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高二下学期第二次月考文科数学试题及答案 (1)


2012-2013 学年下学期第二次月考高二 数学(文)试卷
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分 150 分,时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

?

?
i ?1

n

?

?

( x i ? x )

( y i ? y )

?
=
i ?1

n

xi yi ? n x y
? a ? y ? bx

线性回归方程系数公式 b ?

? (x
i ?1

n

? i

? x)

2

?
i ?1

n

xi ? n x
2

2

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.观察下列各图,其中两个分类变量 x , y 之间关系最强的是(D )

A

B

C

D

2.已知回归直线斜率的估计值是 1.23,样本平均数 x ? 4 , y ? 5 ,则该回归直线 方程为(B )
y A. ? ? 1 .2 3 x ? 4 y C. ? ? 0 .0 8 x ? 1 .2 3 y B. ? ? 1 .2 3 x ? 0 .0 8 y D. ? ? 1 .2 3 x ? 5

3.右图是一个程序框图,若开始输入的数字为 t ? 1 0 , 则输出结果为( C ) A.20 B.50 C.140 D.150 4.已知复数 z ?
1 4

3?i

?1 ?

3i

?

2

, z 是 z 的共轭复数,则 z ? z 为 A

(A)

(B)

1 2

(C)1
m ,b ? m ?

(D)2
m ? 1 ,则以下

5.已知 m ? 1 , a ? m ? 1 ? 结论正确的是( A) A. a ? b B. a ? b

C. a ? b

D. a , b 的大小不确定

6.若定义运算: a ? b ? ?

?a ?b

(a ? b) (a ? b)

,如 2 ? 3 ? 3 ,则下列等式不能成立的是(C ) .... B . ( a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

A. a ? b ? b ? a C. ( a ? b ) ? a ? b
2 2 2

D. ? ( a ? b ) ? ( c ? a ) ? ( c ? b )( c ? 0 c

7.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示: … ① ② ③ D. 8 n ? 2

??? ? ??? ? 8.复平面内,向量 O A 表示的复数为 1 ? i ,将 O A 向右平移一个单位后得到的向 ???? ? ???? ? 量为 O ?A ? ,则向量 O ?A ? 与点 A ? 对应的复数分别为( C )

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 (C ) A. 6 n ? 2 B. 8 n ? 2 C. 6 n ? 2

A. 1 ? i , 1 ? i B. 2 ? i , 2 ? i C. 1 ? i , 2 ? i D. 2 ? i 1 ? i 9.如图1所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过C作圆O的切线l,过A作l的 垂线AD,垂足为D,则∠DAC =( B ) A. 1 5 ? B. 3 0 ? C. 4 5 ? 10.如右图,在正三角形 ABC 中,D、E 分别在 AC、AB 上,
AD 1 ? ,AE=BE,则有( B ) AC 3

D. 6 0 ?

A. ? A E D ∽ ? B E D C. ? A E D ∽ ? A B D
? x?2

B. ? A E D ∽ ? C B D D. ? B A D ∽ ? B C D
? x?2

图1

? 4 ?3 ? a ? 0 有实根的充要条件是( D ) 11.关于 x 的方程 9 A. a ? ? 4 B. ? 4 ? a ? 0 C. a ? 0 D. ? 3 ? a ? 0 12.若梯形的中位线被它的两条对角线三等分,则梯形的上底 a 与下底 b(a<b)的 比是( A ) .

1 A. 2

1 B. 3

2 2 C. D. 3 5 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,答案填在题中横线上) 13.如图,在正方形 A B C D 中, E 是 B C 的中点, F 是 C D 上一点,且 C F ?
1 4
△ ABE ∽ △ AEF , AE ? EF , △ ADF ∽ △ ECF . ③ ④ 其

A

D

C D ,下列结论:① ? B A E ? 3 0 ,②

?

中正确的序号是 ② ③

F B E C

14.已知:△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 的中 点, 的延长线交 AC 于点 F, BE 则
AF AC ? __1/3__________.

