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广东理科历年高考数列真题题及答案

时间:2013-03-27


2012 年广东高考理科卷 11.已知递增的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a3 ? a2 ? 4 ,则 an ? _____________
2

19. (本小题满分 14 分)
设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn=an+1-2n+1,n∈N﹡,且 a1,a2+5,a3 成等差数列。 求 a1 的值; 求数列

{an}的通项公式。 证明:对一切正整数 n,有
1 1 1 3 ? ? ... ? ? . a1 a2 an 2

2007 年广东高考理科卷 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ?
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

21.(本小题满分 14 分)
已知函数 f ( x) ? x2 ? x? 1, ?、? 是方程 f ( x ) ? 0 的两个根 (? ? ? ) , f ?( x ) 是 f ( x) 的 导数.设 a1 ? 1, an ?1 ? an ? (1)求 ?、? 的值; (2)证明:对任意的正整数 n,都有 an ? ? ; (3)记 bn ? ln
an ? ? (n ? 1, 2,?) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an ? ? f (an ) (n ? 1, 2,?) , f ?(an )

2008 年广东高考理科卷 2.记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? , S4 ? 20 ,则 S6 ? (
A.16 B.24 D.48
1 2 C.36



21. (本小题满分 12 分)
设 p, q 为实数, ?,? 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的两个实根,数列 {xn } 满足 x1 ? p ,
4, . x2 ? p2 ? q , xn ? pxn?1 ? qxn?2 ( n ? 3, …)

(1)证明: ? ? ? ? p , ?? ? q ; (2)求数列 {xn } 的通项公式; (3)若 p ? 1 , q ?
1 ,求 {xn } 的前 n 项和 Sn . 4

2009 年广东高考理科卷 4. 巳知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, ,且 a5 ? a2n? 5 ? 22n ( n ? 3) ,则当 n ? 1 时, ?
log2 a1 ? log2 a3 ?? ? log2 a 2n? 1 ? ( )
A. n(2n ? 1) B. (n ? 1)2 C. n2 D. (n ? 1)2

21. (本小题满分 14 分)
已知曲线 Cn : x2 ? 2nx ? y2 ? 0(n ? 1, 2,?) .从点 P(?1, 0) 向曲线 Cn 引斜率为 kn (kn ? 0) 的切线 ln ,切点为 Pn ( xn , yn ) . (1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; (2)证明: x1 ? x3 ? x5 ?? ? x2 n?1 ?

1 ? xn x ? 2 sin n 1 ? xn yn

2010 年广东高考理科卷 4.已知 {an } 为等比数列, Sn 是它的前 n 项和.若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2a7 的等差中项为
5 ,则 S5 ? 4 A. 35

B. 33

C. 31

D. 29

2011 年广东高考理科卷 11. 等 差 数 列 ?an ? 前 9 项 的 和 等 于 前 4 项 的 和 . 若 a1 ? 1, ak ? a4 ? 0 , 则
k=____________.

20.(本小题共 14 分)
设 b>0,数列 ?an ? 满足 a1=b, an ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n, an ?
bn?1 ? 1. 2n?1

nban?1 (n ? 2) an ?1 ? 2n ? 2 .

2012 年广东高考理科卷 11.已知递增的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a3 ? a2 ? 4 ,则 an ? _____________
2

19. (本小题满分 14 分)
设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn=an+1-2n+1,n∈N﹡,且 a1,a2+5,a3 成等差数列。 求 a1 的值; 求数列{an}的通项公式。 证明:对一切正整数 n,有
1 1 1 3 ? ? ... ? ? . a1 a2 an 2

答案解析
2007 年广东高考理科卷 5. 答案为:B
? S1 , n ? 1 解析:由 Sn ? n2 ? 9n ,可根据 an ? ? . ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2
解得 an ? 2n ?10 . 再根据 5<2k-10<8,解得 7.5<k<9,∴k=8.

21.解:(1) 由 x2 ? x ?1 ? 0
?? ? ?1 ? 5 2

得x?

?1 ? 5 2

??

