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新课标极坐标参数方程高考题汇总


极坐标参数方程训练题
? x ? a ? 2t ? x ? 4cos ? 1、已知直线 l 的参数方程为 ? (? 为参数). (1)求直 (t为参数) ,圆 C 的参数方程为 ? ? y ? 4sin ? ? y ? ?4t
线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围.

?x=1- 22

t, 2.. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),直线 l 与抛物线 y =4x 相交于 A,B 2 ?y=2+ 2 t
2

两点,求线段 AB 的长.

3.:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标 方程为ρ =2cosθ ,θ ∈错误!未找到引用源。.(1)求 C 的参数方程. (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线 与直线 l:y= 3 x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标.

-1-

4.在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为
2 2

极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程.(II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?
π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 M , N ,求 4

?C2 MN 的面积.

? x ? t cos ? , 5.直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 : ? ( t 为参数, t ? 0 ) ,其中 0 ? ? ? ? ,在以 O 为极点, x 轴正半 y ? t sin ? , ?
轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? ,曲线 C3 : ? ? 2 3 cos? . (Ⅰ).求 C2 与 C1 交点的直角坐标; (Ⅱ).若 C2 与 C1 相交于点 A ,C3 与 C1 相交于点 B ,求 AB 的最大值.

6.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。圆 C1 ,直线 C2 的极坐标方程分

? 别为 ? ? 4sin ? , ? cos(? ? ) ? 2 2. 4
(?) 求 C1 与 C2 的交点的极坐标; (?? ) 设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 的交点连线 的中点,已知直线 PQ 的

? x ? t 3 ? a, ? 参数方程为 ? b 3 (t ? R为参数). 求 a , b 的值。 y ? t ?1 ? ? 2

-2-

? x ? 4 ? 5cos t , 7.已知曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立 ? y ? 5 ? 5sin t ,
极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ) 。

?x ? t ?1 8.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ? (t 为 参 数 ), 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 y ? 2 t ?

? x ? 2 tan 2 ? ( ? 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程, 并求出它们的公共点的坐标. ? ? y ? 2 tan ?

9.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 .已知点 A 的极坐标为
?? ? ? ? 2 , ? ,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? a ,且点 A 在直线 l 上。 4? 4 ?

(Ⅰ)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)圆 C 的参数方程为 ? 与圆 C 的位置关系.

? x ? 1 ? cos a, (a为参数) ,试判断直线 l ? y ? sin a

-3-

? x ? 2cos t 10.已知动点 P, Q 都在曲线 C: ? ? y ? 2sin t
为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程.

?t为参数?

上, 对应参数分别为 t=α 与 t =2α(0<α <2π ) ,M

(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

? ?x=2+t, x2 y2 11、已知曲线 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 9 ?y=2-2t ?

(1)写出曲线 C 的参数方程、直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值.

12、在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2 cos? ,( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

M 是曲线 C1 上的动点,点 P 满足 OP ? 2OM , (1)求点 P 的轨迹方程 C 2 ; (2)在以 D 为极点,X 轴的正半轴为极 轴的极坐标系中,射线 ? ?

?
3

与曲线 C1 , C 2 交于不同于原点的点 A,B 求 AB

-4-

13、在极坐标中,已知圆 C 经过点 P

?

2,

? ? ,圆心为直线 ? sin ? ? ? 4 ?

?

?? 3 ?? 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. ? 3? 2

2 14、在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2 +y 2 =4 ,圆 C2 : ? x-2 ? +y =4 2

(1)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 ,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1 ,C2 的交点坐标 (用极坐标表示) (2)求圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程

15、 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系, 曲线 C 2 (?为参数) , ?y ? 3sin?

的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上,且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
2 2 2 2

?
3

)

-5-

极坐标参数方程训练题
1.【解析】(1)直线 l 的普通方程为 2 x ?

y ? 2a ? 0 ,圆 C 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 16

(2)∵直线 l 与圆 C 有公共点,∴圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d

?

?2a 5

? 4 ,解得 ?2 5 ? a ? 2 5 ,

∴实数 a 的取值范围是 [?2

5,2 5] XXK]
2

?x=1- 22t, 2 2 2.【解析】解:将直线 l 的参数方程? 代入抛物线方程 y =4x,得?2+ t? =4?1- t?, 2 2 ? ? ? ? 2 y = 2 + t ? 2
2

解得 t1=0,t2=-8 所以 AB=|t1-t2|=8

2, 2.

3.【解析】 (1)C 的普通方程为

? x ? 1?

2

? y2 ? 1

(0≤y≤1).

可得 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos t ? y ? sin t
3 , t=

(t 为 参数,0≤t≤π ).

(2)设 D(1+cos t,sin t) ,由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t=

? 3

.

故 D 的直角坐标为 ?1 ? cos

? ?

?
3

,sin

??
? 3?

,即 ?

?3 3? ?2, 2 ? ? ? ?

.

4.【解析】 (Ⅰ)因为 x

? ? cos? , y ? ? sin? , ? ?2 , C2 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin? ? 4 ? 0

∴ C1 的极坐标方程为 ? cos ? (Ⅱ)将 ? = 解得 ?1 =

? 4

代入 ?

2

2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 ,得 ? ? 3 2? ? 4 ? 0 ,

2 2 , ?2 = 2 ,|MN|= ?1 - ?2 = 2 ,
1 1 ? 2 ? 1? sin 45o = 2 2
2

因为 C2 的半径为 1,则 ?C2 MN 的面积

.

