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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】综合检测一

时间:2014-04-15


综合检测(一)
一、选择题 1-3i 1. i 是虚数单位,复数 的共轭复数是 1-i A.2+i C.-1+2i B.2-i D.-1-2i ( )

1 2. 演绎推理“因为对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)是增函数, 而函数 y=log x 是对数函数, 2 1 所以 y=log x 是增函数”所得结论错误的原因是 2 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.大前提和小前提都错误 3. 用反证法证明命题:“若 a,b∈N,ab 能被 3 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 3 整 除”时,假设应为 A.a,b 都能被 3 整除 B.a,b 都不能被 3 整除 C.a,b 不都能被 3 整除 D.a 不能被 3 整除 4. i 为虚数单位,复平面内表示复数 z= A.第一象限 C.第三象限 -i 的点在 2+i ( ) ( ) ( )

B.第二象限 D.第四象限

5. 若 P= a+ a+7,Q= a+3+ a+4(a≥0),则 P,Q 的大小关系为 ( ) B.P=Q D.由 a 的取值确定

A.P>Q C.P<Q 6. 求证: 7-1> 11- 5.

证明:要证 7-1> 11- 5, 只要证 7+ 5> 11+1, 即证 7+2 7×5+5>11+2 11+1, 即证 35> 11,即证 35>11,

∵35>11 恒成立,∴原式成立. 以上证明过程应用了 A.综合法 B.分析法 C.综合法、分析法配合使用 D.间接证法 7. 函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如下图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极大值点 ( ) ( )

A.1 个 C.3 个

B.2 个 D.4 个 ( )

8. 设 f(x)=x2-2x-4ln x,则 f′(x)>0 的解集为 A.(0,+∞) C.(2,+∞) 9. 如右图阴影部分面积是 1 A.e+ e 1 C.e+ -2 e 1 B.e+ -1 e 1 D.e- e B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(-1,0) ( )

10.曲线 f(x)=x3+x-2 在点 P 处的切线平行于直线 y=4x-1,则点 P 的坐标为 ( ) B.(-1,-4) D.(1,0)或(-1,-4)

A.(1,0) C.(1,-4)

1 11.函数 f(x)在定义域 R 内可导,若 f(x)=f(2-x),且(x-1)f′(x)>0,a=f(0),b=f( ),c= 2 f(3),则 a,b,c 的大小关系是 A.a>b>c C.b>a>c B.c>a>b D.c>b>a ( )

2S 12. 设△ABC 的三边长分别为 a, b, c, △ABC 的面积为 S, 内切圆半径为 r, 则 r= , a+b+c 类比这个结论可知:四面体 S—ABC 的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球半 径为 R,四面体 S—ABC 的体积为 V,则 R 等于 V A. S1+S2+S3+S4 2V B. S1+S2+S3+S4 ( )

3V C. S1+S2+S3+S4 二、填空题

4V D. S1+S2+S3+S4

13.若复数 z=cos θ-sin θi 所对应的点在第四象限,则 θ 为第________象限角. 14.变速直线运动的物体的速度为 v(t)=1-t2(m/s)(其中 t 为时间,单位:s),则它在前 2 s 内所走过的路程为________m. 15.已知函数 f(x)=-x3+ax2-x-1 在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数 a 的取值范围是 ________. 三、解答题 a2-7a+6 16.已知复数 z= 2 +(a2-5a-6)i(a∈R),试求实数 a 取什么值时,z 分别为: a -1 (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. 1 17.求函数 f(x)=x(ex-1)- x2 的单调区间. 2 1 3an 19.在数列{an}中,a1= ,an+1= ,求 a2、a3、a4 的值,由此猜想数列{an}的通项公式, 2 an+3 并用数学归纳法证明你的猜想. 1 1 1 20.已知△ABC 的三边长为 a、b、c,且其中任意两边长均不相等.若 , , 成等差数列. a b c (1)比较 b 与 a c 的大小,并证明你的结论. b

(2)求证:B 不可能是钝角. k 21.已知函数 f(x)=ln(1+x)-x+ x2(k≥0). 2 (1)当 k=2 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求 f(x)的单调区间.

