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导数--复合函数的导数练习题

时间:2015-09-14


函数求导
1. 简单函数的定义求导的方法(一差、二比、三取极限) (1)求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ;

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 。 ?x ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) (3)取极限求导数 f ' ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x<

br />(2)求平均变化率 2.导数与导函数的关系:特殊与一般的关系。函数在某一点 f ' ( x0 ) 的导数就是 导函数 f ( x) ,当 x ? x0 时的函数值。 3.常用的导数公式及求导法则: (1)公式 ①C ? 0, (C 是常数)
'

② (sin x) ' ? cos x ④ ( x n ) ' ? nxn?1 ⑥ (e x ) ' ? e x

③ (cosx) ' ? ? sin x ⑤ (a x ) ' ? a x ln a ⑦ (log a x ) ?
'

1 1 ' ⑧ (ln x ) ? x ln a x 1 1 ' ' ⑨ (tan x) ? ⑩( cot x ) ? ? 2 cos x sin 2 x ' ' ' (2)法则: [ f ( x) ? g ( x)] ? [ f ( x)] ? [ g ( x)] ,

[ f ( x) g ( x)]' ? f ' ( x) g ( x) ? g ' ( x) f ( x)

[
例:

f ( x) ' f ' ( x) g ( x) ? g ' ( x ) f ( x ) ] ? g ( x) g 2 ( x)

3 2 (1) y ? x x ? 4

?

?

(2) y ?

sin x x

(3) y ? 3cos x ? 4sin x

(4) y ? ? 2 x ? 3?

2

(5) y ? ln ? x ? 2?

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复合函数的导数
如果函数 ? ( x ) 在点 x 处可导,函数 f (u)在点 u= ? ( x ) 处可导,则复合函数 y= f (u)=f [ ? ( x ) ]在点 x 处也可导,并且 (f [ ? ( x ) ])ˊ= 或记作 熟记链式法则 若 y= f (u),u= ? ( x ) ? y= f [ ? ( x) ],则

f ??? ( x)? ? ?( x)

? ? u? y? x = yu x

y? x = f ?(u)? ?( x)
若 y= f (u),u= ? (v) ,v=? ( x)

?

y= f [ ? (? ( x)) ],则

? ?( x) y? x = f ?(u)? ?(v)
(2) 复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成 的,且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求 导时要由外到内,逐层求导。 例 1 函数 y ?

1 的导数. (1 ? 3x) 4

解: y ? 设 y ?u

1 ? (1 ? 3x) ?4 . 4 (1 ? 3x)
, u ? 1 ? 3 x ,则

?4

y'x ? y'u ?u'x ? (u ?4 )'u ?(1 ? 3x)'x ? ?4u ?5 ? (?3) ? 12u ?5 ? 12(1 ? 3x) ?5 ?
12 . (1 ? 3x) 5

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例2求y?5

x 的导数. 1? x
1

? x ?5 解: y ? ? ? , ?1? x ? 1? x ? y' ? ? ? 5 ?1? x ?
? 4 5

? x ? 1? x ? ?? ? ? ? ? ?1? x ? 5 ?1? x ?
4

'

?

4 5

?

1 ? x ? x(?1) (1 ? x) 2

1? x ? ? ? ? 5 ?1? x ?

?

4 5

?

? 1 1 ? ? x 5 (1 ? x) 5 . 2 5 (1 ? x)

6

例 3 求下列函数的导数

y ? 3 ? 2x
解: (1) y 令

? 3 ? 2x

u=3 -2x,则有 y=

u ,u=3 -2x
? ? u? ? yu x

由复合函数求导法则 y ? x 有 y′=

? u ??

u (3 ?

1 2 x)?x = 1 ? (?2) ? ? 2 u 3 ? 2x

在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后,可以不再写出中间变量 u,于是前面可以直接写出如下结果: yˊ=

1 2 3 ? 2x

? (3 ? 2 x) ? ? ?

1 3 ? 2x

在运用复合函数求导法则很熟练之后,可以更简练地写出求导过程: yˊ=

1 2 3 ? 2x

? (?2) ? ?

1 3 ? 2x

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例 4 求下列函数的导数 (1)y=

1 ? 2x cos x 1 ? 2x cos x

(2)y=ln (x+

1 ? x2

)

解: (1)y= 由于 y=

而其中 1 ? 2x 1 ? 2x cos x 是两个函数 1 ? 2x 与 cos x 的乘积,

又是复合函数,所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则,而在求 时再用复合函数求导法则,于是 yˊ=( =

1 ? 2x 导数

1 ? 2x )ˊcos x - 1 ? 2x sin x
( ?2) cos x - 1 ? 2x sin x=

? cos x 1 ? 2x

2 1 ? 2x

- 1 ? 2x sin x

(2)y=ln (x+ 由于 y=ln (x+

1 ? x2 1 ? x2

) )是 u= x+

1 ? x2

与 y=ln u 复合而成,所以对此函数

求 导 时 , 应 先 用 复合 函数 求 导 法 则 , 在 求 u? x 时用函数和的求导法则,而求 (

1 ? x2
yˊ=

)′的导数时再用一次复合函数的求导法则,所以

1 x ? 1 ? x2

? [1+(

1 ? x2

)ˊ]=

1 x ? 1 ? x2

? ?1 ?

