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高考数学选择题的解题技巧

时间:2017-11-17


高考数学选择题的解题技巧
解数学选择题的常用方法, 主要分直接法和间接法两大类. 直接法是解答选择题最基本、 最常用的方法,但高考的题量较大,如果所有选择题都用直接法解答,不但时间不允许,甚 至有些题目根本无法解答,因此,我们还要研究解答选择题的一些技巧.总的来说,选择题 属小题,解题的原则是:小题巧解,小题不能大做. 方法一 直接法 直接法就是从题干给出的条件出发,进

行演绎推理,直接得出结论.这种策略多用于一 些定性的问题,是解选择题最常用的策略.这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断 题改编而成的,可直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等 通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论,然后与选择支对照,从而作出 相应的选择. 例1 1 数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1= ,且对任意正整数 m、n,都有 am+n=am· an, 3 )

若 Sn<a 恒成立,则实数 a 的最小值为( 1 A. 2 2 B. 3 3 C. 2 D.2

an +1 1 解析 对任意正整数 m、n,都有 am+n=am· an,取 m=1,则有 an+1=an· a1? =a1= ,故 an 3 1 1 ?1- n? 3 3 1 1 1 1 1 数列{an}是以 为首项,以 为公比的等比数列,则 Sn= = (1- n)< ,由于 Sn<a 对任 3 3 1 2 3 2 1- 3 1 1 意 n∈N*恒成立,故 a≥ ,即实数 a 的最小值为 ,选 A. 2 2 思维升华 直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广,只要运算正确 必能得出正确的答案.平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力,准确把握题目的特 点.用简便的方法巧解选择题,是建立在扎实掌握“三基”的基础上的,否则一味求快则会 快中出错. 将函数 y=sin 2x(x∈R)的图象分别向左平移 m(m>0)个单位、 向右平移 n(n>0)个单 π 位所得到的图象都与函数 y=sin(2x+ )(x∈R)的图象重合,则|m-n|的最小值为( 3 π A. 6 5π B. 6 π C. 3 2π D. 3 )

解析 函数 y=sin 2x(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位可得 y=sin 2(x+m)=sin(2x+2m) 的图象,向右平移 n(n>0)个单位可得 y=sin 2(x-n)=sin(2x-2n)的图象.若两图象都与函数

1

π y=sin(2x+ )(x∈R)的图象重合,则 3

?2m=3+2k π, ? π ?2n=-3+2k π,
1 2

π

?m=6+k π, (k ,k ∈Z)即? π ?n=-6+k π.
1 1 2 2

π

(k1,

π π k2∈Z)所以|m-n|=| +(k1-k2)π|(k1,k2∈Z),当 k1=k2 时,|m-n|min= .故选 C. 3 3 方法二 特例法 特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条 件,得出特殊结论,再对各个选项进行检验,从而做出正确的选择.常用的特例有特殊数值、 特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等. 特例检验是解答选择题的最佳方法之一,适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒 成立”,这样以全称判断形式出现的题目,其原理是“结论若在某种特殊情况下不真,则它 在一般情况下也不真”,利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略. 例2 (1)等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( )

A.130 B.170 C.210 D.260 (2)如图,在棱柱的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一动点 P、Q 满足 A1P=BQ, 过 P、Q、C 三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为( A.3∶1 B.2∶1 C.4∶1 D. 3∶1 )

解析 (1)取 m=1,依题意 a1=30,a1+a2=100,则 a2=70,又{an}是 等差数列,进而 a3=110,故 S3=210,选 C. (2)将 P、 Q 置于特殊位置: P→A1, Q→B, 此时仍满足条件 A1P=BQ(=0), 则有 VC ? AA1B = VA1 ? ABC =

VABC ? A1B1C1 3

,故选 B.

思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效,比较适用于题目中含有字母或具有一般性结 论的选择题,但用特例法解选择题时,要注意以下两点: 第一,取特例尽可能简单,有利于计算和推理; 第二,若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符,则应选另一特例情况再检验, 或改用其他方法求解. cos B → cos C → → 已知 O 是锐角△ABC 的外接圆圆心,∠A=60° , · AB+ · AC=2m· AO, sin C sin B 则 m 的值为( A. 3 2 B. 2 ) C.1 1 D. 2

答案 A 解析 如图,当△ABC 为正三角形时,A=B=C=60° ,取 D 为 BC 的中点,

2

→ 2→ AO= AD,则有 3 1 → 1 → → AB+ AC=2m· AO, 3 3 ∴ ∴ 1 → → 2→ (AB+AC)=2m× AD, 3 3 1 → 4 → · 2AD= mAD, 3 3 3 ,故选 A. 2

∴m=

方法三 排除法(筛选法) 例3 函数 y=xsin x 在[-π,π]上的图象是( )

