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2012~2013学年度第二学期马鞍山市“四校联合”期中学业素质测试 高二年级数学(文)试题


2012~2013 学年度第二学期马鞍山市“四校联合”期中学业素质测试

A、 a ? b ? 0

B、 a ? c ? 0

C、 ( a ? b )( a ? c ) ? 0

D、 ( a ? b )( a ? c ) ? 0

高二年级
满 分:150 分

/>第Ⅰ卷

数学(文)试题
限 时:120 分钟
共 50 分) (选择题

9、已知函数 f ( x ) 满足:① ? x , y ? R , f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ,② ? x ? 0 , f ( x ) ? 0 ,则 ( ) A、 f ( x ) 是偶函数且在 ( 0 , ?? ) 上单调递减 C、 f ( x ) 是奇函数且单调递减

一、选择题(本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1、已知复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 2 ,则 z 等于( ) A、 ? 1 ? i B、 1 ? i
2

B、 f ( x ) 是偶函数且在 ( 0 , ?? ) 上单调递增 D、 f ( x ) 是奇函数且单调递增
? a, a ? b ? 1, ?b, a ? b ? 1.

10 、 对 实 数 a 与 b , 定 义 新 运 算 “ ? ”: a ? b ? ?
f ( x) ? ? x ? 2 ? ? ? x ? x
2 2

设 函 数

C、 ? 1 ? i
2

D、 1 ? i )

2、设 R 为实数集,集合 S ? ?x log A、 ? x C、 ? x
1 ? x ? 2? 1 ? x ? 2?

x ? 0 ? , T ? ? x x ? 4 ? ,则 S ? ( C R T ) ? (

? , x ? R. 若函数 y ?

f ( x ) ? c 的零点恰有两个,则实数 c 的取值范

B、 ? x D、 ? x

1 ? x ? 2? 1 ? x ? 2?

围是(


3 2 )

A、 ( ?? , ? 2 ] ? ( ? 1,
1 1

B、 ( ?? , ? 2 ] ? ( ? 1, ? D、 ( ? 1, ? 第Ⅱ卷(非选择题
3 4 )?[ 1 4

3 4

)

3、 过点(-1,3)且平行于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( A、 x ? 2 y ? 7 ? 0 B、 2 x ? y ? 1 ? 0 ) C、 x ? 2 y ? 5 ? 0 D、 2 x ? y ? 5 ? 0 4、阅读右面的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为( A、3 B、4 C、5 D、6

)

C、 ( ?? , ) ? ( , ?? )
4 4

, ?? )

共 100 分)

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在题中横线上.) 11、设 a ? 0.5 2 , b ? 2 0.5 , c ? log 0.5 4 ,则 a , b , c 从大到小的顺序为 。 (用“>”连接)

5、用反证法证明命题:“m、n∈N,mn 可被 5 整除,那么 m、n 中至少 有一个能被 5 整除”时,假设的内容应为( A、m、n 都能被 5 整除 C、m、n 不都能被 5 整除 A、若 l // ? , ? ? ? ? m ,则 l // m C、若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ? ) B、m、n 都不能被 5 整除 D、m 不能被 5 整除 ) B、 若 l // ? , m // ? ,则 l // m D、若 l // ? , m ? l ,则 m ? ? 第 4 题图

12、 如图是一个正三棱柱零件, AB 1 平行于正投影面, 面 则零件的左 (侧) 视图的面积为__________。

6、关于直线 l , m 及平面 ? , ? ,下列命题中正确的是(

13 、 已 知

f ( x) ?

i

x

( x ?

N

*

)

其 中 i 为 虚 数 单 位 ,
2 2



f (1 ) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? ? ? ? f ( 2013 ) ? __________ 。

7、在对某样本进行实验时,测得如下数据:
x

14、点 P 在圆 C 1 : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,点 Q 在圆 C 2 : x ? y ? 8 x ? 4 y ? 11 ? 0 上,
2 2

2

1

4

3 4.1

3.1 1.9 4.9 则 y 与 x 之间的回归直线方程为( )
y
? A、 y ? x ? 1 ? B、 y ? x ? 2

则 PQ 的最小值是__________。
2 15、已知点 A ( x 1 , x 1 ) , B ( x 2 , x 2 ) 是函数 y ? x 的图像上任意不同两点,依据图像可知,线段
2 2

? C、 y ? 2 x ? 1

? D、 y ? x ? 1

8、分析法又称为执果索因法,若用分析法证明: “设 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0 ,求证:
b
2

AB 总是位于 A 、 B 两点之间函数图像的上方,因此有结论

x1 ? x 2 2

2

2

? (

x1 ? x 2 2

) 成立。运用类

2

? ac ?

