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数形结合的思想方法(4)--综合测试

时间:2010-12-18


数形结合的思想方法(4)-------综合测试

(4)------数形结合的思想方法(4)------(4)-------综合测试
一、选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. 方程 sin(x- )= x 的实数解的个数是( ). A. 2 B. 3 C. 4 D. 以上均不对 则实数 a、

2. 已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2(其中 a<b),且α、β是方程 f(x)=0的两根(α<β), b、 α、β的大小关系为( ). A. α<a<b<β B. α<a<β<b C. a<α<b<β D. a<α<β<b

3. 已知 y=f(x)是定义在R上的单调函数,实数 x1≠x2, -f(x2)<f(α)-f(β),则( ). A. λ<0 B. λ=0 C. 0<λ<1 D. λ≥1

, 若 f(x1)

4. 一给定函数 y=f(x)的图象在下列图中,并且对任意 a1∈(0,1),由关系式 an+1=f(an)得到的数 列{an}满足 an+1>an(n∈N+),则该函数的图象是( ).

5. 设函数 f(x)=

.若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是( ).

A. (-1,1) C. (-∞,-2)∪(0,+∞)

B. (-1,+∞) D. (-∞,-1)∩(1,+∞)

6. 已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈(0, )时恒成立,则 m 的取值范围是( ). A. (0,1) B. [ ,1) C. (1,∞) D. (0, ]

7. 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示,则( ).

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A. b∈(-∞,0) C. b∈(1,2)

B. b∈(0,1) D. b∈(2,+∞) ,则关于 x 的方程 f
2(x)+bf(x)+c=0

8. 设定义域为R的函数 f(x)= 实数解的充要条件是( ). A. b<0 且 c>0 C. b<0 且 c=0 B. b>0 且 c<0 D. b≥0 且 c=0

有7个不同

二、填空题(本题共6小题,每小题5分,共30分) 9. 曲线 y=1+ (-2≤x≤2)与直线 y=r(x-2)+4 有两个交点时,实数 r 的取值范围为___.

10. (4cosθ+3-2t)2+(3sinθ-1+2t)2(θ、t 为参数)的最大值是 ___. 11. 已知集合A={x|5-x≥ },B={x|x2-ax≤x-a},当A B时,a 的取值范围是____.

12. 若 3a=0.618,a∈[k,k+1],k∈Z,则 k=___. 13. 设α,β分别是方程 log2x+x-3=0 和 2x+x-3=0 的根,则α+β=___ ,log2α+2β=___. 14. 设函数 f(x)的图象与直线 x=a,x=b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在[a,b]上的面积, 已知函数 y=sinnx 在[0, ]上的面积为 (n∈N+), (1)y=sin3x 在[0, ]上的面积为___; ]上的面积为___.

(2)y=sin(3x-π)+1 在[

三、解答题(15~18每题13分,19~20每题14分,共80分) 15. 设A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,且 x∈A},C={z|z=x2,且 x∈A},若C 的取值范围. 16. 已知 A(1,1)为椭圆 最大值和最小值. 18. 已知关于 x 的不等式 19. 设函数 f(x)= >ax+b 的解集为( ),试求实数 a,b 的值. =1 内一点,F1 为椭圆左焦点,P 为椭圆上一动点.求 的 B,求实数 a

-ax,其中 a>0,解不等式 f(x)≤1.

20. 设 f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以 2 为周期的函数,对 k∈Z,用 Ik 表示区间[2k-1,2k+1), 已知当 x∈I0 时,f(x)=x2. (1)求 f(x)在Ik 上的解析表达式; (2)对自然数 k,求集合Mk={a |使方程 f(x)=ax 在Ik 上有两个不相等的实根}.

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一、选择题 1. B 2. A 3. A 4. A 5. D 6. B 7. A 8. C

二、填空题 9. 解:方程 y=1+ 的曲线为半圆,y=r(x-2)+4 为过(2,4)的直线. 答案:

10. 解:联想到距离公式,两坐标为A(4cosθ,3sinθ),B(2t-3,1-2t),点A的几何图形是椭圆, 点B表示直线.考虑用点到直线的距离公式求解. 答案: 答案:a>3

11. 解:解得A={x|1≤x≤3};B={x|(x-a)(x-1)≤0},画数轴可得. 12. 如图,在同一坐标系中分别作出 y=3x,y=0.618 的图象,易知,-1<a<0, 所以 k=-1.

13. 两个方程都是超越方程,用一般方法无法解决.但是 y=log2x 和 y=2x 互为反函数,其图象关于直线 y=x 对称,所以它们的图象与直线 y=3-x 的交点,即点 点为 y=3-x 与 y=x 的交点,即F( , ). 关于直线 y=x 对称,又F

如图,所以

.

