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2014届高三数学一轮复习《离散型随机变量及其分布列》理 新人教B版


[第 62 讲

离散型随机变量及其分布列]

(时间:35 分钟 分值:80 分)

基础热身 1.投掷两枚硬币,不是随机变量的为( ) A.掷硬币的个数 B.正面向上的个数 C.反面向上的个数 D.正面向上和反面向上的个数之差的绝对值 2.[2013·广州调研] 已知离散型随机变量 X 的分布列为

/>X P

1

2

3

… …

k n

k n

k n

n k n

则 k 的值为( ) 1 A. B.1 C.2 D.3 2 3.[2013·南安侨光中学月考] 从一批含有 13 只正品,2 只次品的产品中,不放回地 任取 3 件,则取得次品数为 1 的概率是( ) 32 12 3 2 A. B. C. D. 35 35 35 35 4.设某运动员投篮投中的概率为 p=0.3,一次投篮时投中次数为 X,则 P(X=0)= ________.

能力提升 5.从标有 1~10 的 10 支竹签中任取 2 支,设所得 2 支竹签上的数字之和为 X,那么随 机变量 X 可能取得的值有( ) A.17 个 B.18 个 C.19 个 D.20 个 6.[2013·南平模拟] 一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的,从盒中任取 3 个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,其分布列为 P(X),则 P(X=4)的值为( ) 1 27 27 21 A. B. C. D. 220 55 220 25 7. [2013·北师大附中月考] 在 15 个村庄中 有 7 个村庄交通不方便, 现从中 任意选 10 4 6 C7C8 个村庄,用 X 表示这 10 个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于 10 的是( ) C15 A.P(X=2) B.P(X≤2) C.P(X=4) D.P(X≤4) 8. [2013·衢州质检] 随机变量 X 的概率 分布规律为 P(X=k)=

c , k=1, 2, k·(k+1)

?1 5? 3,4,其中 c 是常数,则 P? <X< ?的值为( ) ?2 2? 2 3 4 5 A. B. C. D. 3 4 5 6 9.[2013·昆明模拟] 甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3 个抢答题,比赛规定: 对于每一个题,没有抢到题的队伍得 0 分,抢到题并回答正确的得 1 分,抢到题但回答错误 的扣 1 分(即得-1 分).若 X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则 X 的所有可 能取值是________. 10.设随机变量 X 只能取 5,6,7,…,16 这 12 个值,且取每个值的概率相同,则 P(X >8)=________,P(6<X≤14)=________. 11.某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件 E 发生,该公司要赔偿 a 元, 设一年内 E 发生的概率为 p, 公司要求投保人交 x 元,则公司收益 X 的分布列是________. 12.(13 分)[2013·温州模拟] 一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有 1,2,3,4 2 四个数字,现随机投掷两次,正四面体面朝下的数字分别为 x1,x2,记 X=(x1-3) +(x2- 2 3) . (1)分别求出 X 取得最大值和最小值时的概率; (2)求 X 的分布列.

难点突破 13. (12 分)[2013·孝感模拟] 袋子中装有大小、 形状完全相同的 m 个红球和 n 个白球, 其中 m,n 满足 m>n≥2 且 m+n≤10(m,n∈N+), 若从中取出 2 个球,取出的 2 个球是同色 的概率等于取出的 2 个球是异色的概率. (1)求 m,n 的值; (2)从袋子中任取 3 个球,设取到红球的个数为 X,求 X 的分布列与数学期望.

