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河北省鸡泽县2016

时间:2017-08-08


2016-2017 学年度高一第二学期期中考试 数学试题(理科)
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1.sin 13 π 的值是( 6 B.-
2

). 3 2 C. 1 2 D. 3 2 ) D. (1,-2), )
<

br />1 A.- 2
2

2.圆 x +y +2x-4y=0 的圆心坐标和半径分别是( A.(1,-2),5 3. 对于函数 y=sin( B.(-1,2), 5

C.(-1,2),5 (

5

13 π -x) ,下面说法中正确的是 2

A 函数是周期为 π 的奇函数 C 函数是周期为 2π 的奇 函数 4. x ? [0,2? ] 上,满足 sin x ? A [0,

B 函数是周期为 π 的偶函数 D 函数是周期为 2π 的偶函数 ( ) D[

1 的 x 的取值范围是 2
C
2 2

?
6

]
2 2

B

? 2? [ , ] 6 3

? 5? [ , ] 6 6

5? ,? ] 6
)

5.圆 O1: x ? y ? 2 x ? 0 和圆 O2: x ? y ? 4 y ? 0 的位置关系是( A.外离 B.内切 C.外切 D.相交

6.已知点 A(0,1), B(3, 2) ,向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ? ( ) (A) (?7, ?4) (B) (7, 4) (C) (?1, 4) (D) (1, 4) ).

????

??? ?

7.若角 α 满足 sin α ?cos α <0,cos α -sin α <0,则 α 在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ) D.第四象限

8.对任意向量 a, b ,下列关系式中不恒成立的是( A. | a ? b |?| a || b | C. (a ? b) 2 ?| a ? b |2

? ?

? ?

? ?

B. | a ? b |?|| a | ? | b || D. (a ? b)(a ? b) ? a ? b )

? ?

?

?

? ?

? ?

?

? ? ?

?2

?2

9.函数 y=cosx+|cosx| x∈[0,2π ]的大致图象为(

1

10.若非零向量 a, b 满足|a|=

2 2 |b|,且(a-b)?(3a+2b) ,则 a 与 b 的夹角为 3
C、





3? D、 ? 4 2 4 ? ?? ?? ? f ( x) ? sin ? 2 x ? ? ?0, 2 ? 4 ? 上的最小值是 ( ? ? 11.函数 在区间 ?
A、

?

B、

?



A. ?1

2 2 B.

C.

?

2 2
2 2

D.0

12.过点 M(1,2)的直线 l 与圆 C:(x-2) +y =9 交于 A、B 两点,C 为圆心,当∠ACB 最小时,直线

l 的方程为(

) B.x-y+1=0 C.x=1 D.y=1

A.x-2y+3=0

二 、填空题(本题 4 小题,每小题 5 分) 13.设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是
2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | OA |? 3 ,则 OA ? OB ? 14.已知向量 OA ? AB ,
15. 已知 sin ? cos ? ?

2 , 且 cos2 ? ? ? cos? ,则 sin ? ? cos ? ? 5

y-2 2 2 16. 若实数 x,y 满足 x ? y ? 1,则 的最小值为_______ x-1 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分)已知α 是第三象限角, f (? ) ? (1)化简 f (? ) ;(2)若 cos(? ?

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) tan(?? )sin(?? ? ? )

3? 1 ) ? ,求 f (? ) 的值; . 2 5

2

18.(本小题满分 12 分)已知 a, b, c 是同一平面内的三个向量,其中 a ? (1, 2) . (1)若 | c |? 2 5 ,且 c ? a ,求 c 的坐标;

???

?

?

? ?

?

? ? ? ? ? ? ? 5 a ? 2 b 与 2 a ? b 垂直,求 a 与b的夹角? 。 (2)若 b ? ,且 2

19、(本小题满分 12 分)已知平面上 3 个向量 a, b, c 的模均为 1,它们相互之间的夹角均为 120

???

o

(a -b ) ?c; (1) 求证:
(2)若 | k a ? b ? c |? 1 (k∈R), 求 k 的取值范围。

? ?