?1 ? 5 2 5 ?1 , 命题成立; 2 5 ?1 , 2

(2)(数学归纳法)①当 n ? 1 时, a1 ? 1 ?

②假设当 n ? k (k ? 1, k ? N * ) 时命题成立,即 ak ?

? ak ?1 ?

a ?1 ? 2ak ? 1
2 k

ak ? 2

1 2?

5 8 1 ak ? 2

?

1 5 1 ? 2? ? ?? 2 16 2

,













ak ?

5 ?1 5 ?1 时, ak ?1 ? ? ? n ? k ? 1 时命题成立; , ? ak ? 2 2

由①②知对任意 n ? N * 均有 an ? ? . (3)
f ?( x) ? 2 x ? 1
2 2 an ? an ? 1 an ? 1 ? an?1 ? an ? ? 2an ? 1 2an ? 1 2 an ? 1 (a ? ? )2 ? (? 2 ? ? ? 1) (an ? ? )2 ?? ? n ? 2an ? 1 2an ? 1 2an ? 1

? an?1 ? ? ?

同理 ? an?1 ? ? ?

a ?? 2 a ?? a ?? (an ? ? )2 an?1 ? ? ? ?( n ) ? ln n?1 ? 2ln n an?1 ? ? an ? ? an?1 ? ? an ? ? 2an ? 1

? bn?1 ? 2bn



b1 ? ln

a1 ? ? 3? 5 1? 5 ? ln ? 4ln a1 ? ? 2 3? 5
1? 5 ,公比为 2 的等比数列; 2

? 数列 ?bn ? 是一个首项为 4 ln

?

Sn ?

4 ln

1? 5 ?1 ? 2n ? 1? 5 2 ? 4 ? 2n ? 1? ln . 1? 2 2

2008 年广东高考理科卷 2.答案为: D
【解析】 S 4 ? 2 ? 6d ? 20 ,? d ? 3 ,故 S 6 ? 3 ? 15d ? 48

21.解: (1)由求根公式,不妨设 ? ? ? ,得 ? ?
?? ? ? ?

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ,? ? 2 2

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ? ? p , ?? ? ? ?q 2 2 2 2

(2)设 xn ? sxn?1 ? t ( xn?1 ? sxn?2 ) ,则 xn ? (s ? t ) xn?1 ? stxn?2 ,由 xn ? pxn?1 ? qxn?2

?s ? t ? p 得, ? ,消去 t ,得 s 2 ? ps ? q ? 0 ,?s 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的根, ? st ? q
由题意可知, s1 ? ? , s2 ? ? ①当 ? ? ? 时,此时方程组 ? ?
s ?t ? p ?s ? ? ?s2 ? ? 的解记为 ? 1 或? ? st ? q ? t1 ? ? ? t2 ? ?

? xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ), xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ),
即 ?xn ? t1xn?1? 、 ?xn ? t2 xn?1? 分别是公比为 s1 ? ? 、 s2 ? ? 的等比数列, 由等比数列性质可得 xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 , xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ,

两式相减,得 (? ? ? ) xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2

?x2 ? p2 ? q, x1 ? p ,? x2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? , x1 ? ? ? ? ?( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2 ? n?2 ? ? n , ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2 ? n?2 ? ? n ? ?
?(? ? ? ) xn?1 ? ? n ? ? n ,即? xn?1 ? ? ? ? ,? xn ? ? ? ? ? ?? ? ??
n n

n ?1

n ?1

②当 ? ? ? 时,即方程 x2 ? px ? q ? 0 有重根,? p2 ? 4q ? 0 , 即 (s ? t )2 ? 4st ? 0 ,得 (s ? t )2 ? 0,? s ? t ,不妨设 s ? t ? ? ,由①可知

xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ,?? ? ? ,? xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? n
即? xn ? ? xn?1 ? ? n ,等式两边同时除以 ? n ,得

?

xn
n

?

?

xn ?1
n ?1

? 1 ,即

?

xn
n

?

