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广东省惠州一中广州二中东莞中学中山纪中深圳实验珠海一中2013届高三第一次联考数学文试题

时间:2012-11-02


2013 届高三六校第一次联考
文科数学试题
命题学校:珠海一中 本试题共 4 页,20 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1、设复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则 z ? ( ) A、 2

? i B、 1 ? 2 i C、 ? 1 ? 2 i D、 ? 1 ? 2 i

2 2、集合 A ? { x | x ? 2 x ? 0} , B ? { x | y ? lg (1 ? x )} ,则 A ? B 等于





A、 { x | 0 ? x ? 1}
? ?

B、 { x | 1 ? x ? 2}
? ?

C、 { x | 1 ? x ? 2}
?

D、 { x | 0 ? x ? 1}
)

3、已知向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b | ? A、
? 3

? ? ? 2 , a ? b ? 1 ,则 a

与 b 的夹角为 ( D、
? 6

B、

3? 4

C、

? 4

4、 函数 f ( x ) ? ( x ? a )( x ? b )(其中 a ? b ) 的图象如下面右图所示, 则函数 g ( x ) ? a x ? b 的图象是 (



?y ? x ? 5、已知 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值与最小值的比值为( ?x ? 2 ?



A、

1 2

B、2

C、

3 2

D、 ) D、1326 1 1.8 4 5.6

4 3

6、右边程序执行后输出的结果是 S ? ( A、1275 B、1250 C、1225 7、已知 x 、 y 取值如下表:
x
y

0 1.3

5 6.1

6 7.4

8 9.3

i=1 S=0 WHILE i<=50 S=S+i i=i+1 WEND PRINT S END )

? 从所得的散点图分析可知: y 与 x 线性相关,且 y ? 0 .9 5 x ? a ,则 a ? (

A、 1 .3 0

B、 1 .4 5

C、 1 .6 5

D、 1 .8 0

第 1 页 共 10 页(文数)

8、已知方程

x

2

2?k

?

y

2

2k ? 1

? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是(



?1 ? A、 ? , 2 ? ?2 ?

B、 (1, ? ? )

C、 (1, 2 )

D、 ?

?1

? ,1 ? ?2 ?

9、 若一个底面为正三角形、 侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示, 则这个棱柱的体积为 (



4

3 3
正视图 侧视图 俯视图

A、 1 2 3

B、6

C、 2 7 3

D、 3 6 3
?

10、如下图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有 n ( n ? 1 , n ? N ) 个点, 相应的图案中总的点数记为 a n ,则
9 a2 a3 ? 9 a3a4 ? 9 a4 a5 ??? ? 9 a 2012 a 2013 ? (



A、

2010 2011

B、

2011 2012

C、

2012 2013

D、

2013 2012

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。
(一)必做题(11-13 题) 11、若 a , b , c 成等比数列,则函数 f ( x ) ? ax
2

? bx ? c 的图像与 x 轴交点的个数为_______.

12、如图,一不规则区域内,有一边长为 1 米的正方形,向区域 内随机地撒 1 0 0 0 颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的 黄豆数为 3 7 5 颗,以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形 的面积为 平方米.(用分数作答) 13、已知函数 y ? f ( x ) ( x ? R ) 满足 f ( x ? 2 ) ? f ( x ) ,且 x ? [ ? 1 , 1 ] 时,
f ( x ) ? x ,则 y ? f ( x ) 与 g ( x ) ? lo g 5 x 的图象的交点个数为
2

.

(二)选做题(14(1)和 14(2)题,考生只能从中选做一题,若两题都做,则只能计算 14(1)题 的得分)
第 2 页 共 10 页(文数)

14(1)、 (坐标系与参数方程选做题)已知直线 l 的参数方程为:?

? x ? 2t ? y ? 1 ? 4t

(t

为参数),圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin ? ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为 14(2)、 (几何证明选讲选做题)如图所示,过 ? O 外一点 P 作一条直线与 ? O 交于 A , B 两点,己知弦 A B ? 6 ,点 P 到 ? O 的切线长 P T ? 4, 则 P A ?
B

T
P
O ?

A

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程
和演算步骤。 15、(12 分)已知向量 m ? ( 2 co s x ,
2

第 14(2) 题 图

??? ?

??? ??? ??? ? 3 ) , n ? ( 1 , sin 2 x ) ,函数 f ( x ) ? m ? n

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)在 ? 中, a , b , c 分别是 A , B , C 的对边,且 f ( C ) ? 3 , c ? 1 , ab ? 2 3 , a ? b ,求 a , b 的值.