解析 容易判断函数 y=xsin x 为偶函数,可排除 D; π 当 0<x< 时,y=xsin x>0,排除 B; 2 当 x=π 时,y=0,可排除 C;故选 A. 思维升华 排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时,先 根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的,予以否定,再根据另一些条件在缩小选项的范 围内找出矛盾,这样逐步筛选,直到得出正确的答案.它与特例法、图解法等结合使用是解 选择题的常用方法. 函数 y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],a 变动时,方程 b=g(a)表示的图 形可以是( )

解析 研究函数 y=2|x|,发现它是偶函数,x≥0 时,它是增函数,因此 x=0 时函数取得最小 值 1,而当 x=± 4 时,函数值为 16,故一定有 0∈[a,b],而 4∈[a,b]或者-4∈[a,b],从
3

而有结论 a=-4 时,0≤b≤4,b=4 时,-4≤a≤0,因此方程 b=g(a)的图形只能是 B. 方法四 数形结合法(图解法) 在处理数学问题时,能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来,通过对规范图 形或示意图形的观察分析,将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等) 与某些图形结合起来,利用图象的直观性,化抽象为直观,化直观为精确,从而使问题得到 解决,这种方法称为数形结合法. 例4 1?|x-1| 函数 f(x)=? ?2? +2cos πx(-2≤x≤4)的所有零点之和等于( )

A.2 B.4 C.6 D.8 1?|x-1| 解析 由 f(x)=? ?2? +2cos πx=0, 1?|x-1| 得? ?2? =-2cos πx, 1?|x-1| 令 g(x)=? ?2? (-2≤x≤4), h(x)=-2cos πx(-2≤x≤4),

??1?x-1 1?|x-1| ??2? , 1≤x≤4, ? 又因为 g(x)=?2? =? ? ?2x-1, -2≤x<1.
1?|x-1| 在同一坐标系中分别作出函数 g(x)=? ?2? (-2≤x≤4)和 h(x)=-2cos πx(-2≤x≤4)的图象 (如图),

1?|x-1| 由图象可知,函数 g(x)=? ?2? 关于 x=1 对称, 又 x=1 也是函数 h(x)=-2cos πx(-2≤x≤4)的对称轴, 1?|x-1| 所以函数 g(x)=? ?2? (-2≤x≤4)和 h(x)=-2cos πx(-2≤x≤4)的交点也关于 x=1 对称,且 两函数共有 6 个交点,所以所有零点之和为 6. 答案 C 思维升华 本题考查函数图象的应用,解题的关键是将零点问题转化为两图象的交点问题, 然后画出函数的图象找出零点再来求和.

4

严格地说,图解法并非属于选择题解题思路范畴,但它在解有关选择题时非常简便有效.运 用图解法解题一定要对有关函数的图象、方程曲线、几何图形较熟悉.图解法实际上是一种 数形结合的解题策略. 过点( 2, 0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A、 B 两点, O 为坐标原点, 当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于( A. 3 3 B.- 3 3 C.± 3 3 )

D.- 3

答案 B 解析 由 y= 1-x2,得 x2+y2=1(y≥0),其所表示的图形是以原点 O 为圆心,1 为半径的 上半圆(如图所示).

由题意及图形,知直线 l 的斜率必为负值,故排除 A,C 选项.当其斜率为- 3时,直 线 l 的方程为 3x+y- 6=0, 点 O 到其距离为 B. 方法五 估算法 由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程.因此,有些题目,不必进行准确的 计算, 只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计, 便能作出正确的判断, 这就是估算法. 估 算法往往可以减少运算量,但是加强了思维的层次. x≤0, ? ? 若 A 为不等式组?y≥0, ? ?y-x≤2 |- 6| 6 = >1, 不符合题意, 故排除 D 选项. 选 2 3+ 1

例5

表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线

x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为( 3 7 A. B.1 C. D.2 4 4

)

解析 如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形. 1 阴影部分面积比 1 大,比 S△OAB= ×2×2=2 小,故选 C 项. 2 答案 C 思维升华 “估算法”的关键是确定结果所在的大致范围,否则“估算”就没有意义.本题 的关键在于所求值应该比△AOB 的面积小且大于其面积的一半. m-3 4-2m π θ 已知 sin θ= ,cos θ= ( <θ<π),则 tan 等于( 2 2 m+5 m+5 )

5

m-3 A. 9-m 答案 D

m-3 B. |9-m|

1 C. 3

D.5

θ 解析 利用同角正弦、 余弦的平方和为 1 求 m 的值, 再根据半角公式求 tan , 但运算较复杂, 2 试根据答案的数值特征分析.由于受条件 sin2θ+cos2θ=1 的制约,m 为一确定的值,进而推 θ π π θ π θ 知 tan 也为一确定的值,又 <θ<π,因而 < < ,故 tan >1. 2 2 4 2 2 2

1.解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法.但大部 分选择题的解法是直接法,在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一 种或几种方法“巧解”,在“小题小做”、“小题巧做”上做文章,切忌盲目地采用直接法. 2.由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强,稍不留心就会误入“陷阱”, 应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证,既谨慎选择,又大胆跳跃. 3.作为平时训练,解完一道题后,还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”,并注意及 时总结,这样才能有效地提高解选择题的能力.

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