答案
1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.C 9.C 10.D 11.B 12.C 13.一 14.2 15.[- 3, 3] a2-7a+6 16.解 (1)当 z 为实数时,则 a2-5a-6=0,且 2 有意义, a -1 ∴a=-1,或 a=6,且 a≠± 1, ∴当 a=6 时,z 为实数. a2-7a+6 (2)当 z 为虚数时,则 a -5a-6≠0,且 2 有意义, a -1
2

∴a≠-1,且 a≠6,且 a≠± 1. ∴当 a≠± 1,且 a≠6 时,z 为虚数, 即当 a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z 为虚数. (3)当 z 为纯虚数时,则有 a2-5a-6≠0, 且 a2-7a+6 =0. a2-1

?a≠-1,且a≠6, ? ∴? ? ?a=6.

∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数. 17.解 f′(x)=ex-1+xex-x =(ex-1)(x+1). 当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递增,在(-1,0)上单调递减. 18.证明 要证 a-5- a-3< a-2- a, 只需证 a-5+ a< a-3+ a-2, 只需证( a-5+ a)2<( a-3+ a-2)2, 只需证 2a-5+2 a2-5a<2a-5+2 a2-5a+6, 只需证 a2-5a< a2-5a+6, 只需证 a2-5a<a2-5a+6, 只需证 0<6. 因为 0<6 恒成立, 所以 a-5- a-3< a-2- a成立.

1 3 3 3 3 3 19.解 a1= = ,a2= ,a3= ,a4= ,猜想 an= ,下面用数学归纳法证明: 2 6 7 8 9 n+5 3 1 ①当 n=1 时,a1= = ,猜想成立. 1+5 2 ②假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时猜想成立, 即 ak= 3 . k+5

则当 n=k+1 时, 3 3· k + 5 3ak 3 ak+1= = = , 3 ak+3 ?k+1?+5 +3 k+5 所以当 n=k+1 时猜想也成立, 3 由①②知,对 n∈N*,an= 都成立. n+5 20.(1)解 大小关系为 证明如下:要证 b c 只需证 < , a b 由题意知 a、b、c>0, 只需证 b2<ac, 1 1 1 ∵ , , 成等差数列, a b c 2 1 1 ∴ = + ≥2 b a c ∴b2≤ac, 又 a、b、c 任意两边均不相等, ∴b2<ac 成立. 故所得大小关系正确. (2)证明 假设 B 是钝角,则 cos B<0, a2+c2-b2 2ac-b2 ac-b2 而 cos B= > > >0. 2ac 2ac 2ac 这与 cos B<0 矛盾,故假设不成立. ∴B 不可能是钝角. 21.解 (1)当 k=2 时,f(x)=ln(1+x)-x+x2, 1 f′(x)= -1+2x. 1+ x 1 , ac b < a b < a c , b c , b

3 由于 f(1)=ln 2,f′(1)= , 2 3 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-ln 2= (x-1),即 3x-2y+2ln 2-3= 2 0. x?kx+k-1? (2)f′(x)= ,x∈(-1,+∞). 1+x x 当 k=0 时,f′(x)=- . 1+x 所以,在区间(-1,0)上,f′(x)>0; 在区间(0,+∞)上,f′(x)<0. 故 f(x)的单调递增区间是(-1,0), 单调递减区间是(0,+∞). x?kx+k-1? 当 0<k<1 时,由 f′(x)= =0, 1+x 1-k 得 x1=0,x2= >0. k 1-k 所以,在区间(-1,0)和( ,+∞)上,f′(x)>0; k 1-k 在区间(0, )上,f′(x)<0. k 1-k 故 f(x)的单调递增区间是(-1,0)和( ,+∞), k 1-k 单调递减区间是(0, ). k x2 当 k=1 时,f′(x)= . 1+x 故 f(x)的单调递增区间是(-1,+∞). x?kx+k-1? 当 k>1 时,由 f′(x)= =0, 1+x 1-k 得 x1= ∈(-1,0),x2=0. k 1-k 1-k 所以,在区间(-1, )和(0,+∞)上,f′(x)>0;在区间( ,0)上,f′(x)<0. k k 1-k 故 f(x)的单调递增区间是(-1, )和(0,+∞), k 1-k 单调递减区间是( ,0). k


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