? n ?1

xn ?1

?1

x ? 数列 { nn } 是以 1 为公差的等差数列,? xnn ? x1 ? (n ? 1) ?1 ? 2? ? n ? 1 ? n ? 1 ? ? ? ?
? ? n?1 ? ? n?1 ? xn ? n? ? ? ,综上所述, xn ? ? ? ? ? , (? ? ? ) ? ? n? n ? ? n , (? ? ? ) ?
n n

(3)把 p ? 1 , q ?

1 1 1 代入 x2 ? px ? q ? 0 ,得 x 2 ? x ? ? 0 ,解得 ? ? ? ? 4 4 2

1 1 ? xn ? n?( ) n ? ( ) n , Sn ? ? ( 1 ) ? ( 1 )2 ? ( 1 )3 ? ... ? ( 1 ) n ? ? ? ( 1 ) ? 2? 1 ) 2 ? 3? 1 )3 ? ... ? n? 1 ) n ? ( ( ( ? ? ? ? 2 2 2 2 2 ? ? 2 2 2 2 ? ? 2 1 1 1 1 ? ? 1 ? 1 ? ( )n ? ? ( ) ? 2? ) 2 ? 3? )3 ? ... ? n? ) n ? ( ( ( 2 2 2 2 ? ? 2

1 1 1 1 ? 1 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ?1 ? n( ) n ? 3 ? ( n ? 3)( ) n . 2 2 2 2

2009 年广东高考理科卷 4. 答案为: C
解:在 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) 中,令 n=5,得 a5 ? 210 ? (25 ) 2 ,令 n=3,得 a5 ? a1 ? 26 ,又
2

an ? 0, n ? 1, 2,?,所以 a5 ? 25 , a1 ? 2 ,
从而解得,公比 q ? 2 , an ? 2n , a2n?1 ? 2 2n?1 , log2 a2n?1 ? 2n ? 1 , n(1 ? 2n ? 1) ? n2 所以 log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ? 1+3+…+(2n-1)= 2

21.(1)解:曲线 Cn : x2 ? 2nx ? y2 ? 0(n ? 1, 2,?) 可化为 ( x ? n) 2 ? y 2 ? n 2 ,
所以,它表示以 Cn (n,0) 为圆心,以 n 为半径的圆,切线 ln 的方程为 y ? k n ( x ? 1) ,

? y ? k n ( x ? 1) 2 2 2 联立 ? 2 ,消去 y 整理,得 (1 ? kn ) x 2 ? (2kn ? 2n) x ? kn ? 0 ,① 2 ? x ? 2nx ? y ? 0 2 2 2 2 ? ? (2kn ? 2n) 2 ? 4kn (1 ? kn ) ? 4n 2 ? 4(2n ? 1)kn , k n ? 0
令 ? ? 0 ,解得 k n ?
2

2n ? 1 n 2n 2 n2 )x2 ? ( ? 2n) x ? ?0 此时,方程①化为 (1 ? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 n 2 整理,得 ?(n ? 1) x ? n? ? 0 ,解得 x x ? , n ?1 n n n 所以 y n ? ( ? 1) ? 2n ? 1 , n ?1 2n ? 1 n ? 1 n n 2n ? 1 。 ∴数列 {xn } 的通项公式为 x x ? ,数列 { y n } 的通项公式为 y n ? n ?1 n ?1 n 1? 1 ? xn 1 n ?1 ? ? (2)证明:∵ , n 1 ? xn 2n ? 1 1? n ?1
2

