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四川省南充市2011-2012学年高二上学期期末考试数学试题


(总分 150 分, 考试时间:120 分钟)

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.以下给出的各数中,不可能是八进制数的是 ( ) A.123 B.10110 C.4724 D.7857

2 2.设集合 M ? {x x ? x ? 6 ? 0} , N ? {x 1 ≤ x ≤ 3} ,则 M

? N ? ( )

A. [1, 2)

B. [1, 2]
2

C. (2,3]
2

D. [2,3] )

3.设 x, y ? R, 则“ x ? 2 且 y ? 2 ”是“ x ? y ? 4 ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
2 2

B.必要而不充分条件 D.即不 充分也不必要条件 ( )
2 2

4.圆 ( x ? 2) ? y ? 5 关于原点 O(0, 0) 对称的圆的 方程为 A. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 5
2 2 2 2

B. x ? ( y ? 2) ? 5 C. ( x ? 2) ? y ? 5

D. x ? ( y ? 2) ? 5
2 2

i=1 WHEN i<8 i=i+2 3 3 A. 0 B. C. 1 D. s=2*i+3 3 WEND 6. 右边程序运行后的输出结果为( ) PRINT s A. 17 B. 19 C. 21 D. 23 END → → → → 7.已知 A、B、M 三点不共线,对于平面 ABM 外任一点 O,若OB+OM=3OP-OA, (第 6 题) 则点 P 与 A、B、M( ) A.共线 B.共面 C.不共面 D.不确定 2 2 x y 8. 双曲线 ? ? 1(mn ? 0) 离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,则 mn m n 的值为( ) 5.若点 (a,9) 在函数 y ? 3 的图象上,则 tan
x

a? 的值为( 6



A.

3 8

B.

16 3
2

C.

8 3

D.

3 16

2 9.已知命题 p :" ?x ? ?1, 2? , x ? a ? 0" ,命题 q :" ?x ? R, x ? 2ax ? 2 ? a ? 0" ,若命题

“ p ? q ” 是真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A. a ? ?2 或 a ? 1 B. a ? ?2 或 1 ? a ? 2 C. a ? 1 D. ?2 ? a ? 1 10. 若 m, n 表示不重合的两直线, ? 表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为( ① )

m // n ? m ??? m ??? m // ? ? ? ? n ? ? ;② ? ? m // n ;③ ? ? m ? n ;④ ?? n ?? m ??? n ?? ? n // ? ? m ? n?

A.1 个 B.2 个 C.3 个 11.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) [来源:学&科&网 Z&X&X&K] 销售额 y (万元) 4 2 3

D.4 个 5

49

26

39

54

? ? ? ? 根据上表可得回归方程 y ? bx ? a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元是销售额
为( ) A.6 3 .6 万元
[来源:学科网 ZXXK]

B. 65.5 万元

C. 67.7 万元

D. 72.0 万元

12.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与 a2 b2


双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A. ?1, 2 ? B. ?1, 2 ? C. ? 2, ?? ?

D. ? 2, ?? ?

二、填空题(每题 4 分,共 16 分)
13. 甲、乙、丙三名同学站成一排照相,甲 站中间的概率是 14.已知 {a n } 是等差数列,若 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 16, 则 S 9 ? _______. 15. 如右图, 边长为 2 的正方形中有一张封闭曲线围成的笑脸.在正方形中随机 撒一粒豆子,它落在笑脸区域的概率为 16.给出下列命题: ①与抛物线 y ? x 2 关于直线 y ?
1 1 x 对称的图形的方程为 y 2 ? x ; 2 8

.

2 ,则笑脸区域面积约为 3

②椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,焦点为 F1 、 F2 ,P 是椭圆上一点,且∠F1PF2=60?,则 ? PF1F2 的面积为 16 9

3 3;
③一直线 l 与双曲线
x2 y 2 ,则直线 l 的方程为 ? ? 1 交于 A,B 两点,弦 AB 的中点 P(1,2) 4 9

9x ? 8 y ? 7 ? 0 ;
x2 y 2 , ? ? 1 上四点 A,B,C,D 的横坐标分别为 m ,n,-n,-m,则 A B,C,D 到 9 4 其右焦点的距离之和为 12. 其中正确命题的序号是 .

④椭圆

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 74 分)解答应写出文字说明及演算步骤。
17. (本小题满分 12 分) 已知命题 p:方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆; 2m m ? 1

命题 q:双曲线

y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) ; 5 m

若“ p ? q ”为真, p ? q ”为假,求实数 m 的取值范围. “

[来源:Z_xx_k.Com]

b 18. (本小题满分 12 分) 已知 a ? ( 3, cos x, ?1), b ? (sin 2 x, 2cos x,1) , 函数 f ( x) ? a ? .
(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ?

?

?

? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 4? ?