课时作业(六十二) 【基础热身】 1.A [解析] 掷硬币的个数为 2,不是随机变 量;正面向上的个数为 0,1,2,是随 机变量;反面向上的个数为 0,1,2,是随机变量;正面向上和反面向上的个数之差的绝对 值为 0,2,是随机变量,故选 A.

k k k n n n 3.B [解析] 设随机变量 X 表示取出次品的个数,则 X 服从超几何分布,其中 N=15,
2.B [解析] 由离散型随机变量分布列的性质,得 + +…+ =1,得 k=1,故选 B. C2C13 12 = ,故选 B. 3 C15 35
1 2

M=2,n=3,它的可能的取值为 0,1,2,相应的概率为 P(X=1)=

4.0.7 [解析] 此分布列为两点分布列,则 P(X=0)=0.7. 【能力提升】 5.A [解析] 1~10 任取两个的和可以是 3~19 中的任意一个,共有 17 个. 2 1 C3C9 27 6.C [解析] 由题意取出的 3 个球必为 2 个旧球 1 个新球,故 P(X=4)= 3 = , C12 220 故选 C. 4 6 7.C [解析] 15 个村庄中,7 个村庄交通不方便,8 个村庄交通方便,C7C8表示选出的 4 6 C7C8 10 个村庄中恰有 4 个交通不方便、6 个交通方便的村庄,故 P(X=4)= 10 ,故选 C. C15 c c c c 5 1 5 8.D [解析] 由题意,得 + + + =1,即 c= ,于是 P <X< =P(X=1)+P(X= 2 6 12 20 4 2 2 c c 2 2 5 5 2)= + = c= × = ,故选 D. 2 6 3 3 4 6 9.-1,0,1,2,3 [解析] 甲获胜且获得最低分的情况是:甲抢到一 题并回答错误, 乙抢到两题并且都回答错误,此 时甲得-1 分,故 X 的所有可能取值为-1,0,1,2,3. 2 2 8 2 8 2 10. [解析] P(X>8)= = ,P(6<X≤14)= = . 3 3 12 3 12 3 11. X x-a x P p 1-p [解析] P(X=x-a)=p,P(X=x)=1-p. 所以 X 的分布列为

1-p 12.解:(1)掷出点数 x 可能是:1,2,3,4.则 x-3 分别得:-2,-1,0,1.于是(x 2 -3) 的所有取值分别为:0,1,4. 因此 X 的所有取值为 0,1,2,4,5,8. 1 1 1 2 2 当 x1 =1 且 x2 =1 时,X=(x1-3) +(x2-3) 可取得最大值 8,P(X=8)= × = . 4 4 16 2 2 当 x1=3 且 x2=3 时,X=(x1-3) +(x2-3) 可取得最小值 0, 1 1 1 P(X=0)= × = . 4 4 16 (2)由(1)知 X 的所有取值为 0,1,2,4,5,8. 1 P(X=0)=P(X=8)= ; 16 4 当 X=1 时,(x1,x2)的所有取值 为(2,3),(4,3),(3,2),(3,4),即 P(X=1)= 16

X P

x-a p

x

1 = ; 4 4 当 X=2 时,(x1,x2)的所有取值为(2,2),(4,4),(4,2),(2,4),即 P(X=2)= 16 1 = ; 4 当 X=4 时,(x1,x2)的所有取值为(1,3),(3,1), 2 1 即 P(X=4)= = ; 16 8 当 X=5 时,(x1,x2)的所有取值为(2,1),(1,4),(1,2),(4,1), 4 1 即 P(X=5)= = . 16 4 所以 X 的分布列为

X P
【难点突破】

0 1 16

1 1 4
2 2

2 1 4
1 1

4 1 8

5 1 4

8 1 16

Cm+Cn CmCn 13.解:(1)依题意得 2 = 2 , Cm+n Cm+n 2 即(m-n) =m+n,则 m+n 是完全平方数. 又 m>n≥2,m+n≤10,∴m+n =9,m-n=3, ∴m=6,n=3. (2)X 的取值为 0,1,2,3, 3 2 1 C3 1 C3C6 3 P(X=0)= 3= ;P(X=1)= 3 = ; C9 84 C9 14 1 2 3 C3C6 15 C6 5 P(X=2)= 3 = ;P(X=3)= 3= . C9 28 C9 21 X 的分布列为

X P
1 84 3 14

0 1 84 15 28

1 3 14 5 21

2 15 28

3 5 21

E(X)=0× +1× +2× +3× =2.


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