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2.3.2平面与平面垂直的判

时间:2015-12-08


普通高中课程标准
必修二
(二)点、直线、平面之间的位置关系
2.3.2平面与平面垂直的判定

教学目标:
1.通过实例直观感知“二面角”概念的形成过程,理 解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角

是否为二面角的平面角;
2.类比已学知识,归纳“二面角”的度量方法,掌握二

面角的平面角的一般作法,会求简单的二面角的平面
角; 3.通过实例直观感知“两个平面互相垂直”,掌握两

个平面互相垂直的概念,能用定义和定理判定面面垂
直.

4.通过实例直观感知,类比已学知识,提高观察、分
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问题探究点一 二面角的概念 问题1:在生产实践中,有许多问题要涉及到两个平面相交 所成的角的情形,你能举出 北极 66 °34 ? 这个问题的一些例子吗?
地球轨道面 (黄道平面)
南极 ↓ ↑

23°26?

黄赤交角示意图

答: 修筑水坝时,为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水 平面成适当的角度; 发射人造地球卫星时,也要根据需要, 使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度等等.
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二面角及二面角的平面角的有关定义 (1)半平面:

平面的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都 叫做一个半平面.
(2)二面角:

?
l

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 每个半平面叫做二面角的面. l
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?
?

(3)二面角的记法: 如图(1)的二面角记作: 二面角? -AB- ? . 如图(2)的二面角记作: 二面角C-AB-D. 如图(3)的二面角记作: 二面角 ?-l- ? .
C B ? ? D l A ?

B

?

(1)

(2)

(3)
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(4)二面角的平面角: 在二面角的棱上任取一点,在两 ? 个半平面内分别作垂直于棱的射线, 则这两条射线所成的角叫做二面角 的平面角. l (5)二面角的度量:

?

二面角的大小就是用它的平面角来度量,二面角的平 面角是多少度,就说这个二面角是多少度. β

(6)二面角的范围: [00,1800] (7)直二面角: 平面角为直角的二面角叫做 α 直二面角.

a

A
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b
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(8)面面垂直的定义: 定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直 二面角,就说这两个平面互相垂直. (9)两个互相垂直的平面的画法: 两个互相垂直的平面通常画成如图中的两种样子, 此时,把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直 . 平面α与平面β垂直, 记作α⊥β. β β

α

α
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问题探究点二 两个平面垂直的判定 问题2:如何检测所砌的墙面和地面是否垂直?

面面垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
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面面垂直的判定定理:

一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 图形表示:
β l α

符号表示:

l ?α ? ? ?α ?β l ?β ?

注:该定理可以简记为: 线面垂直?面面垂直.
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例1.判断下列命题是否正确: 1.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关× 系. 2.教室相邻的两个墙面构成的二面角的大小为900. 3.若平面 ?内有一条直线垂直于平面 ? 内无数条直线,则 一定有? ? ?. × 4.若平面 ?内有一条直线垂直于平面 ? 内的两条相交 直线,则一定有? ? ?. 5.若平面 ?与? 不垂直,则平面 ?内所有直线与 ? 都不垂 直.
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练习1(1)判断下列命题是否正确:
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线, 则α⊥β. ×

2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线, × 则α⊥β.
3.若m⊥α,m β,则α⊥β. 练习1(2)填空题: ∪

无数 个平面与平面α垂直. 1.过平面α的一条垂线可作_____
无数 个平面与已知平面垂直. 2.过一点可作_____
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例2.在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=600,把菱形沿
3 对角线AC折起,使折起后BD= , 2
1 A. 3 1 B. 2 2 2 C. 3 3 D. 2
D

则二面角B-AC-D的余弦值为 ( B )
A O D1 A1 D C C1 B1 C B
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B

解析: 取AC中点O, 连接BO,DO,
由二面角的定义易知∠BOD即为二面
3 角的平面角,∵DO=OB=BD= , 2

∴∠BOD=600. 练习2.已知正方体ABCD为 450 .

A1B1C1D1,则二面角D1-AB-C的值

A

例3.正方体ABCD-A1B1C1D1中
求证:平面AA1C1C⊥平面A1BD. 又∵BD ?平面ABCD, ∴AA1⊥BD. 又∵BD⊥AC,且AC∩AA1=A, ∴BD⊥平面AA1 C1C. ∵BD ?平面A1BD,
A

D1
A1 B1

C1

证明:∵AA1⊥平面ABCD,

D B

C

∴平面AA1C1C⊥平面A1BD.
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练习3(1)如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且 E、F分别是AB、BD的中点. B 求证:(1)EF∥面ACD; F (2)面EFC⊥面BCD. D E 证明:(1) ∵E,F分别是AB,BD的中点, ∴EF是△ABD的中位线, ∴EF∥AD, (2)∵AD⊥BD,EF∥AD, ∴EF⊥BD. ∵CB=CD,F是BD的中点, ∴CF⊥BD.
C A

∵EF?面ACD,AD?面ACD, ∴EF∥面ACD.

又EF∩CF=F, ∴BD⊥面EFC. ∵BD?面BCD, ∴面EFC⊥面BCD.
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练习3(2)如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的
平面于A,C是圆O上不同于A,B的任意一点,

求证:平面PAC⊥平面PBC.

证明: ∵PA⊥平面PBC, BC ?平面ABC, ? PA ? BC.

∵点C是圆O上不同于A,B的任意一点, AB是圆O的直径, ? BC ? AC . 又∵PA ?平面PAC, AC?平面PAC, 又∵BC ?平面PBC,

PA ? AC ? A,∴BC⊥平面PAC.

∴平面PAC⊥平面PBC.
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练习3(3)如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的

平面于A,C是圆O上不同于A,B的任意一点,
探究: 1.你还能发现哪些面互相垂直?

面PAC ⊥面ABC; 面PAB⊥面ABC.
2.三棱锥P-ABC的四个面的形状

是怎样的?
都是直角三角形.

3.你能找到二面角P-BC-A的一个平面角吗? ∠PCA
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