n2 , kn ? 2n ? 1

n

2n ? 1 (2n ? 1) 2 (2n ? 1) 2 2n ? 1 ? ? ? 2 2 2n 2n ? 1 4n 4n ? 1 1 3 5 2n ? 1 1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ??? ? x1 ? x3 ? x5 ? ? ? x2n?1 ? ? ? ? ? ? 2 4 6 2n 3 5 7 2n ? 1 1 ? xn 1 ? xn x 1 1 ? 1 1 ? ? = = , ∵ n ? = ,又 0 ? 1 ? xn 2n ? 1 1 ? x n yn 2n ? 1 3 4 2n ? 1 x x x ? 令 n ? x ,则 0 ? x ? ,要证明 n ? 2 sin n , 4 yn yn yn ? 只需证明当 0 ? x ? 时, x ? 2 sin x 恒成立即可。 4 ? 设函数 f ( x) ? x ? 2 sin x , 0 ? x ? 4 ? 则 f ?( x) ? 1 ? 2 cos x , 0 ? x ? 4 ?? ? ∵ 在区间 ? 0, ? 上 f ?( x) ? 1 ? 2 cos x 为增函数, ? 4? ? ? ∴当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 1 ? 2 cos x ? 1 ? 2 cos ? 0 , 4 4 ? ?? ∴ f ( x) ? x ? 2 sin x 在区间 ? 0, ? 上为单调递减函数, ? 4? ? ∴ f ( x) ? x ? 2 sin x ? f (0) ? 0 对于一切 0 ? x ? 很成立, 4 1 ? x n xn x ∴ x ? 2 sin x ,即 = ? 2 sin n 1 ? xn yn yn

综上,得 x1 ? x3 ? x5 ?? ? x2 n?1 ?

1 ? xn x ? 2 sin n 1 ? xn yn

2010 年广东高考理科卷 4.答案为:C
∵数列 ?an ? 为等比数列,∴ a2a3 ? a1a4 ? 2a1 ,∴ a4 =2.
5 5 1 ,即有 a4 ? 2a7 ? ? 2 ,∴ a7 ? . 4 4 4

又∵ a4 与 2 a7 的等差中项为

? ? 1 ?5 ? 16 ?1 ? ? ? ? 1 a7 1 ? ?2? ? 3 ? ? 31 . ∴q ? ? .∴ q = , a1 ? 16 .∴ S5 ? ? 1 2 a4 8 1? 2

2011 年广东高考理科卷 11.答案为 10.
由题意可知, S9 ? S4 ,所以 a7 ? 0 ,则 a10 ? a4 ? 2a7 ? 0 ,? k ? 10

20.解(1)法一:


an ban?1 n a ? 2(n ? 1) 1 2 n ? 1 ,得 ? n?1 , ? ? ? ? n an?1 ? 2(n ? 1) an ban?1 b b an?1

2 1 n ? bn ,则 bn ? ? bn ?1 ? (n ? 2) , b b an 1 1 为首项, 为公差的等差数列, 2 2

(ⅰ)当 b ? 2 时, ?bn ? 是以 即 bn ?

1 1 1 ? (n ? 1) ? ? n ,∴ an ? 2 2 2 2 2 2 2 (ⅱ)当 b ? 2 时,设 bn ? ? ? ? (bn ?1 ? ? ) ,则 bn ? ? bn ?1 ? ? ( ? 1) , b b b 2 1 1 1 2 1 ? ? (bn ?1 ? ) (n ? 2) , 令 ? ( ? 1) ? ,得 ? ? ,? bn ? b b 2?b 2?b b 2?b 1 1 1 2 1 ? (b1 ? ) ? ( ) n ?1 ,又 b1 ? , 知 bn ? 是等比数列,? bn ? 2?b 2?b 2?b b b

? bn ?

1 2 1 1 2n ? b n nbn (2 ? b) ? ( )n ? ? ? ,? an ? n . 2?b b 2?b 2?b bn 2 ? bn
1 1 为首项, 为公差的等差数列, 2 2

法二: (ⅰ)当 b ? 2 时, ?bn ? 是以 即 bn ?

1 1 1 ? (n ? 1) ? ? n ,∴ an ? 2 2 2 2

(ⅱ)当 b ? 2 时, a1 ? b , a2 ? 猜想 an ?

2b2 2b2 (b ? 2) 3b3 3b3 (b ? 2) ? 2 ? 3 , a2 ? 2 , b?2 b ? 22 b ? 2b ? 4 b ? 23

nb n (b ? 2) ,下面用数学归纳法证明: b n ? 2n

①当 n ? 1 时,猜想显然成立; ②假设当 n ? k 时, ak ?
kb k (b ? 2) ,则 b k ? 2k

ak ?1 ?