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14. 解:本题给出了 y=sinnx 在[0, 上的面积及 y=sin(3x-π)+1在[ ,

]上的面积为

,需要由此类比 y=sin3x 在[0,



]上的面积,这需要寻求相似性,其思维的依据就是已知条件

给出的面积的定义和已知函数的面积,因此要研究这个已知条件,要注意已知条件所给出的是半个周期的 面积,而第(1)问则是 n=3 时一个周期的面积= 上的图象,就可以容易地得出答案π+ . ,第(2)问,画出 y=sin(3x-π)+1 在[ , ]

三、解答题 15. 解: ∵y=2x+3 在[-2,a]上是增函数,∴-1≤y≤2a+3,即B={y|-1≤y≤2a+3},作出 z=x2 的 图象,该函数定义域右端点 x=a 有三种不同的位置情况如下:

①当-2≤a≤0 时, a2≤z≤4 即C={z|a2≤z≤4}要使C B,必须且只需 2a+3≥4,得 a≥ 0矛盾; ②当0≤a≤2时,0≤z≤4即C={z|0≤z≤4},要使C B,由图可知:

,与-2≤a<

必须且只需

解得

≤a≤2;

③当 a>2 时,0≤z≤a2,即C={z|0≤z≤a2},要使C B必须且只需 解得2<a≤3; ④当 a<-2 时,A= ,此时B=C= ,则C B成立.

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综上所述,a 的取值范围是(-∞,-2)∪[

,3].

16. 解:由 椭圆定义,

=1 可知 a=3,b= ,

,c=2,左焦点F1(-2,0)右焦点F2(2,0).由

如图:





.

当P在AF2延长线上的P2处时,取右“=”号; 当P在AF2的反向延长线的P1 处时,取左“=”号.

即|PA| - |PF1| 的最大、最小值分别为

,-

.

于是|PF1|+|PA|的最大值是 6+

,最小值是 6-

.

17. 解:本题实际上是求正方形窗口边长最小值.由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小,所 以应 由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量的小. 如图:

设AE=x,BE=y,

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则有AE=AH=CF=CG=x,BE=BF=DG=DH=y,

18. 解:记 y1= 时,圆弧

,y2=ax+b,如图,原不等式的解集为 在直线 y2=ax+b 的上方,即直线 y2=ax+b 过点A

的充要条件是当 x∈ ,B .

19. 解:f(x)≤1即

≤1+ax 利用数形结合,设 y1=1+ax1,设 y2=



=1(y2

>0),所以研究的问题变为直线L∶y1=1+ax1 位于双曲线 C: 图所示:

=1 上半支上方时 x 的取值范围,如

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(1)当 0<a<1 时,直线L与双曲线C有两个交点,其对应横坐标分别为 x=0,x=

,所以 0≤x



; (2)当 a≥1 时,直线L与双曲线C只有(0,1)一个交点,所以只要 x≥0,原不等式就成立.

综上可知,当 0<a<1 时,所给不等式的解集为{x|0≤x≤ 当 a≥1 时,所给不等式的解集为{x|x≥0}. 20. (1)解:∵ f (x)是以2为周期的函数, ∵ 当 x∈Ik 时,(x-2k)∈I0,

};

∴ 当 k∈Z 时,2k 是 f(x)的周期,

∴ f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.

(2)解法一:当 k∈N 且 x∈Ik 时,利用(1)的结论可得方程(x-2k)2=ax. 整理得 x2-(4k+a)x+4k2=0. 它的判别式Δ=(4k+a)2-16k2=a(a+8k).

上述方程在区间 Ik 上恰有两个不相等的实根的充要条件是 a 满足

由①知 a>0,或 a<-8k.

当 a>0 时,因 2+a>2-a,

故从②,③可得

≤2-a,





即 0<a≤

.

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当 a<-8k 时,2+a<2-8k<0(∵ k∈N), 易知 <2+a 无解.

综上所述,a 应满足 0<a≤

.

故所求集合Mk={a|0<a≤ (2)解法二:同解法一,得 x2-(4k+a)x+4k2=0 (*)

}.

记 f(x)=x2-(4k+a)x+4k2.

如图知上述方程在区间 Ik 上恰有两个不相等的实根的充要条件是 a 满足

故所求集合 Mk={a|0<a≤

}.

【点评】 解法二无论从运算量,还是书写上均优于解法一.这是由于解法二借用“数形结合思想”思考 的 结果.利用解法二(利用二次函数图象研究一元二次方程的实根分布)主要应考虑:判别式、顶点位

置、区间端点处的函数值.


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