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2011年平面向量高考题及答案


第五章

平面向量

【考试要求】 (1)理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关

长度、角度 和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式,以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用掌握 平移公式. (7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. 【考题】 1、 (全国Ⅰ新卷文 2)a,b 为平面向量,已知 a=(4,3) ,2a+b=(3,18) ,则 a,b 夹角的 余弦值等于( ) A.

8 65

B. ?

8 65

C.

16 65

D. ?

16 65


2、 (重庆卷理 2)已知向量 a,b 满足 a ? b ? 0, a ? 1, b ? 2, ,则 2a ? b ? ( A. 0 B. 2 2 C. 4 D. 8 )

3、 (重庆卷文 3)若向量 a=(3,m),b=(2,-1),a· b=0,则实数 m 的值为( A. ?

3 2

B.

3 2

C.2

D.6

4、 (安徽卷理 3 文 3)设向量 a ? ?1,0? , b ? ?

?1 1? , ? ,则下列结论中正确的是( ?2 2?
D. a ∥ b ) D.



A. a ? b

B. a ? b ?

2 2

C. a ? b 与 b 垂直

5、 (湖北卷理 3)在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cos B =( A.-

2 2 3

B.

2 2 3

C.-

6 3

6 3

6、 (北京卷文 4) 若 a,b 是非零向量, 且 a ? b ,a ? b , 则函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? ( xb ? a) 是 -1-



) A.一次函数且是奇函数 C.二次函数且是偶函数

B.一次函数但不是奇函数 D.二次函数但不是偶函数

7、 (湖南卷理 4)在 Rt ?ABC 中, ?C =90° AC=4,则 AB ? AC 等于( A.-16 B.-8 C.8

uu u r uuu r

) D.16

? ? ? ? ? ? 8、 (广东卷文 5)若向量 a =(1,1) c =30, , b =(2,5) , c =(3,x)满足条件 (8 a - b )·
则 x =( ) A.6 B.5 C.4 D.3 9、 ( 四 川 卷 理 5 文 6 ) 设 点 M 是 线 段 BC 的 中 点 , 点 A 在 直 线 BC 外 ,

???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 2 ? B C ? 1 6? , A B? A C ? ? ?A B? A则 C ? ?AM?? (
A.8 B.4 C. 2

) D.1
??? ??? ???

10、(湖北卷理 5 文 8)已知 ?ABC 和点 M 满足 MA ? MB + MC ? 0 .若存在实数 m 使得

AB? AC ? m AM 成立,则 m=(

???

???

???



A.2 B.3 C.4 D.5 11、(湖南卷文 6)若非零向量 a,b 满足| a |?| b |,(2a ? b) ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为( A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500



( xb ? a) 为一次函数” 12、(北京卷理 6)a,b 为非零向量。“ a ? b ”是“函数 f ( x) ? ( xa ? b) ?
的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

13、(湖南卷理 6 文 7) B, C 所对的边长分别为 a,b,c, 在△ABC 中, 角 A, 若∠C=120° , c? 则( ) A.a>b B.a<b C.a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定

2a ,

14、(北京卷文 7)某班设计了一个八边形的班徽(如图) ,它 由腰长为 1, 顶角为 ? 的四个等腰三角形, 及其底边构成的正方 形所组成,该八边形的面积为( A. 2sin ? ? 2 cos ? ? 2 ; ) B. sin ? ? 3 cos ? ? 3

C. 3sin ? ? 3 cos ? ? 1 ; D. 2sin ? ? cos ? ? 1 15、(江西卷理 7) E , F 是等腰直角 ?ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan ?ECF ? ( -2)

A.

16 27

B.

2 3

C.

3 3

D.

3 4

16、(天津卷理 7 )在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,若 a2 ? b2 ? 3bc ,

sin C ? 2 3 sin B ,则 A=(
A. 30 0 B. 60 0

) C. 1200 D. 1500

17、(辽宁卷理 8 文 8)平面上 O,A,B 三点不共线,设 OA=a, OB ? b ,则△OAB 的面积等于 ( ) A. |a |2 | b |2 ?( a ? b) 2 C. B. D.

|a |2 | b |2 ? ( a ? b) 2

1 |a |2 | b |2 ?(a ? b) 2 2

1 |a |2 | b |2 ?(a ? b) 2 2

18、(福建卷文 8)若向量 a =(x,3) (x∈R) ,则“x = 4”是“|

a |=5”的(



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 19、(天津卷文 9) 如图, 在 ΔABC 中,AD ? AB ,

??? ? ???? ???? ??? ? ???? BC ? 3 BD , AD ? 1 ,则 AC ? AD =(
A. 2 3 B.



3 2

C.

3 3

D. 3

20、(全国Ⅱ卷理 8 文 10) V ABC 中, CD 平分 ?ACB . ) 点 D 在 AB 上, 若C B ? a

u r

, CA ? b ,

uur

uuu r a ? 1 , b ? 2 ,则 CD ? (
A. a ?



4 3 a? b 5 5 1 1 1 21、(上海卷理 18)某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为 , , ,则此 13 11 5
B. C. D. 人能( ) A.不能作出这样的三角形 B.作出一个锐角三角形 C.作出一个直角三角形 D.作出一个钝角三角形 22、(上海卷文 18 )若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sinC ? 5 :11:13 ,则△ ABC -3-

1 3

2 b 3

2 1 a? b 3 3

3 4 a? b 5 5



) A.一定是锐角三角形. C.一定是钝角三角形.

B.一定是直角三角形. D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

23、(北京卷理 10 文 10)在△ABC 中,若 b = 1,c = 3 , ?C ?

2? ,则 a = 3



24、(广东卷理 11)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 , A+C=2B,则 sinC= .