?

? ? ?

π? ?1 ?? 20. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)=sin? x+φ ??0<φ < ?,y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x 2? ?2 ?? = π . 4 (1)求 φ ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区 间.

3

21.(本小题满 分 12 分)已知圆 C 的圆心在直线 x-3y=0 上,且圆 C 与 y 轴相切,若圆 C 截直线 y =x 得弦长为 2 7,求圆 C 的方程.

22.(本小题满分 12 分)已知点(0,1),(3+2 2,0),(3-2 2,0)在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值.

4

206-2017 学年度高一第二学期期中考试答案(理科) 一、选择题 1-5 CBDCD 二、填空题 13、 2 三、计算题 17. 解 (1)f(α ) = sin α ?cos?-α ??[-tan?π +α ?] -sin α ?cos α ?tan α = = -tan α [-sin?π +α ?] -tan α ?sin α 14、 9 15、 ? 6-10 ABBDA 11-12 CA

3 5 5

16、

3 4

cosα .???? ?????4 分 3 ? ? ?3 ? (2)∵cos?α - π ?=cos? π -α ?=-sin α , 2 ? ? ?2 ? 又 cos

?α -3π ? ? 2 ? ? ?



1 5





sin

α





1 .?????????????????????????????????????????? 5 ?????????????????????6 分 又 α 是第三象限角, ∴ cos α = -

1

2

?-

s =

i

n -

2 6 , ???????????????????????????????????????? 5 ?????????????????????9 分 ∴ f(α ) = -

2 6 .???????????????????????????????????????? 5

??????????????????????????????????????????? ???????????????????10 分
18. 解:(1)设 c =(x,y), ∵| c |= 2 5 , ∴ x +y =20,
2 2

?

?

x2 ? y2 ? 2 5

,



①????????????????????????????????

??????????????????????????????????????????2

5


∵ c ∥ a , a =(1,2), ∴2x-y=0, y=2x. 即 ②????????

?

? ?

??????????????????????????????????????????? ??????????????????????3 分

联立①②得 ∴ (-2,-4).



? c

=(2,4)



??????????????????????????????????????

??????????????????????????????????????????? ?????????????????????5 分
(2)∵ (a ? 2b) ? (2a ? b) , ∴ (a ? 2b)(2a ? b) ? 0 ,??????????????????????????????

?

?

? ?

?

?

? ?

??????????????????????????????????? ???????? ???????????????????????7 分
即 2a ? 3a ? b ? 2b ? 0 ∴ 2 | a |2 ?3a ? b ? 2 | b |2 ? 0 .

?2

? ?

?2

?

? ?

?

①?

??????????????????????????????????????????? ????????? ?????9 分
∵ | a | ? 5,| b | ?
2 2

?

?

? ? 5 5 ,代入①式得 a ? b ? ? 4 2

? ? a ?b ∴ cos ? ? ? ? ? | a || b |

?

5 2

5 5? 2

? ?1 .?????????????????????????

??????????????????????????????????????????? ?????????11 分
又 ∴θ =π . ∵θ ∈ [ 0 , π ] ,

??????????????????????????????????????

??????????????????????????????????????????? ??????????????12 分

??? a, 19、解:(1) ∵向量 b, c 的模均为 1,且它们之间的夹角均为 120°。
6



? ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

???????????????????????????????

??????????????????????????????????????????? ?????2 分

? ? ? ? ?| a || c | cos120? ? | b || c | cos120? ? 0 ????????????????????
??????????????????????????????????????4 分


? ? ? (a ? b) ? c .?????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????? ?????????????????????????5 分
(2) ∵ | k a ? b ? c |? 1, ∴

? ? ?

? ? ? | ka ? b ? c |2 ? 1 ???????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????? ????????6 分

? 2 ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ?k 2 a +b ? c ? 2ka ? b ? 2ka ? c ? 2b ? c ? 1
? ? ? ? ? ? 1 ?a ?b ? a ?c ? b ?c ? ? 2

?????????????????????