ABC

16、(13 分)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅 球测试,成绩在 7.95 米及以上的为合格。把所得数据进行整理后,分成 6 组画出频率分布直方图的一 部分(如图),已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30 ,第 6 小组的频数 是 7. (1)求这次铅球测试成绩合格的人数; (2)若由直方图来估计这组数据的中位数,指出它在第几组 内,并说明理由; (3)若参加此次测试的学生中,有 9 人的成绩为优秀,现在 要从成绩优秀的学生中,随机选出 2 人参加“毕业运动会”, 已知 a 、b 的成绩均为优秀,求两人至少有 1 人入选的概率.

? 17、(13分)如图,直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, ? A B C ? 9 0 , A B ? 4 , B C ? 4 , B B 1 ? 3 ,

M、N分别是 B 1 C 1 和 A C 的中点. (1)求异面直线 A B 1 与 C 1 N 所成的角的余弦; (2)求三棱锥 M ? C 1 C N 的体积.

第 3 页 共 10 页(文数)

18、(14 分)已知椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的右顶点 A 为抛物线 y ? 8 x 的焦点,上顶点为 B ,
2

离心率为

3 2

; (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 (0, 2 ) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P , Q 两

点,若线段 P Q 的中点横坐标是 ?

4 5

2

,求直线 l 的方程。

19、(14 分)已知 f ( x ) ? 3 x ? x ? m , ( x ? R ) ,
2

g ( x ) ? ln x

(1)若函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图像在 x ? x 0 处的切线平行,求 x 0 的值; ( 2 ) 求 当 曲 线 y ? f ( x)与 y?
g x有 公 共 切 线 时 , 实 数 m 的 取 值 范 围 ; 并 求 此 时 函 数 ( )

F ( x)?

f ( x? )

g ( x) 在区间

? 1 ? ,1 上的最值(用 m 表示)。 ? 3 ? ? ?

20、(14分)已知数列 ? a n ? 是各项均不为0的等差数列,公差为d, S n 为其前n项和,且满足
2

an

? S 2 n ? 1 , n ? N * .数列 ? b n

? 满足 b n

?

1 a n ? a n ?1

,n ?

N

*

, T n 为数列 ? b n ? 的前n项和.

(1)求数列 ? a n ? 的通项公式 a n 和数列 ? b n ? 的前n项和 T n ; (2)若对任意的 n ?
*

N

,不等式 ? T n ? n ? 8 ? ( ? 1) 恒成立,求实数 ? 的取值范围;
n

(3)是否存在正整数 m , n 不存在,请说明理由.

(1 ? m ? n )

,使得 T1 , T m , T n 成等比数列?若存在,求出所有 m , n 的值;若

第 4 页 共 10 页(文数)

2013 届高三六校第一次联考
文科数学参考答案
命题学校:珠海一中 本试题共 4 页,20 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。 题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 A 5 B 6 A 7 B 8 C 9 D 10 B

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。
(一)必做题(11-13 题)11. 0 ;12、 (二)选做题 14(1)相交
8 3 ;

13、4 2

14(2) P A ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
15、解:(1) f ( x ) ? m ? n ? ( 2 co s x ,
2

??? ??? ?

3 ) ? ( 1 , sin 2 x ) ? 2 co s x ?
2

3 sin 2 x

??2 分 T
P

? cos 2 x ? 1 ?

3 s in 2 x ? 2 s in ( 2 x ?

?
6

) ?1
??

???4 分

∴函数 f ( x ) 的最小周期 T ? (2) f ( C ) ? 2 sin( 2 C ?
?
6

2? 2

???5 分 ?
O
?
6 ) ?1

A

)?1? 3

? sin( 2 C ?

B
第 14(2) 题 图

? C 是三角形内角,∴ 2 C ?

?
6

?

?
2

即: C ?

?
6

???7 分 ???9 分
2

∴ cos C ?

b

2

? a

2

?c

2

?

3 2

2 2 即: a ? b ? 7 .

2 ab

2 将 ab ? 2 3 代入可得: a ?

12 a
2

? 7 ,解之得: a

? 3或 4

∴a ?

3或 2 ,? b ? 2或

3

???11 分 ???12 分

? a ? b ,∴ a ? 2 , b ?

3 .

16、解:(1)第 6 小组的频率为 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14,??1 分 ∴此次测试总人数为
7 0 .1 4 ? 5 0 (人).

