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【讲练测】2014年高中数学人教a版选修2-3教学课件:3、2-3-1


第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

2.3

离散型随机变量的均值与方差

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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

2.3.1

离散型随机变量的均值

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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

1.通过实例,理解离散型随机变量均值(数学期望)的
概念,能计算简单离散型随机变量的均值,并能解决一些 实际问题. 2.掌握二点分布、二项分布的均值,体会二项分布数 学期望的证明方法.
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3.通过本节学习,体会离散型随机变量的均值在实际
生活中的意义和应用,提高数学应用意识,激发学习兴 趣.

第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

本节重点:离散型随机变量的均值概念及计算.
本节难点:求离散型随机变量的均值.
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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

1.定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 ? xi ? xn

P

p1

p2

?

pi

?

pn

则称E(X)= x1p1+x2p2+?+xipi+xnpn 为随机变量X的

均值或 数学期望

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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

2.离散型随机变量的数学期望反映了离散型随机变量
取值的 平均 水平. 3 .若 a , b为常数, X为离散型随机变量,则 aX + b 也 是 离散型随机变量 ,并且E(aX+b)= 特别地,E(c)= c (c是常数). aE(X)+b ,
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4.若离散型随机变量X服从两点分布,则E(X)= p .
5.若X服从二项分布,即若X~B(n,p),则E(X)= np .

第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

[例 1]

若对于某个数学问题,甲,乙两人都在研究,
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2 4 甲解出该题的概率为3,乙解出该题的概率为5,设解出该 题的人数为 X ,求 E(X).
[分析] 首先确定随机变量X所有可能的取值,X可取

0,1,2,然后分别求出它们对应的概率,再利用求期望的公
式计算.

第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

[解析]

记“甲解出该题”为事件 A, “乙解出该题” B )=
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为 事 件 B , X 可 能 取 值 为 0,1,2.P(X = 0) = P( A

? 2? ? 4? 1 P( A )· P( B )=?1-3?×?1-5?= , P(X=1)=P(A B )+P( A B) ? ? ? ? 15 ? 2? 4 2 ? 4? 2 =P(A)P( B )+P( A )P(B)=?1-3?×5+3×?1-5?=5,P(X= ? ? ? ?

2 4 8 2)=P(AB)=P(A)P(B)=3×5=15. 所以 X 的分布列如下表:

第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

X P

0 1 15

1 2 5

2 8 15
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1 2 8 22 故 E(X)=0×15+1×5+2×15=15≈1.467.
[点评] 解此类题的一般步骤是:①明确随机变量的 取值,以及取每个值的试验结果;②求出随机变量取各个

值的概率;③列出分布列;④利用期望公式进行计算.

第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

[例2] 已知随机变量X的分布列为 X P 求:(1)E(X); (2)若Y=5X+4,求E(Y). 0 0.4 2 m 4 0.3
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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

[分析] 由题目可获取以下主要信息:
①已知随机变量X的分布列.②求E(X). 解答本题可先求出参数 m 的值,再直接利用期望公式 及性质求解.
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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

[解析] (1)由随机变量分布列的性质,
得 0.4+m+0.3=1. ∴m=0.3,∴E(X)=0×0.4+2×0.3+4×0.3=1.8. (2)方法一:∵Y=5X+4, ∴随机变量Y的分布列为: Y 4 14 24
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P

0.4

0.3

0.3

第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

∴E(Y)=4×0.4+14×0.3+24×0.3
=1.6+4.2+7.2=13. 方法二:∵Y=5X+4, ∴E(Y)=E(5X+4)=5E(X)+4=5×1.8+4=13. [点评 ] (1) 求期望关键是求分布列,然后直接套用期
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望公式; (2) 对于 aX + b 型的随机变量,利用期望的性质
E(aX+b)=aE(X)+b求解较简捷.

第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

(2010·四川理,17)某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有 “奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内 印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 .甲、乙、
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丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.
(1)求甲中奖且乙、丙没有中奖的概率; (2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.

第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

[ 解析 ]

①甲、乙、丙中奖与否是等可能事件,而甲

中奖与乙,丙未中奖是相互独立的.②中奖人数可为 0,1,2,3 且相互独立,由独立事件至少有一个发生的概率计 算即可. 解:(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C,那
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1 P(A)=P(B)=P(C)= . 6 1 5 2 25 P(A· B· C )=P(A)P( B )P( C )=6· (6) =216. 25 答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为 . 216

第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

(2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3.
1 1 k 5 3-k P(ξ=k)=C3? ? ? ? ,k=0,1,2,3.

? ?? ? ?6? ?6?