19. (本小题满分 12 分)已知定点 F(

p p ,0)( p ? 0 )定直线 l : x ? ? ,动点 M( x, y ) , 2 2

到定点的距离等于到定直线 l 的距离. (Ⅰ)求动 点 M 的轨迹方程; (Ⅱ) 动点 M 的轨迹上的点到直线 3x+4y+12=0 的距离的最小值为 1,求 p 的值.

20. (本题满分 12 分)为了了解某年级 1000 名学生的百米成绩情况,随机抽取了若干学生 的百米成绩,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将成绩按如下方式分成五组:第一组[13, 14) ;第二组[14,15);??;第五组[17,18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图 所示,已知图中从左到右的前 3 个组的频率之比为 3∶8∶19,且第二组的频数为 8. (Ⅰ)将频率当作概率,请估计该年级学生中百米成绩在[16,17)内的人数; (Ⅱ)求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩;[来源:学|科|网] (Ⅲ)若从第一组和第五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩 的差的绝对值大于 1 秒的 概率.

21. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ⊥底面

ABCD, PA ? AB ? 6 ,点 E 是棱 PB 的中点.
(Ⅰ)求证:直线 AD ?平面PBC ; (Ⅱ) 求直线 AD 与平面 PB C 的距离; (Ⅲ)若 AD= 3,求二面角 A—EC—D 的平面角的余弦值.

[来源:学科网 ZXXK]

22. (本题满分 14 分)已知曲线 C : 4 x ? y y ? 1
2

(I)若直线 l : y ? 2 x ? m 与曲线 C 只有一个公共点,求实数 m 的取值范围;

[来源:学科网]

(II)若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B ,且 OA? OB ? ,求实数 k 的取值范围. O 为坐标原点)

??? ??? ? ?

1 (其中 3

南充高中 2011—2012 学年度上学期期末考试 高 2010 级数学参考答案(理科)

当 p 真 q 假时,则空集;

1 ? m ? 15 3 1 故 m 的取值范围为 ? m ? 15 3
当 p 假 q 真时,则

??11 分 ??12 分.

0 的距离为 d=

3x0 ? 4 y 0 ? 12 5

= ( y0 ?

4p 2 16 p 2 ) ? 8p ? . 3 9

因为 d min =1,所以 8p-

3 16 p 2 16 p 2 9 >0,即 0<p< 且 (8p- )=1, 9 9 2 10 p

所以 p=

21 . 8
2

??12 分 ( p ? 0) ??4 分

解法 2:(1) 动点 M 的轨迹方程为 y ? 2 px

(2)由题意可知,抛物线必在直线 3x+4y+12= 0 的上方。 则直线 3x+4y+12= 0 上方且和它相距为 1 的直线方程为 3x+4y+7= 0。

? y 2 ? 2 px 3y2 ? 由题意知 ? 只有一解。消去 x 得: +4y+7= 0。 2p ?3 x ? 4 y ? 7 ? 0 ?

{a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c, n},{c,p},{c,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q} 个 , 共 21

??9 分[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

其中满足成绩的差的绝对值大于 1 秒所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q}, {b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},{c,p},{c,q},共 12 个, 所以 P= ??10 分 ??12 分

12 4 ? 21 7

21. 解法一: (1) 如下图,在矩形 ABCD 中,AD∥BC, 又? AD ? P平面BC , BC ? 平面PBC

?AD∥平面 PBC
(2) 由(1)知 AD∥平面 PBC,

??4 分

故直线 AD 与平面 P BC 的距离为点 A 到平面 PBC 的距离.

1 3 因为 AE⊥平面 PBC,故 AE⊥CE,又 FG⊥CE,FG// AE,从而 FG= ,且 G 点为 AC 的中点. 2 2 连接 DG.则在 Rt△ADC 中,

DG= AC=

1 2

1 3 AD2+CD2= . 2 2

所以 cos∠DFG= 解法二: (1)略

DF2+FG2-DG2 6 = . 2·DF·FG 3

??12 分 ??4 分

(2)如右图,以 A 为坐标原点,射线 AB、AD、AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正半轴,建立空间直角坐标系 A-xy z. 设 D(0,a,0),则 B ( 6,0,0) ,C( 6,a,0),P(0,0, 6),E( 6 6 → → 因此AE=( ,0, ),BC=(0,a,0), 2 2 → 6 6 ,0, ). 2 2

PC=( 6,0,- 6).
→ → → → 则AE·BC=0,AE·PC=0,所以 AE⊥平面 PBC. 又由 AD∥BC 知 AD∥平面 PBC,

→ 故直线 AD 与平面 PBC 的距离为点 A 到平面 PBC 的距离, 即为|AE|= 3. 分

??8

?x2=0, ? 故? 6 6 ? 2 x2- 3y2+ 2 z2=0. ?

联立

时 直线 与椭 圆

下半部分相切; 综上可得:

????4 分


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