??2 分

∴第 4、5、6 组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人).???4 分 (2)直方图中中位数两侧的面积相等,即频率相等, ??6 分 而前三组的频率和为 0.28,前四组的频率和为 0.56,
第 5 页 共 10 页(文数)

∴中位数位于第 4 组内. (3)设成绩优秀的 9 人分别为 a , b , c , d , e , f , g , h , k , 则从中任意选出 2 人所有可能的情况为:

??8 分

a b , a c , a d , a e , a f , a g , a h , a k ; b c , b d , b e , b f , b g , b h , b k ; cd , ce , cf , cg , ch , ck ; d e , d f , d g , d h , d k ; ef , eg , eh , ek ; fg , fh , fk ; g h , g k ; h k ,共 36 种

??10 分 ??12 分

其中 a 、 b 至少有 1 人入选的情况有 15 种, ∴ a 、 b 两人至少有 1 人入选的概率为 P ?
15 36 ? 5 12 . ????13 分

17、解:(1)过 A 作 AQ∥ C 1 N 交 A1 C 1 于 Q,连结 B 1 Q ,
? ∠B1AQ为异面直线AB1与C1N所成的角(或其补角).??2分

根据四边形 AA 1 C 1 C 为矩形,N是中点,可知Q为 A1 C 1 中点 计算 AB 1 ? 5 , B 1 Q ? 2 2 , AQ ? 由已知条件和余弦定理 可得 cos ? B 1 AQ ?
17 5
A1

17

??3分
B1 M C1

??5分
Q

H

? 异面直线AB1与C1N所成的角的余弦为

17 5

?6分

B C

(2)方法一:过 M 作 MH ? A 1 C 1 于H,面 A 1 B 1 C 1 ? 面 AA 1 C 1 C 于 A 1 C 1
? MH ? 面 AA 1 C 1 C

N A

??9

分 由条件易得: MH ?
V M ? NCC

2
1 3 ? 1 2 ?2 2 ?3? 2 ? 2

??11分 ??13分

1

?

1 3

?

1 2

NC ? C 1 C ? MH ?

第 6 页 共 10 页(文数)

方法二:取BC的中点P,连结MP、NP,则MP∥ B B 1
? M P ? 平面ABC,

B1 M C1

??9分

A1

又 N P ? 平 面 A B C ,? M P ? N P 又∵ N P // A B , ∴ NP ? BC ??11分
N A B P C

∴ N P ? 平面 B C C 1 B1
PN ?
V M ? NCC

1 2
1

AB ? 2 ,
? V N ?C

1 CM

?

1 3

?

1 2

MC

1

? C 1 C ? NP ?

1 3

?

1 2

? 2?3? 2 ? 2

??13分

18、解:(1)抛物线 y ? 8 x 的焦点为 A ( 2 , 0 ) ,依题意可知 a ? 2
2

????2 分

因为离心率 e ?

c a

?

3 2

,所以 c ?

3 ?3 分

y

故b ? a ? c ? 1
2 2 2

????5 分 P
x
2

所以椭圆 C 的方程为:

? y ? 1 ??6 分
2

4

M Q x

(2)设直线 l : y ? kx ? 由?
? y ? kx ? ?
2 2

2

2



?x ? 4y ? 4 ?

消去 y 可得 ( 4 k ? 1) x ? 8 2 kx ? 4 ? 0
2 2

??8 分

因为直线 l 与椭圆 C 相交于 P , Q 两点, 所以 ? ? 1 2 8 k ? 1 6 ( 4 k ? 1) ? 0
2 2

解得 | k | ?

1 2

????9 分 又
x1 ? x 2 ? ?8 2k 4k ? 1
2

,x x ? 1 2

4 4k ? 1
2

??10 分

设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) , P Q 中点 M ( x 0 , y 0 )

第 7 页 共 10 页(文数)

因为线段 P Q 的中点横坐标是 ?

4 5

2

所以 x 0 ?

x1 ? x 2 2

?
1 4

?4
2

2k

4k ? 1

? ?

4 5

2

??12 分

解得 k ? 1 或 k ? 因为 | k | ?
1 2

??13 分

,所以 k ? 1
2

因此所求直线 l : y ? x ?

????14 分
1 x

/ 19、解:(1)∵ f ( x ) ? 6 x ? 1 , g ( x ) ?
/

??2 分 ??3 分 ??4 分 ??5 分

由题意知 6 x 0 ? 1 ? 解得, x 0 ?
1 2

1 x0

,即 6 x 0 ? x 0 ? 1 ? 0
2

或 x0 ? ?
1 2

1 3

∵ x 0 ? 0 ,∴ x 0 ?

