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三角函数解三角形知识点

时间:2017-01-18


专题:三角函数及解三角形
【高考考核目标与要求】 1.知识要求 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。 (1)了解:知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的 问题中识别和认识它. 行为动词有:了解,知道,识别,模仿,会求,会解等. (2)理解:知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达,能 够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论,具备利用所学知识解决简单问题 的能力。 行为动词有:描述,说明,表达,推测,想象,比较,判断,初步应用等 (3)掌握:要求能够对所列的知识内容进行推导证明,能够利用所学知识对问题进行分析、 研究、讨论,并且加以解决。 行为动词有:掌握、导出、分析.推导、证明.研究、讨论、运用、解决问题等. 2.能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力 以及应用意识和创新意识。 3.个性品质要求 个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生克服紧张情绪,以平和的心态 参加考试,合理支配考试时间,以实事求是的科学态度解答试题,树立战胜困难的信心,体 现锲而不舍的精神。 【高考必考内容与要求】 一.任意角的概念、弧度制 ①了解任意角的概念 ②了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 二.三角函数 ①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. ②能利用单位圆中的三角函数线推导出

?
2

? ? , ? ? ? 的正弦、余弦、正切的诱导公式.能

画出 y ? sin x, y ? cos x, y ? tan x 的图象,了解三角函数的周期性 ③理解正弦函数. 余弦函数在区间[ [0,2? ] 上的性质(如单调性、 最大值和最小值以及与 x 轴 的交点等).理解正切函数在区间 ( ?

? ?

, ) 内的单调性。 2 2

④理解同角三角函数的基本关系式: ⑤了解函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的物理意义:能画出 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象,了解参数

A, ? , ? 对函数图象的变化影响。
⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型, 会用三角函数解决一些简单实际问题 三.三角恒等变换 (1)和与差的三角函数公式 ①会用向量数量积推导出两角差的余弦公式. ②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. ③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余 弦、正切公式,了解它们的内在联系。 (2)简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式.但对这 三组公式不要求记忆) 四.解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题

(2) 应用 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的 实际问题 【三角函数知识点】 1. 与 ? 0 0 ? ? ? 3600 终 边 相 同 的 角 的 集 合 ( 角 ? 与 角 ? 的 终 边 重 合 ):

?? | ? ? k ? 360 ? ? , k ? Z ?
?

?

?

2.角度与弧度的互换关系: 3600 ? 2? ,1800 ? ? 3.弧长公式: l ?

?r.

扇形面积公式: S ?

4.三角函数:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一点 P ( x, y ) , P 与原 点的距离为 r ,则 sin ? ?

1 1 lr ? ? r 2 2 2

y x y ; cos ? ? ; tan ? ? r r x
y

y

a的 终边
P( x,y) r

5.三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦)
y y

+ o -

+ x

- + o - + x
余弦 、正割

- + o x + 正切 、余切

o

x
y P T

正弦 、余割

6.三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 7. 三角函数的定义域:

正切线: AT.

O

M

Ax

8. 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式 :

sin ? ? tan ? cos ?

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
9.诱导公式:把 限” 三角函数的公式: (一)基本关系 公式组一

k? ? ? 的三角函数化为 ? 的三角函数,概括为: “奇变偶不变,符号看象 2

公式组二

公式组三

sin(2kx ? x) ? sin x cos(2kx ? x) ? cos x tan(2kx ? x) ? tan x
公式组四

sin(? x) ? ? sin x cos(? x) ? cos x tan(? x) ? ? tan x
公式组五

sin(? ? x) ? ? sin x cos(? ? x) ? ? cos x tan( ? ? x) ? tan x

公式组六

sin(? ? x) ? sin x cos(? ? x) ? ? cos x tan( ? ? x) ? ? tan x
(二)角与角之间的互换 公式组一

? sin( ? x) ? cos x 2 ? cos( ? x) ? ? sin x 2
公式组二

? sin( ? x) ? cos x 2 ? cos( ? x) ? sin x 2

cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ?

sin 2? ? 2 sin? cos?
tan 2? ? 2 tan? 1 ? tan 2 ?

cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ?
sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ?

sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ?
tan( ? ? ?) ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?
tan( ? ? ?) ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:

y ? sin x
定义域 值域 周期性 奇偶性
?
2

y ? cos x
R R

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

[?1,?1]

[?1,?1]

R

2?
奇函数
?
2

2?
偶函数

?
奇函数

[(2k ? 1)? ,2k? ] 上为
? 2k? ] 上为增

[?