3 a ”索的因应不能是(



比思想方法可知,若点 A ( x 1 , lg x 1 ) , B ( x 2 , lg x 2 ) 是函数 y ? lg x ( x ? 0 , ?? ) 的图像上的不同两 点,则类似地有 成立。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) ...................... 16、 (本小题满分为 12 分)已知复数 z 1 ? ( a ? a ) ? 3 ai , z 2 ? ? 2 ? a i ,问:当 a 为何实数时?
2 2

20、 (本小题满分 13 分) 过原点 O 且以 C ( t , )( t ? R , t ? 0 ) 为圆心的圆与 x 轴、y 轴分别交于点 A
t

2

和B . (Ⅰ)求证:△ OAB 的面积为定值; (Ⅱ)设直线 y
? ?2 x ? 4

(Ⅰ) z ? z 1 ? z 2 为虚数;
z1 ? z 2 ;

(Ⅱ) z ? z 1 ? z 2 在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上; (Ⅲ)

与圆 C 交于点 M 、 N ,若 OM

? ON ,求圆 C 的方程.

21、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? x ? ( a ? x ) , a ? R 。 17、 本小题满分 12 分) ( 某班主任对全班 50 名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查, 统计数据如下表所示: 积极参加班级工作 学习积极性高 学习积极性一般 合 计 18 6 24 不太主动参加班级工作 7 19 26 合计 25 25 50 (Ⅰ)当 a ? 4 时,画出函数 f ( x ) 的大致图像,并写出其单调递增区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 x ? [ 0 , 2 ] 上是单调递减函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若不等式 x ? ( a ? x ) ? 6 对 x ? ? 0 , 2 ? 恒成立,求实数 a 的取值范围

(Ⅰ)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少? 抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (Ⅱ)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有 关系?并说明理由。 参考数据:
P K ? k) (
k
2

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

参考公式: K

2

?

n ( ad ? bc )

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )
2

, 其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量。

18、本小题满分 12 分) ( 函数 f ( x ) ? ln( x ? 2 x ? 3 ) 的定义域为集合 A , 函数 g ( x ) ? 2 x ? a ( x ? 2 ) 的值域为集合 B . (Ⅰ)求集合 A , B ; (Ⅱ)若集合 A , B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. 19、 (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方 形, PD ? 底面 ABCD , M 、 N 分别为 PA 、 BC 的中点, 且 PD ?
CD ? 1
2 ,

(Ⅰ)求证: MN // 平面 PCD ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 PBD ; (Ⅲ)求三棱锥 P ? ABC 的体积。

2012~2013 学年度第二学期马鞍山市“四校联合”期中学业素质测试

高二年级

数学(文)参考答案
1 0 B

一、选择题(本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 B 6 C 7 A 8 D 9 D

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在题中横线上.) 11、 13、
b ? a ? c

12、 14、
x1 ? x 2 2

4

3

i
lg x 1 ? lg x 2 2

3

5 -5

15、

? lg

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 16、 【解】 (Ⅰ) z ? z 1 ? z 2 ? ( a ? a ? 2 ) ? ( 3 a ? a ) i ??1 分
2 2

? z

为虚数

? 3a ? a

2

? 0 ???3 分

? a ? 0 且 a ? ? 3 ????????4 分

(Ⅱ) z ? z 1 ? z 2 ? ( a ? a ? 2 ) ? ( 3 a ? a ) i ??5 分
2 2

依题意: ?

? ?a

2

? a ? 2 ? 0
2

?3a ? a ?

? 0

? a ? ? 1或 a ? 2 ????7 分 ? ? a ? 3或 a ? 0

? a ? ? 1 ????????????????????8 分
?3a ? 0 ? 2 ? ?? a ? 0 ? ?a
2

(Ⅲ)? z 1 ? z 2

??????10 分

? a ? ?2

解得 ?

?a ? 0 ?a ? R

????????????????11 分

? a ? 0 ????????????????????12 分

17、 (Ⅰ) 【解】 积极参加班级工作的学生有 24 人, 总人数为 50 人, 所以概率为 2分

24 50

?

12 25

??

不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有 19 人,概率为 (Ⅱ)设 H 0 : 学习积极性与对待班级工作的态度无关。 利用公式计算 K 2 的观测值为
50 ? (18 ? 19 ? 6 ? 7 ) 25 ? 25 ? 24 ? 26
2

19 50

?????4 分

k ?

?

150 13

? 11 . 538

?????9 分

在 H 0 成立的情况下,
P(K
2

? 10 . 828 ) ? 0 . 001

?????10 分

∴ 假设不成立 即有 99.9%的把握说学习的积极性与对待班级工作的态度有关 系。???????12 分

18、 【解】 (Ⅰ)A= { x | x ? 2 x ? 3 ? 0}
2

= { x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} = { x | x ? ? 1, 或 x ? 3} ,..???????????3 分 B= { y | y ? 2 ? a , x ? 2} ? { y | ? a ? y ? 4 ? a } . ?????????7 分
x

(Ⅱ)∵ A ? B ? B ,∴ B ? A , ..?????????????????9 分 ∴ 4 ? a ? ? 1 或 ? a ? 3 , ??????????????????????11 分 ∴ a ? ? 3 或 a ? 5 ,即 a 的取值范围是 ( ? ? , ? 3] ? (5, ? ? ) .????????12 分

