 列 ?an ? 是 1, 2,3…,n,… , 则 数 列 ?( an )? ? 是
0,1, 2,…,n ? 1,… .已知对任意的 n ? N? , an ? n2 ,则 (a5 )? ?


((an )? )? ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2sin 2 x . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值;

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校 区 一 :湘 钢 二 校 旁 银 行 正 对 面 校 区 二 :火 炬 小 学 旁 幸 福 郡 正 对 面 内 部 使 用 外 传 必 究 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的零点的集合.

17. (本小题满分 12 分) 图 4 是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位:吨) 的频率分布直方图.
[来源:学.科.网]

(Ⅰ)求直方图中 x 的值. (Ⅱ)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看作 有放回的抽样) , 求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和 数学期望.

18. (本小题满分 12 分) 如图 5 所示,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. (Ⅰ)求直线 BE 的平面 ABB1A1 所成的角的正弦值; (Ⅱ)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE ?证明你的结论.

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19. (本小题满 分 13 分) 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A,B 两点各建一个考察基地.视冰川面为 平面形,以过 A,B 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的垂直 平分线为 y 轴建立平面直角坐标系(图 6) .在直线

x ? 2 的右侧,考察范围为到点 B 的距离不超过
两点的距离之和不超过 4 5 km 的区域. (Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程;

6 5 km 的区域;在直线 x ? 2 的左侧,考察范围为到 A,B 5

(Ⅱ)如图 6 所示,设线段 PP 1 2 ,P 2P 3 是冰川的部分 边界线(不考虑其他边界) ,当冰川融化时,边界线沿 与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动 0.2km,以后每年移动的距离为前一年的 2 倍,求冰川 边界线移动到考察区域所需的最短时间.

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20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ? R), 对任意的 x ? R ,恒有 f ' ( x) ? f ( x ) . (Ⅰ)证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? ( x ? c) ;
2

(Ⅱ)若对满足题设条件的任意 b,c,不等式 f (c) ? f (b) ? M (c ? b ) 恒成立,求 M 的最小值.
2 2

21. (本小题满分 13 分) 数列 ?an ? (n ? N ) 中, a1 ? a, an?1 是函数 f n ( x) ?
*

1 3 1 x ? (3an ? n 2 ) x 2 ? 3n 2 an x 的极小值点. 3 2

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求通项 an ; (Ⅱ)是否存在 a ,使数列 ?an ? 是等比数列?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

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2009 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 理科数学
一、 选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。 1. 若l o g
2

1 则 【 】 A.a ? 1 , b ? 0 a? 0 ,( )b ? 1 , 2
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湘潭三人行教育数学教研中心 B. a ? 1 , b ? 0 C. 0 ? a ? 1 , b ? 0

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D. 0 ? a ? 1 , b ? 0

2.对于非零向量 a, b, “ a ? b ? 0 ”是“ a / / b ”的【 】 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3.将函数 y ? sin x 的图象向左 平移 ? (0 ? ? ? 2? ) 个单位后,得到函数 y ? sin( x ? .. 【 】 A.

?
6

) 的图象,则 ? 等于

? 6

B.

5? 6

C.

7? 6

D.

11? 6

4.如图 1,当参数 ? ? ?1 , ?2 时,连续函数 y ? 像分别对应曲线 C1 和 C2 , 则【 】 A . 0 ? ?1 ? ?2 C . ?1 ? ?2 ? 0 B . 0 ? ?2 ? ?1 D . ?2 ? ?1 ? 0

x ( x ? 0) 的图 1? ? x

y

c2 c1

o
图1

x

5.从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为【 】 A. 85 6.已知 D 是由不等式组 ? A. B. 56 C .49 D .28

? x ? 2 y ? 0, 所确定的平面区域,则圆 x2 ? y 2 ? 4 在区域 D 内的弧长为【 】 ?x ? 3y ? 0
B.

? 4

? 2

C.

3? 4

D.

3? 2
D1 B1 D C C1 A1

7.正方体 ABCD ? A C C1 的距离相等的点的个数为 1B 1C1D 1 的棱上到异面直线 AB, 【 】 A.2 B.3 C. 4 D.5
A

B

8.设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义.对于给定的正数 K,定义函数 f K ( x) ? ? 数 f ( x) ? 2 ? x ? e
?x

? f ( x), f ( x) ? K , 取函 ? K , f ( x) ? K .

