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高中数学必修5综合测试题

时间:2014-10-12


高中数学必修 5 综合测试题
一、选择题 1.数列 1,3,6,10,…的一个通项公式是() (A)an=n2-(n-1) (B)an=n2-1 (C)an=

n(n ? 1) 2

(D)an=

n(n ? 1) 2

2.已知数列 3 ,3, 15 ,…, 3(2n ?1) ,那么

9 是数列的( ) (A)第 12 项 (B)第 13 项 (C)第 14 项 (D)第 15 项

3.已知等差数列{an}的公差 d≠0,若 a5、a9、a15 成等比数列,那么公比为 ( ) A. B. C. D.

4.等差数列{an}共有 2n+1 项,其中奇数项之和为 4,偶数项之和为 3,则 n 的值是( ) A.3 B.5 C.7 D.9

5.△ABC 中,

cos A a ? ,则△ABC 一定是( ) cos B b
B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

A.等腰三角形

6.已知△ABC 中,a=4,b=4 3 ,∠A=30°,则∠B 等于( ) A.30° B.30°或 150° C.60° D.60°或 120°

7.在△ABC 中,∠A=60° ,a= 6 ,b=4,满足条件的△ABC ( ) (A)无解 (B)有解 (C)有两解 (D)不能确定 8.若

1 1 ? ? 0 ,则下列不等式中,正确的不等式有 ( a b b a ① a ? b ? ab ②a ?b ③a ? b ④ ? ?2 a b
A .1 个 B .2 个 C .3 个

)

D .4 个

9.下列不等式中,对任意 x∈R 都成立的是 ( ) A.

1 ?1 x ?1
2

B.x2+1>2x

C.lg(x2+1)≥lg2x D.x2+x>2

D.

4x ≤1 x ?4
2

10.下列不等式的解集是空集的是( ) A.x2-x+1>0 B.-2x2+x+1>0 C.2x-x2>5
1/6

11.不等式组 ?

?( x ? y ? 5)( x ? y) ? 0, 表示的平面区域是 ?0 ? x ? 3
( B) 三角形 (C ) 直角梯形

(

)

(A ) 矩形

(D ) 等腰梯形

12.给定函数 y ? f ( x) 的图象在下列图中,并且对任意 a1 ? (0,1) ,由关系式 an?1 ? f (an ) 得 到的数列 {an } 满足 an?1 ? an (n ? N * ) ,则该函数的图象是() y 1 1 y 1 y 1 y

o A

1



o B

1



o C

1



o D

1



二、填空题: 13.若不等式 ax2+bx+2>0 的解集为{x|14. 若x ? 0, y ? 0, 且

1 1 ? x ? },则 a+b=________. 2 3


1 4 ? ? 1,则 x ? y 的最小值是 x y

15.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:

则第 n 个图案中有白色地面砖

块.

16. 已知钝角△ABC 的三边 a=k,b=k+2,c=k+4,求 k 的取值范围 --------------.



2/6

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、 b 、 c ,若

cos B cos C ? sin B sin C ?

1 . 2

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值.

19.已知 0 ? m ? 1 ,解关于 x 的不等式

mx ? 1. x?3

a ? 0, a ? 1 ) 20 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 设 函 数 f ( x) ? loga x ( a为常数且 ,已知数列
3/6

f ( x1 ), f ( x2 ), ? f ( xn ),?是公差为 2 的等差数列,且 x1 ? a 2 .
(Ⅰ)求数列 {xn } 的通项公式; (Ⅱ)当 a ?

1 1 时,求证: x1 ? x 2 ? ? ? x n ? . 2 3

21. (本小题满分 14 分)某房地产开发商投资 81 万元建一座写字楼,第一年装修费为 1 万元, 以后每年增加 2 万元,把写字楼出租,每年收入租金 30 万元. (Ⅰ)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润? (Ⅱ)若干年后开发商为了投资其他项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以 46 万元出 售该楼; ②纯利润总和最大时,以 10 万元出售该楼,问哪种方案盈利更多?

4/6

答案:1---12 CCCAA, DABDC, DA 13.-14, 14.9 15. 4n+2 16. (2,6) 17. 解: (Ⅰ)? cos B cos C ? sin B sin C ?

1 2

? cos( B ? C ) ?

1 2

又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?

?

3 2? ? A ? B ? C ? ? ,? A ? . 3
2 2 2

(Ⅱ)由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc ? cos A 得 (2 3 ) ? (b ? c) ? 2bc ? 2bc ? cos
2 2

2? 3

即: 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) ,? bc ? 4

1 2

? S ?ABC ?

1 1 3 bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3. 2 2 2
? a1 ? d ? 1 , ? a1 ? 4d ? ?5

18.解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 解出 a1 ? 3 , d ? ?2 . 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 5 .

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . 2 n ? 2 所以 时, Sn 取到最大值 4 .
(Ⅱ) S n ? na1 ? 19. 解:原不等式可化为:[x(m-1)+3](x-3)>0

? 0<m<1, ∴-1< m -1<0, ∴ ?

3 3 ? ? 3; m ?1 1? m
5/6

∴ 不等式的解集是 ? x | 3 ? x ? 20.解: (Ⅰ)

? ?

3 ? ?. 1? m?

f ( x1 ) ? loga a2 ? 2

d ?2

? f ( xn ) ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n

即: loga xn ? 2n
(Ⅱ)当 a ?

xn ? a 2n
n

1 ?1? 时, x n ? ? ? 2 ? 4?

1 ?1? 1 ?? ? ? n 4 ? 4? 4 1 ? ?1? ? 1 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 3? ? ? 4? ? ? 3 1? 4
21.解: (Ⅰ)设第 n 年获取利润为 y 万元 n 年共收入租金 30n 万元,付出装修费构成一个以 1 为首项,2 为公差的等差数列, 共n?

n

n(n ? 1) ? 2 ? n2 2

因此利润 y ? 30n ? (81? n 2 ) ,令 y ? 0 解得: 3 ? n ? 27 所以从第 4 年开始获取纯利润.

30n ? (81? n 2 ) 81 ? 30 ? ? n (Ⅱ)年平均利润 W ? n n

? 30 ? 2 81 ? 12(当且仅当
所以 9 年后共获利润:12 ? 9 ? 46 =154(万元) 利润 y ? 30n ? (81? n ) ? ?(n ? 15) ? 144
2 2

81 ? n ,即 n=9 时取等号) n

所以 15 年后共获利润:144+ 10=154 (万元) 两种方案获利一样多,而方案①时间比较短,所以选择方案①.

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