考点:直角坐标方程与极坐标互化;直线与圆的位置关系 5.【解析】 (Ⅰ)曲线 C2 的直角坐标方程为 x 曲线 C3 的直角坐标方程为 x
2

? y2 ? 2 y ? 0 ,

? y2 ? 2 3x ? 0 .
3 , 2 3 , 2

? 2 2 x? ? ? x ? 0, ? ? x ? y ? 2 y ? 0, ? 联立 ? 解得 ? 或? 2 2 ? ? y ? 0, ? y ? ? x ? y ? 2 3x ? 0, ? ?

-6-

所以 C2 与 C1 交点的直角坐标为 (0, 0) 和 (

3 3 , ). 2 2

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? 因此

? ? ( ? ? R, ? ? 0) ,其中 0 ? ? ? ?



A 得到极坐标为 (2sin ? , ? ) , B 的极坐标为 (2 3 cos ? , ? ) .
AB ? 2sin ? ? 2 3 cos ? ? 4 s in(? ? ) 3
? 5? 6
时,

所以

?



当?

AB

取得最大值,最大值为 4 .

6.【解析】 (? ) 由 ?

? x 2 ? y 2 , ? cos ? ? x, ? sin ? ? y 得,
2

圆 C1 的直角坐标方程为 x

? ( y ? 2)2 ? 4
y?4 ? 0

直线 C2 的直角坐标方程分别为 x ?

由?

? x2 ? ( y ? 2)2 ? 4, ? x ? y ? 4 ? 0.

解得 ?

? x1 ? 0, ? y1 ? 4,

? x2 ? 2, ? ? y2 ? 2,

所以圆 C1 ,直线 C2 的交点直角坐标为 (0, 4),(2, 2) 再由

? ? ? ? x 2 ? y 2 , ? cos ? ? x, ? sin ? ? y ,将交点的直角坐标化为极坐标 (4, ), (2 2, ) 所以 C1 与 C2 的交点的极坐标 2 4 ? ? (4, ), (2 2, ) 2 4
(?? ) 由 (?) 知,点 P , Q 的直角坐标为 (0, 2), (1,3)

故直线 PQ 的直角坐标方程为 x ? 由于直线 PQ 的参数方程为

y?2?0



? x ? t 3 ? a, ? ? b 3 (t ? R为参数). ? y ? t ?1 ? 2
b ab x? ?1 2 2 ?b ? 1, ? ? 2 对照①②可得 ? ? ? ab ? 1 ? 2. ? ? 2
消去参数

y?



解得 a ? ?1, b ? 2.

-7-

7.【解析】将 ?

? x ? 4 ? 5 cost 2 2 消去参数 t ,化为普通方程 ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 25 , ? y ? 5 ? 5 sin t

即 C1 : x

2

? y 2 ? 8x ? 10y ? 16 ? 0 .

将?

? x ? ? cos? 2 2 代入 x ? y ? 8x ? 10y ? 16 ? 0 得 ? y ? ? sin ?

? 2 ? 8? cos? ? 10? sin ? ? 16 ? 0 .
(Ⅱ) C 2 的普通方程为 x
2

? y2 ? 2y ? 0 .

2 2 ? ?x ? 1 ?x ? 0 ? x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 由? ,解得 ? 或? . 2 2 ? ?y ? 1 ?y ? 2 ?x ? y ? 2 y ? 0

所以 C1 与 C 2 交点的极坐标分别为 (

2 , ) , (2, ) 4 2

?

?

8.【解析】 因为直线

l

的参数方程为 ?

?x ? t ?1 (t y ? 2 t ?

为参数), 由 x = t+1 得 t = x-1, 代入 y = 2t, 得到直线 l 的普通方程为 2x-y-2 = 0.

同理得到曲线 C 的普通方程为

y 2 = 2x.

联立方程组 ?

? y ? 2( x ? 1)
2 ? y ? 2x

,

1 , -1). 2 ? ? 9.【解析】 (Ⅰ)由点 A( 2, ) 在直线 ? cos(? ? ) ? a 上,可得 a ? 2 4 4
解得公共点的坐标为(2, 2), ( 所以直线 l 的方程可化为 ? cos ? 从而直线 l 的直角坐标方程为 x ?

? ? sin ? ? 2 y?2 ? 0
2

(Ⅱ)由已知得圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) 所以圆心为 (1, 0) ,半径 r ? 1

? y2 ? 1

以为圆心到直线的距离 d

?

2 ? 1 ,所以直线与圆相交 2

10.【解析】 (1)依题意有 P

? 2cos?,2sin ? ? , Q ? 2cos2?,2sin 2? ? , 因此

M ? cos ? ? cos 2? ,sin ? ? sin 2? ? .
M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? cos 2? ??为参数,0 ? ? ? 2? ? ? y ? sin ? ? sin 2?
-8-

(2)M 点到坐标原点的距离

d ? x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? , ? 0 ? ? ? 2? ? .
当?

? ? 时, d ? 0 ,故 M 的轨迹过坐标原点.

?x=2cos θ , ? 11、解:(1)曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数),直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. ?y=3sin θ ?

(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ ,3sin θ )到直线 l 的距离 d= 则|PA|= d 2 5 = |5sin(θ+α)-6|, 5 sin 30°

5 |4cos θ +3sin θ -6|, 5

4 其中 α 为锐角,且 tan α = . 3 当 sin(θ+α)=-1 时,|PA|取得最大值, 22 5 最大值为 . 5 2 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 . 5

-9-


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