(k ? 1)b ? ak (k ? 1)b ? kbk (b ? 2) (k ? 1)bk ?1 (b ? 2) , ? k ? ak ? 2(n ? 1) kb (b ? 2) ? 2k ? (bk ? 2k ) bk ?1 ? 2k ?1
nb n (b ? 2) . b n ? 2n 2n ?1 ? 1 ,故 b ? 2 时,命题成立; 2n ?1

所以当 n ? k ? 1 时,猜想成立, 由①②知, ?n ? N * , an ?

(2) (ⅰ)当 b ? 2 时, an ? 2 ?

(ⅱ)当 b ? 2 时, b2n ? 22n ? 2 b2n ? 22n ? 2n?1 bn ,

b2n?1 ? 2 ? b ? 22n?1 ? 2 b2n ? 22n ? 2n?1 bn ,

??, bn?1 ? 2n?1 ? bn?1 ? 2n?1 ? 2 b2n ? 22n ? 2n?1 bn ,以上 n 个式子相加得
b2n ? b2 n?1 ? 2 ? ? ? bn?1 ? 2n?1 ? bn?1 ? 2n?1 ? ? ?b ? 22n?1 ? 22n ? n ? 2n?1 bn ,

n ? 2n?1 bn (b ? 2) [(b2n ? b2n?1 ? 2 ? ? ? b ? 22n?1 ? 22n ) ? bn ? 2n ](b ? 2) an ? n?1 n ? 2 (b ? 2n ) 2n?1 (bn ? 2n ) ? (b2 n ? b2 n?1 ? 2 ? ? ? b ? 22 n?1 ? 22 n )(b ? 2) ? bn ? 2n (b ? 2) 2n?1 (bn ? 2n ) (b2n?1 ? 22n?1 ) ? bn?1 ? 2n ? bn ? 2n?1 2n?1 (bn ? 2n )

?

?

(b2n?1 ? bn?1 ? 2n ) ? (bn ? 2n?1 ? 22n?1 ) b n ?1 ? n ?1 ? 1 .故当 b ? 2 时,命题成立; 2 2n?1 (bn ? 2n )

综上(ⅰ) (ⅱ)知命题成立.

2012 年广东高考理科卷 11.答案为 2n ? 1 .
2 2 解析:在递增的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a3 ? a2 ? 4 ,则 a1 ? 2d ? ? a1 ? d ? ? 4

解得 d ? 2 ,? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1.
n?1 19.(1)在 2Sn ? an?1 ? 2 ?1中 2 令 n ? 1 得: 2S1 ? a2 ? 2 ? 1 3 令 n ? 2 得: 2S2 ? a3 ? 2 ? 1

解得: a2 ? 2a1 ? 3 , a3 ? 6a1 ? 13 又

2 ? a2 ? 5? ? a1 ? a3

,解得 a1 ? 1

n?1 n?2 (2)由 2Sn ? an?1 ? 2 ? 1, 2Sn?1 ? an?2 ? 2 ? 1得

an?2 ? 3an?1 ? 2n?1 ,又 a1 ? 1, a2 ? 5 也满足 a2 ? 3a1 ? 21
n ?1 n an?1 ? 3an ? 2n 对n ? N ? 成立,∴ an ?1 +2 ? 3 ? an ? 2 ? 所以

n n ∴ an ? 2 ? 3 ,∴

an ? 3n ? 2n

(3) (法一)∵

an ? 3n ? 2n ? ? 3 ? 2 ? ? 3n ?1 ? 3n ? 2 ? 2 ? 3n ?3 ? 22 ? ... ? 2 n ?1 ? ? 3n ?1

? ? 1 ?n ? 1? ? 1 ? ? ? ? ? ? 3? ? 3 1 1 1 1 1 1 1 ?? ? ? ? ... ? 1 ? ? 2 ? ... ? n?1 ? ? 1 1 1 a1 a2 a3 an 3 3 3 2 ? 1? an 3n?1 ∴, 3 ∴


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