19、 (Ⅰ)证明:取 AD 中点 E,连接 ME,NE, 由已知 M,N 分别是 PA,BC 的中点, 所以, ME // PD , NE // CD 又 ME, NE ? 平面 MNE, ME ? NE ? E , 所以,平面 MNE // 平面 PCD, 又因为 MN ? 平面 MNE, 所以,MN//平面 PCD。 ????????. 4 分 (Ⅱ)证明:ABCD 为正方形, 所以 AC ? BD , 又 PD ? 平面 ABCD, AC ? 平面 ABCD, 所以 PD ? AC ,因为 BD ? PD ? D , 所以 AC ? 平面 PBD,又因为 AC ? 平面 PAC, 所以平面 PAC ? 平面 PBD。 ??????? 8 分 (Ⅲ)解: PD ? 平面 ABCD, 所以 PD 为三棱锥 P ? ABC 的高, 三角形 ABC 为等腰直角三角形, 所以三棱锥 P ? ABC 的体积 V ?
1 3 S ? ABC ? PD ? 2 6

。 ????? 12 分

20、 【解】 (Ⅰ)∵圆 C 过原点 O,∴ O C 2 设圆 C 的方程为 ( x ? t ) 2 令x
? 0
? (y ? 2 t )
2

? t ?
2

4 t
2

????????????????1 分

? t ?
2

4 t
2

???????????????????2 分 ????????????????3 分

得 y1
? 1 2

? 0, y2 ?

4 t

;令 y
1 2 ?| 4 t

? 0

得 x1

? 0, x2 ? 2t

∴ S ?OAB

| O A | ? | O B |?

| ? | 2 t |? 4

,即△OAB 的面积为定值. ????????4 分

(Ⅱ)∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,∴OC 垂直平分线段 MN,???????????5 分 ∵ kMN
? ?2

,∴ k O C
2 t ?

?

1 2

,∴直线 OC 的方程为 y ,解得 t
? ?2
5

?

1 2

x

, ?????????????6 分

∵C 为圆心,∴ (ⅰ)当 t
d ?

1 2

t

?????????????????????8 分 ,此时点 C 到直线 y
? ?2 x ? 4

? 2

时, C ( 2 ,1) , | O C
? 5 5 ? 5

|?

的距离为:

| 2 ? 2 ? 1?1 ? 4 | 2 ?1
2

,直线与圆交于两点; ??????????????10 分
|? 5

(ⅱ)当 t
d ?

? ?2

时, C ( ? 2 , ? 1) , | O C
? 9 5 5 ? 5

,此时点 C 到直线 y
? ?2

? ?2 x ? 4

的距离为:

| ?2 ? 2 ? 1?1 ? 4 | 2 ?1
2

,直线与圆相离,∴ t
2

不符合题意,舍去. ???12 分

∴圆 C 的方程为: ( x ? 2 ) 2

? ( y ? 1)

? 5

????????????????????13 分
2

21、 【解】 (Ⅰ) a

? 4

时,

? ?? x ? 4 x (x ? 0) f (x) ? ? 2 ? x ? 4 x (x ? 0) ?



f (x)

的图象如图,图象画

出,???????????????????4 分 ∴单调递增区间为 [ 0 , 2 ] 。?????????5 分

(Ⅱ)解一:设 0 ? x 1 ? x 2 ? 2 , 当 f ( x ) 在 x ? [ 0 , 2 ] 上单调递减时, f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 对 0 ? x 1 ? x 2 ? 2 都成立,??????????6 分 即 ( x 1 ? x 2 )[ a ? ( x 1 ? x 2 )] ? 0 , a ? x 1 ? x 2 对 0 ? x 1 ? x 2 ? 2 都成立,???????8 分 所以 a ? 0 ?????????????????????????????????9 分 解二: (数形结合方法) x ? ? 0 , 2 ? 时, :
a 2 a
2

f ( x) ? x(a ? x) ? ? x ? ax ? ? ( x ?
2

) ?
2

?????????????????6 分
a 2

4

若函数 f ( x ) 在 x ? [ 0 , 2 ] 上是单调递减函数,则

? 0 ?????????????8 分

所以 a ? 0 ????????????????????????????????9 分

(Ⅲ)当 x 当0 ?
x? 2

? 0

时, 0 ? 6 成立,所以 a ?
6 x

R

;?????????????????10 分
6 x ) m in ;?????????11 分

时, a ? x ?
6 x

,即 a ? x ?

6 x

,只要 a ? ( x ?

设 g (x) ? x ? 当0 ?
x? 2

, g ( x ) 在 ( 0 , 6 ] 上递减,在 [

6 , ? ? ) 上递增,

时, g ( x ) m in ? g ( 2 ) ? 5 ;?????????????????????12 分

所以 a ? 5 ????????????????????????????????13 分 综上, x ( a ? x ) ? 6 对 x ? [ 0 , 2 ] 恒成立的实数 a 的取值范围是 ( ? ? , 5 ] 。 ???14 分 (其他解法酌情给分)


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