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第四讲 等差数列与等比数列性质(学生版)


第四讲
一、要点梳理
1. 等比数列的定义
如果一个数列

等差数列与等比数列性质
,那么这个数列叫做 ,通常用字母 表示.

等比数列,这个常数叫做等比数列的 2. 等比数列的通项公式

设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an= 3. 等比中项 若 4.

等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am· ,(n,m∈N*). ),那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.

.

(2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n (k,l,m,n∈N*),则 (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0), ? 等比数列.

.

?1? ?a ? 2 bn}, ? n ? 仍是 ? ,{an},{an· ? an ? ? bn ?

二、例题精讲
1. (2012· 辽宁)已知等比数列{an}为递增数列,且 a2 5=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通 项公式 an=________.

2. (2012 年高考(福建理) )已知 ?ABC 得三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角的 余弦值为_________.
a c 3. 已知 a,b,c 成等比数列,如果 a,x,b 和 b,y,c 都成等差数列,则 + =________. x y

4. 设 f(x)=

1 .利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法,可求得 f(-5) 2 ? 2
x

+f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+f(6)的值为_____. 5. 定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x ) ,如果对于任意给定的等比数列 ?an ? , ? f (an )? 仍是等比数列 , 则称 f ( x ) 为“保等比数列函数”.现有定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的
2 x 如下函数:① f ( x) ? x ;② f ( x) ? 2 ;③ f ( x) ? | x | ;④ f ( x) ? ln | x | .

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x ) 的序号为( A.①② B.③④ C.①③

) D.②④

6.若数列{ an }的前 n 项和为 Sn=

2 1 an ? ,则数列{ an }的通项公式是 an =______. 3 3

1 7.在等比数列{an}中,(1)若已知 a2=4,a5=- ,求 an;(2)若已知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值. 2

8.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an+1,求证:{an}是等比数列,并求出通项公式.

1 9.已知数列{an}的各项均为正数,且前 n 项和 Sn 满足 Sn= (an+1)(an+2).若 a2,a4,a9 成等比 6 数列,求数列{an}的通项公式.

10.(2012· 湖北)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式;(2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和.

11.根据下列条件,确定数列{an}的通项公式: (1)a1=1,an+1=3an+2;证明:数列 ?an n-1 (2)a1=1,an= a (n≥2); n n-1 (3)已知数列{an}满足 an+1=an+3n+2,且 a1=2,求 an.

? 1?是等比数列,并求 an ;

12.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若 an+1≥an,n∈N*,求 a 的取值范围.

13.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ? (1)求 a2 , a3 ;(2)求 ?an ? 的通项公式.

n?2 an . 3

14.设数列 a1 , a2 ,

, an ,

中的每一项都不为 0.

证明:(1) ?an ? 为等差数列,则对任何 n ? N ,都有

1 1 ? ? a1a 2 a2 a3

?

1 n ; ? an an?1 a1an?1

(2)对任何 n ? N ,都有

1 1 ? ? a1a 2 a2 a3

?

1 n ,则 ?an ? 为等差数列. ? an an?1 a1an?1

三、课后练习
1.数列{an}的通项公式为 an=(-1)n 1· (4n-3),则它的前 100 项之和 S100 等于(


)

A.200

B.-200

C.400

D.-400

2.已知数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则这个数列前 30 项的绝对值的和是________. 3.已知数列{an}是等差数列,若 a9+3a11<0,a10· a11<0,且数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大值,那么 当 Sn 取得最小正值时,n 等于 ( A.20 B.17 C.19 D.21 ) )

? 1 ? 4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列?a a ?的前 100 项和为( ? n n+1?

A.

100 101

99 B. 101

99 C. 100

D.

101 100

Sn 2n-3 a9 5.设等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若对任意自然数 n 都有 = ,则 + Tn 4n-3 b5+b7 a3 的值为________. b8+b4

6. ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项和 Sn =



) A.

n2 7n ? 4 4

B.

n 2 5n ? 3 3

C.

n 2 3n ? 2 4

D. n ? n
2

7. 已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, ,且 a5 ? a2n? 5 ? 22n ( n ? 3),则当 n ? 1 时,

log2 a1 ? log2 a 3 ?
A. n(2n ? 1)

? log 2a n 2? 1 ? (
B. (n ? 1)
2

) C. n
2

D. (n ? 1)

2

8.在公差为 d 的等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 10 ,且 a1 ,2a2 ? 2,5a3 成等比数列. (1)求 d , an ; (2)若 d ? 0 ,求 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ??? | an | .


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