? 2k? ,

增函数

函数; 单调性
3? [ ? 2k? , ? 2k? ] 上为减 2 2

?

[2k? , (2k ? 1)? ] 上为
减函数 ( k ?Z )

? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 ? 2 ?

函数( k ? Z ) 注意:

上为增函数( k ? Z )

① y ? sin(?x ? ? ) 或 y ? cos(?x ? ? )(? ? 0) 的周期 T ? ② y ? sin(?x ? ? ) 的 对 称 轴 方 程 是 x ? k? ?

2?

?

.

?
2

(k ? Z ) , 对 称 中 心 (k? ,0) ;

1 y ? cos(?x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? (k ? Z ) , ?x ? ? ) 对称中心 ( k? ? ? ,0) ;y ? tan( 2 k? 的对称中心( ,0 ). 2 原点对称 ③ y ? cos2x ??? ?? y ? ? cos(?2x) ? ? cos2x
④ y ? cos x 与 y ? sin( x ?

?
2

? 2k? ) 是同一函数,而 y ? sin(?x ? ? ) 是偶函数,

则 y ? sin(?x ? ? ) ? sin(?x ? k? ?

⑤函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增.做出简图就可知道了]. ⑥奇偶性函数的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要) ,二是满足奇偶性条件, 偶函数: f (? x) ? f ( x) ,奇函数: f (? x) ? ? f ( x) 11.三角函数图象的作法: ①.几何法:②.描点法③.利用图象变换作三角函数图象. 12.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的振幅 A ,周期 T ?

1 ? ) ? ? cos( ?x) 2

2?

?

,相位 ?x ? ? 初相 ?

【解三角形知识点】 1.三角形三角关系: A ? B ? C ? 1800 , C ? 1800 ? ( A ? B) 2.三角形三边关系: a ? b ? c; a ? b ? c 3.三角形中的基本关系: sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,

A? B C A? B C ? cos , cos ? sin 2 2 2 2 4.正弦定理:在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, R 为 ?ABC 的外接圆的半径, a b c ? ? ? 2R . 则有 sin A sin B sin C sin
5.正弦定理的变形公式: ①化角为边: a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ;

a b c , sin B ? , sin C ? , 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin A ? sin B ? sin C sin A sin B sin C
②化边为角: sin A ? 6.已知两边和其中一边所对角要注意解的情况(一解、两解、三解) 7.三角形面积公式: S ?ABC ?

8.余弦定理:在 ?ABC 中,有 9.余弦定理的推论:

1 1 1 bc sin A ? ab sin C ? ac sin B . 2 2 2

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos ? , c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .

cos ? ?

b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? c2 ? b2 cos ? ? cos C ? 2bc 2ab 2ac , , .

10.余弦定理主要解决的问题: ①已知两边和夹角,求其余的量。②已知三边求角 11.如何判断三角形的形状: 可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式。设 a, b, c 是 ?ABC 的角

A, B, C 的对边,角 C 为最大角,则:

a 2 ? b2 ? c2 ? 0 则 C ? 900 ,直角三角形 2ab a 2 ? b2 ? c2 2 2 2 0 ? 0 则 C ? 900 ,锐角三角形 ②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;或 cosC ? 2ab 2 a ? b2 ? c2 2 2 2 0 ? 0 则 C ? 900 ,钝角三角形 ③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;或 cosC ? 2ab
①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;或 cosC ?
2 2 2
0

12.三角形的心: 垂心——三边上的高相交于一点;重心——三条中线的相交于一点 外心——三边垂直平分线相交于一点; 内心——三内角的平分线相交于一点。


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