(2)若曲线 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 相切 且在交点处有公共切线 由(1)得切点横坐标为 ∴ f ( ) ? g ( ) ,∴
2 m ? ? 1 4 2 ? ln 2 , 1 1 3 4 ?

1 2
1 2



??6 分
1 2

? m ? ln

0 m x

??8 分
1 4 ? ln 2 时, f

由数形结合可知, m ? ?
g ( x ) 有公共切线

?x? 与

??9 分
1 x

又 F '( x ) ? 6 x ? 1 ?

?

6x ? x ?1
2

?

(3 x ? 1)( 2 x ? 1) x

??10 分

x
? 1 ? 3 ,1

则 F '( x ) 与 F ( x ) 在区间 ?
[ 1 1 , ) 3 2
1 2

? 的变化如下表: ? ?
( 1 2 ,1]

x
F '( x ) F (x)

- ↘

0 极小值

+ ↗ ??12 分

第 8 页 共 10 页(文数)

又? F ( ) ? m + ln 3 ; F (1) ? 2 ? m ? F ?
3

1

?1? ? ?3?
1 1

∴当 x ? ? , 1 ? 时, F ( x ) m in ? F ( ) ? m ? ? ln 2 ,( m ? ? ? ln 2 ) 2 4 4 ? 3 ?
F ( x ) m ax ? F (1) ? m ? 2 ,( m ? ?
1 4 ? ln 2 )

? 1

?

1

??14 分

2 20、解:(1)在 a n ? S 2 n ? 1 中,令 n ? 1 , n ? 2 ,

? a12 ? S 1 , ? 得? 2 ?a 2 ? S 3 , ?

? a12 ? a1 , ? 即? 2 ?(a1 ? d ) ? 3a1 ? 3d , ?

??1分

解得 a 1 ? 1 , d ? 2 ,? a n ? 2 n ? 1 又? a n ? 2 n ? 1 时, S n
? bn ? 1 a n a n ?1 ? 1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)
? n
2

??2分

满足 a n2
? 1

? S 2 n ?1

,? a n ? 2 n ? 1
? 1 2n ? 1

2 2n ? 1

(

1

),

??3分

? Tn ?

1 2

(1 ?

1 3

?

1 3

?

1 5

?? ?

1 2n ? 1

?

1 2n ? 1

)?
n

n 2n ? 1



??4分

(2)①当 n 为偶数时,要使不等式 ? T n ? n ? 8 ? ( ? 1) 恒成立,即需不等式
? ?
( n ? 8 )( 2 n ? 1) n ? 2n ? 8 n ? 1 7 恒成立.

??5分

? 2n ?
? 此时 ?

8 n

? 8 ,等号在 n ? 2 时取得.

需满足 ? ? 2 5
n

??6分

②当 n 为奇数时,要使不等式 ? T n ? n ? 8 ? ( ? 1) 恒成立,即需不等式
? ?
? 2n ?
( n ? 8 )( 2 n ? 1) n ? 2n ? 8 n ? 1 5 恒成立.

??7分
8 n

8 n

是随 n 的增大而增大, ? n ? 1 时 2 n ? 需满足 ? ? ? 2 1 .

取得最小值 ? 6 .

? 此时 ?

??8分 ??9分

综合①、②可得 ? 的取值范围是 ? ? ? 2 1 . (3) T1 ?
1 3 , Tm ? m 2m ? 1 , Tn ? n 2n ? 1
m 2m ? 1


) ?
2

若 T1 , T m , T n 成等比数列,则 (

1

3 2n ? 1

(

n

)

,??10分

第 9 页 共 10 页(文数)

即 由

m
2

2

4m ? 4m ? 1

?

n 6n ? 3

. ,可得
3 n ? ?2m
2

m
2

2

4m ? 4m ? 1

?

n 6n ? 3

? 4m ? 1 m
2

? 0



??12分

即 ?2m 2 ? 4m ? 1 ? 0 ,
? 1?
6 2 6 2

? m ? 1?



??13分

又 m ? N ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 1 2 . 因此,当且仅当 m ? 2 , n ? 1 2 时,数列 ?T n ? 中的 T1 , T m , T n 成等比数列. ?14分

n

[另解] 因为 6 n ? 3

?

1 6? 3 n

?

1 6 ,故
2

m

2

4m ? 4m ? 1

?

1 6

,即 2 m 2 ? 4 m ? 1 ? 0 ,

? 1?

6 2

? m ? 1?

6 2

,(以下同上 ).

第 10 页 共 10 页(文数)


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