??????????????????????????8 分 ??????????????????????????

??????????????????????????????????????????? ???????????10 分
∴k -2k>0, ∴ k<0 或 k>2 即 k 的 取 值 范 围 是
2

(?

?,

0 ? ?????????????????????????????????? ) ?( ? 2 , )

??????????12 分
π 20. 解 (1)∵x= 是 y=f(x)的图象的 一条对称轴, 4

7



sin

?1?π +φ ? ?2 4 ? ? ?



±1





π 8



φ



kπ +

π 2



k



Z , ?????????????????????????????????????????

?????????????????2 分
∵ 0<φ < π 2 , ∴ φ =

3π .????????????????????????????????????????? 8

??????????????????????????????????????????? ???????????????????4 分
(2) 由 (1) 知 φ = 3π 8 , 因 此 y =

?1 3π ? sin ? x+ ? .???????????????????????????????????? 8 ? ?2
????????????????????????????????6 分
由 题 意 得 π



2kπ



2



1 2

x



3 8

π ≤2kπ



π

2



k



Z , ????????????????????????????????????????? ???? ????????????????8 分
即 4kπ - 7 4 π ≤x≤4kπ + π 4 , k ∈

Z , ?????????????????????????????????????????

????????????????????????????????????????10 分





















7 π ? 4kπ - π ,4kπ + ? ? 4 4? ? ?



k



Z.

?????????????????????????????????????????

???????12 分 21. 解 : 设 C(a , b) , 半 径 为 r>0 , 点 C


x - 3y = 0

上, ?????????????????????????????????????????2




a



3b



0





C



y











r



|a| , ????????????????????????????????????????

????????????????????????4 分
又 圆 C 在 y = x 上 截 弦 长 为 2 7 , 则 圆 心 到 y = x 的 距 离 d =
8

|a-b| ,???????? ??????????????6 分 2 ∴

a-3b=0, ? ?r =a , ??a-b? ? ? 2 +7=r .
2 2 2 2

???????????????????????????????

???????????????????????????????????????????

?????8 分 a=3, ? ? ?b=1, ? ?r=3,





a=-3, ? ? ?b=-1, ? ?r=3.

????????????????????????????????????

?????????????????????????????????10 分 ∴ 圆

C

方 程 为 (x - 3) + (y - 1) = 9 , 或 (x + 3) + (y + 1) =

2

2

2

2

9. ????????????????????????????12 分 22. t) 解 : (1) 由 题 意 可 设 圆

C









(3



?????????????????????????????????????????

????????????1 分 则 1. 有 3
2



(t



1)

2



(2

2

)

2



t

2







t



?????????????????????????????????????????

?????????3 分 则圆 C 的圆心为(3,1),半径长为 ?3-0? +?1-1? =3. 所 以 圆
2 2

C









(x



3)

2



(y



1)

2



9. ??? ?????????????????????????????????????? ?????????????5 分 (2) 由
? ?x-y+a=0 ? 2 2 ??x-3? +?y-1? =9 ?





y , ?????????????????????????????????????????
????????????????7 分 得 2x
2



(2a



8)x



a2



2a



1



0 , ?????????????????????????????????????????

9

???????????????????8 分 此时判别式 Δ =56-16a-4a .设 A(x1,y1),B(x2,y2),
2





x1+x2=4-a ? ? ? a2-2a+1 x 1x2= ? 2 ?

① ?????????????????????????????????????????? ????????????????????????10 分 由于 OA ⊥ OB ,可得 x1x2 + y1y2 = 0 ,又 y1 = x1 + a , y2 = x2 + a ,所以 2x1x2 + a(x1 + x2) + a = 0 ② ?????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????? ?????????????????11 分 由 1. ① ② 得
2

a





1







Δ >0





a





?????????????????????????????????????????

??????????12 分

10


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