? ? ?

? ? ? 2 1 ? x2 ? 2x

=

1 x ? 1 ? x2

?

x ? 1 ? x2 1 ? x2

=

1 1? x2

例 5 设 y ? ln(x ? x ? 1) 求 y ? . 解 利用复合函数求导法求导,得

y ? ? [ln(x ? x 2 ? 1)]? ? 1 x ? x2 ?1 ( x ? x ? 1)?
2

?

1 x ? x ?1
2

[1 ? ( x 2 ? 1)?]

?

1 x ? x2 ?1

[1 ?

1 2 x2 ?1

( x 2 ? 1)?] ?

1 x ? x2 ?1

[1 ?

x x2 ?1

]?

1 x2 ?1

.

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小结 对于复合函数,要根据复合结构,逐层求导,直到最内层求完,对例 4 中括 号层次分析清楚,对掌握复合函数的求导是有帮助的. 例 6 求 y=(x -3x+2) sin3x 的导数. 2 2 2 2 解:y′=[(x -3x+2) ]′sin3x+(x -3x+2) (sin3x)′ 2 2 2 2 =2(x -3x+2)(x -3x+2)′sin3x+(x -3x+2) cos3x(3x)′ 2 2 2 =2(x -3x+2)(2x-3)sin3x+3(x -3x+2) cos3x.
2 2

1.求下函数的导数. (1) y ? cos

x 3

(2) y ? 2x ?1

(1)y=(5x-3)4

(2)y=(2+3x)5

(3)y=(2-x2)3

(4)y=(2x3+x)2

(1)y=

1 (2 x ? 1) 3
2

(2)y= 4

? 1 (3)y=sin(3x- ) 6 3x ? 1

(4)y=cos(1+x )

2

2 3 2 c ( s ? y ? (2 ? x ) ; ? y ? sin x ; ?y?o

?
4

? x) ; ? y ? ln sin(3x ? 1) .

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1.求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x; (2) y ?

sin 2 x 2x ? 1

(3) loga ( x 2 ? 2)

2.求 ln(2 x 2 ? 3x ? 1) 的导数

一、选择题(本题共5小题,每题6分,共30分)

1 的导数是( ) (3x ? 1) 2 6 6 6 6 A. B. C. - D. - 3 2 3 (3x ? 1) (3x ? 1) 2 (3 x ? 1) (3 x ? 1) ? 3. 函数 y=sin(3x+ )的导数为( ) 4 ? ? A. 3sin(3x+ ) B. 3cos(3x+ ) 4 4 ? ? C. 3sin2(3x+ ) D. 3cos2(3x+ ) 4 4 n 4. 曲线 y ? x 在 x=2 处的导数是 12,则 n=( )
1. 函数 y= A. 1 5. 函数 y=cos2x+sin A. -2sin2x+ C. -2sin2x+ B. 2 C. 3 ) B. 2sin2x+ D. 4

x 的导数为(

cos x 2x

cos x 2 x cos x 2 x

sin x 2 x
2

D. 2sin2x- )

6. 过点 P(1,2)与曲线 y=2x 相切的切线方程是( A. 4x-y-2=0 C. 4x+y=0 B. 4x+y-2=0 D. 4x-y+2=0

二、填空题(本题共 5 小题,每题 6 分,共 30 分)
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8. 曲线 y=sin3x 在点 P( 9. 函数 y=xsin(2x-

? ,0)处切线的斜率为___________。 3 ? ?
2
)cos(2x+

2

)的导数是



10. 函数 y= cos(2 x ?

。 ) 的导数为 3 11. f ( x) ? x ln x, f ' ( x0 ) ? 2, 则x0 ? __________ _。

?

例 2.计算下列定积分 (1)

?

2

0

2 1 x( x ? 1)dx ; (2) ? (e 2 x ? )dx 1 x

(3)

?

?

0

sin 2 xdx

5.

?

4

?2

e dx 的值等于

x

( (B) e ? e
4 2

) (C) e ? e ? 2
4 2

( A) e4 ? e?2
3

(D) e ? e ? 2
4

?2

9.计算由曲线 y ? x ? 6x 和 y ? x 所围成的图形的面积.
2

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复合函数的导数 1.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.A 7.y=u3,u=1+sin3x 8.-3

? sin(2 x ? ) 1 3 9.y′= sin4x+2xcos4x 10. 2 ? cos(2 x ? ) 3

?

11.

1 1 1 cos 2 ? sin 2 x x x

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