。若对任意的 x ? (??, ??) ,恒有 f K ( x) ? f ( x ) ,则【 】
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校 区 一 :湘 钢 二 校 旁 银 行 正 对 面 校 区 二 :火 炬 小 学 旁 幸 福 郡 正 对 面 内 部 使 用 外 传 必 究 A.K 的最大值为 2 C.K 的最大值为 1 B.K 的最小值为 2 D.K 的最小值为 1

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分 9.某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱兵乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,则喜爱 篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ _ _.

10.在 (1 ? x)3 ? (1 ? x )3 ? (1 ? 3 x )3 的展开式中, x 的系数为___(用数字作答). 11.若 x ? (0,

?
2

) ,则 2 tan x ? tan(

?
2

? x) 的最小值为

.

12.已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为 60 ,则双曲线 C 的离 心率为 13.一个总体分为 A,B 两层,其个体数之比为 4:1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本. 已知 B 层中甲、乙都被抽到的概率为

1 ,则总体中的个体数为 。 28

14.在半径为 13 的球面上有 A , B, C 三点,AB=6,BC=8,CA=10,则 (1)球心到平面 ABC 的距离为 ; .

(2)过A,B 两点的大圆面与平面 ABC 所成二面角(锐角)的正切值为
2 *

15.将正 ?ABC 分割成 n (n ? 2, n ? N ) 个全等的小正三角形(图 2,图 3 分别给出了 n=2,3 的情形) , 在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不 少于 3 时)都分别依次成等差数列.若顶点 A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和 为 f ( n) ,则有 f (2) ? 2 , f (3) ? ,? , f (n) ?
A 图2

.
A 图3

B

C

B

C

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)

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校 区 一 :湘 钢 二 校 旁 银 行 正 对 面 校 区 二 :火 炬 小 学 旁 幸 福 郡 正 对 面 内 部 使 用 外 传 必 究 在 ?ABC 中,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,求角 A,B,C 的大小
2

17. (本小题满分 12 分) 为拉动经济增长, 某市决定新建一批重点工程, 分别为基础设施工程、 民生工程和产业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的

1 1 1 , , .现在 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 2 3 6

(I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (II)记 ? 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求 ? 的分布列及数学期望。

18. (本小题满分 12 分)

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校 区 一 :湘 钢 二 校 旁 银 行 正 对 面 校 区 二 :火 炬 小 学 旁 幸 福 郡 正 对 面 内 部 使 用 外 传 必 究 如图 4,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ?

2 AA1 ,点 D 是
A1

E D

DE ? AE A1B1 的中点,点 E 在 AC 1 1 上,且
(I)证明:平面 ADE ? 平面 ACC1 A1 ; (II)求直线 AD 和平面 ABC 所成角的正弦值。

C1 B1

A B

C

19. (本小题满分 13 分) 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩. 经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2 ? x ) x 万元。 假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其它因素.记余下工程的费用为 y 万元。 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

20. (本小题满分 13 分)
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校 区 一 :湘 钢 二 校 旁 银 行 正 对 面 校 区 二 :火 炬 小 学 旁 幸 福 郡 正 对 面 内 部 使 用 外 传 必 究 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到点 F(3,0)的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d. 当点 P 运动时,d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和 (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 与轨迹 C 相交于 M,N 两点,求线段 MN 长度的最大值。

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校 区 一 :湘 钢 二 校 旁 银 行 正 对 面 校 区 二 :火 炬 小 学 旁 幸 福 郡 正 对 面 内 部 使 用 外 传 必 究 21. (本小题满分 13 分) 对于数列 {un } ,若存在常数 M>0,对任意的 n ? N ,恒有
*

un?1 ? un ? un ? un?1 ?
则称数列 {un } 为 B ? 数列.

? u2 ? u1 ? M ,

(Ⅰ)首项为 1,公比为 q( q ? 1) 的等比数列是否为 B-数列?请说明理由; 请以其中一组的一个论断条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假,并证明你的结论; (Ⅱ)设 Sn 是数列 ?xn ? 的前 n 项和,给出下列两组论断; A 组:①数列 ?xn ? 是 B-数列, B 组:③数列 ?Sn ? 是 B-数列, ②数列 ?xn ? 不是 B-数列; ④数列 ?Sn ? 不是 B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论 组成一个命题。判断所给命题的真假,并证明你的结论; (Ⅲ)若数列 ?an ? ,?bn ? 都是 B ? 数列,证明:数列 ?anbn ? 也是 B ? 数列。

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