A F E B G C

15.古希腊数学家把数 1,3,6,10,15,21,…叫做三角 数,它有一定的规律性,则第 30 个三角数减去第 28 个三 角数的值为____59_____. 16.若 z ? C 且 | z | ? 1 ,则 | z ? 2 ? 2 i | 的最小值是 3
D

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数 据: 年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量(万吨) 236 246 257 276 286 (1) 画出散点图 (2) 如果年需求量对年份有线性相关关系, 求回归直线方程;(3) 利用(2)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量。 解:(1)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,下面来配回归直 线方程,为此对数据预处理如下:

对预处理后的数据.容易算得



, 由计算结果,知所求回归直线方程为 即 =6.5(x-2006)+260.2。 ①



-257=b(x-2006)+a=6.5(x-2006)+3.2,

(2)利用直线方程①,可预测 2012 年的粮食需求量为 6.5(2012-2006)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(万吨)≈300(万吨) .

18. (本小题满分12分)设数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 a n ? 2 ? S n ( n ? N ? ) . (Ⅰ)求 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 的值并猜想其通项公式; (Ⅱ)用三段论证明数列 ? a n ? 是等比数列. 解: (Ⅰ)由 a n ? 2 ? S n ,得 a1 ? 1 ; a 2 ? 猜想 a n ? ( ) n ? 1 ( n ? N ? ) .
2 1 1 2

; a3 ?

1 4

; a4 ?

1 8



(Ⅲ)因为通项公式为 a n 的数列 ? a n ? ,若 则 ? a n ? 是等比数列; 因为通项公式 a n ? ( ) n ? 1 ,又
2 1 1
a n ?1 an ?

a n ?1 an

? p

, p 是非零常数,

1 2



所以通项公式 a n ? ( ) n ? 1 的数列 ? a n ? 是等比数列
2

19.本小题满分 12 分) ( 已知 a 、 b 、 c 、 d ? R , a ? b ? c ? d ? 1, ac ? bd ? 1, 且 求证: a 、 b 、 c 、 d 中至少有一个是负数。 证明:假设 a 、 b 、 c 、 d 都是非负数 因为 a ? b ? c ? d ? 1 , 所以 ( a ? b )( c ? d ) ? 1 , 又 ( a ? b )( c ? d ) ? ac ? bd ? ad ? bc ? ac ? bd , 所以 ac ? bd ? 1 , 这与已知 ac ? bd ? 1 矛盾。 所以 a 、 b 、 c 、 d 中至少有一个是负数。 20. (本小题满分 12 分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单

随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下: 性别 是否需要 40 30 需要 160 270 不需要 (Ⅰ)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (Ⅱ)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有 关? (Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中, 需要志愿者提供帮助的老年人的比例?说明理由. 男 女

解: (1)调查 的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需要帮助的 老年人的比例的估计值为
70 500 ? 14%
2

(2) K

2

?

500 ? (40 ? 270 ? 30 ? 160) 200 ? 300 ? 70 ? 430

? 9 .9 6 7 。

由于 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别 有关。 (III)由(II)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据 能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调 查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用 分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好. 21. (本小题满分 12 分) 如图,D ,E 分别为 ? A B C 的边 A B , A C 上的点, 且不与 ? A B C 的顶点重合。 已知 A E 的长为 m,AC 的长为 n, A D , A B 的长是 关于 x 的方程 x ? 1 4 x ? m n ? 0 的两个根。
2

(Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若 ? A ? 9 0 ? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D , E 所在圆的半径。 解: (I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC, 即
AD AC ? AE AB

.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。
2

因此∠ADE=∠ACB

(Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x -14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12.故 AD=2,AB=12. 取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点, 连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半 径为 DH. 由于∠A=90 ,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2
0

1 2

(12-2)=5.

22.(本小题满分12分)如图,过圆O外一点M作它的一条切线,切点为A,过A点作 直线AP垂直于直线OM, 垂足为P. (Ⅰ)证明: (Ⅱ)N为线段AP上一点,直线NB垂直于直线ON,且交圆O于B点,过B点的切 线交直线ON于K.证明: ? O K M ? 9 0 .
o


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