所以中奖人数 ξ 的分布列为 ξ P 0 125 216 1 25 72 2 5 72 3 1 216

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125 25 5 1 1 E(ξ)=0× +1× +2× +3× = . 216 72 72 216 2

第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

[点评] 本题主要考查相互独立事件,随机变量的分
布列、数学期望等概念及相关计算,考查了运用所学知识 解决问题的能力.
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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

(2010· 淄博 ) 随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检, 其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 人 件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为 6万元、 教 A 2 万元、 1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元,设 1 件产品的利润 (单位:万元)为X. (1)求X的分布列; (2)求1件产品的平均利润(即X的均值); (3)经技术革新后,仍有第四个等级的产品,但次品率 降为 1% ,一等品率提高为 70% ,如果此时要求 1 件产品的 平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?
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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

[解析] (1)X 的所有可能取值有 6,2,1,-2; 126 50 P(X=6)= =0.63,P(X=2)= =0.25, 200 200 20 4 P(X=1)=200=0.1,P(X=-2)=200=0.02. 故 X 的分布列为 X P 6 0.63 2 0.25 1 0.1 -2 0.02

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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

(2)E(X) = 6×0.63 + 2×0.25 + 1×0.1 + ( - 2)×0.02 =
4.34. (3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平 均利润为 E(x) = 6×0.7 + 2×(1 - 0.7 - 0.01 - x) + x + ( - 2)×0.01
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=4.76-x(0≤x≤0.29),
依题意,E(x)≥4.73,即4.76-x≥4.73, 解得x≤0.03. 所以三等品率最多为3%.

第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

一、选择题
1.随机变量X的分布列如下表,则E(5X+4)等于( X P 0 0.3 2 0.2 4 0.5 )
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A.16
[答案] A [ 解析 ]

B.11

C.2.2

D.2.3

根据题意,由已知表格可求 E(X) = 0×0.3 +

2×0.2 + 4×0.5 = 2.4 ,故 E(5X + 4) = 5E(X) + 4 = 5×2.4 + 4 =16,故答案选A.

第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

1 2.某班有 的学生数学成绩优秀,如果从班中随机地 4 找出 5 名学生,那么其中数学成绩优秀的学生数 X ~
? 1? B?5,4?,则 ? ?

E(-X)的值为 ( )

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1 A.4

1 B.-4

5 C.4

5 D.-4

[答案] D

第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

[解析]
? 1? B?5,4?, 故 ? ?

由于离散型随机变量 X 服从二项分布, 即 X~ 1 5 n=5, p=4, E(X)=4, 进而得 E(-X)=-E(X)
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5 =-4,所以答案选 D.

第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

3.节日期间,某种鲜花进价是每束2.5元,售价是每
束5元;节后卖不出的鲜花以每束1.6元处理.根据前五年 销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求量X(束)的分布列 如下表.若进这种鲜花500束,则期望利润是 ( )
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X P
A.706元 C.754元 [答案] A

200 0.20

300 0.35

400 0.30

500 0.15

B.690元 D.720元

第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

[解析] 本题考查数学期望的概念,节日期间这种鲜
花需求量的数学期望E(X)=200×0.20+300×0.35+ 400×0.30+500×0.15=40+105+120+75=340(束),则 利润Y=5X+1.6(500-X)-500×2.5=3.4X-450,所以E(Y) =3.4E(X)-450=3.4×340-450=706(元).故期望利润为
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706元.应选A.

第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

二、填空题
4.由于电脑故障,使得随机变量X的概率分布列中部 分数据丢失 ( 以□代替 ) ,其表如下表.请你先将丢失的数 据补充,再求随机变量的数学期望,其期望值为________. X P 1 2 3 4 5 6 0.20 0.10 0.□5 0.10 0.15 0.20
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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

[答案] 3.5
[ 解析 ] 本题考查随机变量的概率,数学期望.由题
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知,它们的概率的和为1,可以得到应填的数为2,然后根 据数学期望 E(X) = 1×0.20 + 2×0.10 + 3×0.25 + 4×0.10 + 5×0.15+6×0.20=3.5.

第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

5.设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4.P(X=k)=
ak+b(k=1,2,3,4).又X的数学期望E(X)=3,则a+b= ________.
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第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

[解析] 由题意可得随机变量X的分布列如下表.
X 1 2 3 4

P

a+b

2a+b

3a+b

4a+b

由分布列的性质得(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)

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=1,即10a+4b=1①,又E(X)=3,所以1×(a+b)+
2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3 ②.联立①②两式解得a= ,b=0,

第二章 随机变量及其分布

(选修2-3)

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