25、(陕西卷理 11 文 12)已知向量 a=(2,-1) ,b=(-1,m) ,c=(-1,2) ,若(a+b)∥c,则 m= 。

26、(江苏卷 13)在锐角三角形 ABC,A.B.C 的对边分别为 A.B.c, 则

b a ? ? 6 cos C , a b

tan C tan C ? ? __ tan A tan B

27、( 江 西 卷 理 13 ) 已 知 向 量 a , b 满 足 | a |? 1, | b |? 2 , a 与 b 的 夹 角 为 60 ? , 则

?

?

?

?

?

?

? ? | a ? b |?

.

28、( 浙 江 卷 文 13 ) 已 知 平 面 向 量 ? , ? , ? ? 1, 是 。 29、(天津卷理 15)如图,在三角形 ABC 中,

? ? 2,? ? (? ? 2? ), 则 2a ? ? 的 值

AD ? AB , BC ? 3 BD , AD ? 1 ,则 AC ?AD ?

??? ?

??? ?

????

???? ????

.

30、(山东卷理 15 文 15)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分 别为 a,b,c,若 a= 2 ,b=2,sinB+cosB= 2 ,则角 A 的大小 为______________. 31、(江苏卷 15)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) 求以线段 AB.AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 设实数 t 满足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值

-4-

32、(浙江卷理 16)已知平面向量 ? , ? (? ? 0, ? ? ? ) 满足 120° ,则 ? 的取值范围是__________________ .

? ? 1 ,且 ? 与 ? ? ? 的夹角为

33、(全国Ⅰ新卷理 16)在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= 若△ADC 的面积为 3 ? 3 ,则 ? BAC=_______

1 DC,? ADB=120° ,AD=2, 2

34、(全国Ⅰ新卷文 16)在△ABC 中,D 为 BC 边上一点, BC ? 3BD , AD ? 2 ,

?ADB ? 135? .若 AC ? 2 AB ,则 BD=_____
35、(安徽卷理 16 )设 ?ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长,并且

sin 2 A ? sin(

?
3

? B) sin(

?
3

? B) ? sin 2 B 。

(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 AB?AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c ) 。

??? ? ??? ?

36、(重庆卷理 16)设函数 f ? x ? ? cos ? x ? (Ⅰ)求 f ? x ? 的值域;

? ?

2 ? x ? ? ? 2cos2 , x ? R 。 3 ? 2

(Ⅱ)记 ?ABC 的内角 A.B.C 的对边长分别为 a,b,c,若 f ? B ? =1,b=1,c= 3 ,求 a 的 值。

-5-

37、(安徽卷文 16) ?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A ? (Ⅰ)求 AB?AC ; (Ⅱ)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。

12 。 13

??? ? ??? ?

38、(江苏卷 17)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位 m) ,如示意图,垂直放置的标 杆 BC 高度 h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β (I)该小组已经测得一组 α、β 的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出 H 的值。 (II)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到 电视塔的距离 d(单位 m) ,使 α 与 β 之差较大,可以提高 α-β 测量精确度, 若电视塔实际高度为 125m, 问 d 为多少时, 最大?

39、(辽宁卷理 17)在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且

2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C.
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值.

-6-

40、(辽宁卷文 17)在 ? ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且

2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,是判断 ? ABC 的形状。

41、(全国Ⅱ卷理 17 文 17 ) ?ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 , sin B ?

5 , 13

cos ?ADC ?

3 ,求 AD . 5

42、(陕西卷理 17)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距

5 3 ? 3 海里的两个观测点,现位于 A 点北偏东 45° ,B 点
北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏 西 60° 且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即即前往营 救, 其航行速度为 30 海里/小时, 该救援船到达 D 点需要多长 时间?

?

?

-7-

43、(陕西卷文 17)在△ABC 中,已知 B=45° ,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6, 求 AB 的长.

44、(天津卷文 17)在 ? ABC 中, (Ⅰ)证明 B=C: (Ⅱ)若 cos A =-

AC cos B ? 。 AB cos C

?? 1 ? ,求 sin ? 4B ? ? 的值。 3? 3 ?

45、( 全 国 Ⅰ 卷 理 17 文 18 ) 已 知 VA B C的 内 角 A , B 及 其 对 边 a , b 满 足 a? b? a c o t A? bc o t,求内角 B C.

46、(浙江卷理 18)在△ABC 中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C ? ? (I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2,2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长.

1 4

-8-

47、(浙江卷文 18)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积, 满足 S ?

3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 。 4

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值。

48、(四川卷理 19 II)已知△ABC 的面积 S ?

? ???? 1 ??? 3 , AB ? AC ? 3 ,且 cos B ? ,求 cos C . 5 2

49、(福建卷理 19)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出 发时,轮船位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行 速度沿正东方向匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和 航行速度的大小) ,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。

-9-

【答案】1-10 CBDCC ADCCB 11-20 CBAAD ACADB 21-22 DC 23、1 24、1 25、-1 26、4 27、 3 32、 (0, 28、 10 29、 3 30、

? 6

31、 4 2 、 2 10 ; t ? ? 35、 A ?

11 5

2 3 ] 3

33、 ?BAC ? 600 37、 144, a ? 5

34、2 ? 5 38 、

?
3

; b ? 4, c ? 6

36、 [0, 2], a ? 1或2

124,55 5
39、 120? ,1 40、 120? , 等腰钝角三角形 41、25 42、1h 43、 5 6

os 4 B sin 44、 ? 3
47、

?

4 2 ?7 3 18
π ; 3. 3

45、

? 2
10 10

46、 6

10 ;b= 6 ,c=4 或 b=2 6 ,c=4 4

48、 ?

49、 30 3 ,航行方向为北偏东 30? ,航行速度为 30

海里/小时

- 10 -


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