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沈晨竞赛讲义竞赛课件21:说磁


?

电流元引起的磁场的毕萨拉定律

F ?k

I 1 ?l ? I 2 ?l r
2

?0 ? 4? ? 10 N/A

?0 k? 4?
?7

2

I ?l sin ? B?k 2 r
示例

/>
? 磁场对运动电荷及电流的力
比较 v0方向与场 的方向平行 v0方向与场 的方向垂直 匀强电场中 匀变速直线运动 qE a? m
匀变速曲线运动(类平抛) (轨迹为半支抛物线)

匀强磁场中 速度为vo的匀速直线运动

a?0

qE a? m
匀变速曲线运动(类斜抛)

a?

匀速圆周运动 (轨道圆平面与磁场垂直) mv qv0 B 2? m
m ;R ?
0

qB

;T ?

qB

匀速圆运动与匀速直线运动合成

v0方向与场 方向成θ角 q,m

qE a? m
v0 θ E

(轨迹为等距螺旋线)
a? h? qv0 B sin ? mv0 sin ? ;R ? ; m qB 2? m v0 cos ? qB

v0 q,m θ

B 示例

?? ?

?
2n

?i ?

?
2

?i

?
2n
?i

??

由毕萨拉定律,距无限长直线电流a处磁感应强度 a I ?l ? sin ? i I Bi ? k ri2 ?? ? Ia ? ?? sin ? ? i ?? ? 其中 ?l ? kI?tan ? in ? ? ? tan ? i ? 1? ?? ? ? ?2 ? ? 2a ? ? B ? k lim ? ?sin ?? i ?? ? 2 ? cos ? a 2 ? a n?? i ?1 ? a n ? cos ??ii?n????? cos ? i ? 1????? cos n ? 1 ?? ? cos ? ? sin? ? ? 2kI ?? 2 ? cos?? i ? 2? ? ? lim?? 2 ? 2 ?? a an?? i ?1 ? sin Icos2 icos ? i ?? ? ? ?? ?? 2 ??0 I a k B ? ri ?? a 2? cos ? i ?? ? a

P

取元电流 I ? ?l ?

2? a I n k n B ? lim ? 2 n ?? a i ?1

2? a I n

a
I BO

2? I ?k a ?0 I ? 2a

2? a I n k n B ? lim ? ? sin ? 2 n ?? r i ?1
? k 2? aI a2 ? x2 ? a a ?x
2 2

r

?

?
P

?

?0 IS
2? a ?
2

?

3 2 2 x

?

与很远的电源相连,如图所示,求环中心的磁感应强度.

专题21-例1 两根长直导线沿半径方向引到铁环上A、B两点,并
解题方向: 两电流在 O点引起的磁场叠加
A

解:

I2

O B

I1

AB的优弧与劣弧段电流与电 阻成反比,即
I1 L2 ? I 2 L1

由毕萨拉定律知,两弧上电流在O点引起的磁场磁感应 强度大小关系为: B1 I1 L1 ? B2 I 2 L2

B1 ? B2

? BO ? 0

如图所示,一恒定电流沿着一个长度为L,半径为R 的螺线管流过,在螺线管内部产生了磁感应强度大小为B0 的磁场, 试求线圈末端即图中P点的磁感应强度及以P为中心的半径为R的圆 上的磁通量 .

专题21-例2

解:

解题方向: 变端 点为无限长通电 螺线管内部!

P

B0

B ? B0 ? ?0 nI

B0 BP ? 2

B0 2 ?P ? ?? R 2

点A流入、B流出,求立方形框架的几何中心O处的磁感应强度.

由相同导线构成的立方形框架如图所示,让电流I从顶 专题21-例3

解: 解题方向: 利用对称
性及磁场叠加!

6 7 I
6 I 6 I 3

B

8 9

I 3

5

BO ? 0

I 6 O

I 3 I 3 4

1
I 3

2
I 3 3

I 11 6 12 I I 6 6

I A

10

一N匝密绕的螺线管长L,半径r,且L ? r.当通有 恒定电流I时,试求作用在长螺线管侧面上的压强p . 解题方向: 求出电流元所处磁场磁感 Fi 应强度,即可求安培力及其对螺线管 B其余 Bi 侧面压强

专题21-例4

解:

电流元所在处磁场设为B其它; 电流元内侧有

Bi?

B ? B其余 ? Bi

B
I

电流元外侧有

B BrN 2 I 2 ?0? 0 ? B其余 ? Bi B其余 ? Fi Fi ? I ?l ? 2 2nL 2 2 N N 2? r Fi ?0 N I ? ? ?0 I P? L 2 n L ? 2? r 2L

如图,在半径为R的圆周上沿诸大圆绕有细导线, 诸导线相交于同一直径AB的两端,共有六个线圈,每相邻两线圈平 面的夹角均为30° ,导线上流过电流I,求在木球球心O处磁感应强 度的大小与方向 .

解: B ? B ? ? ? 2R
1 2

?0 I
?

A

O
30?

BO ? 4Bi cos15
?0 I

B

6? 2 ? 4? ? 2R 4

B2

B1 O

B3
1 B4 2

6 ? 2 ?0 I ? ? 2 R

B5 B6
3 4
5

6
5

有一个宽为b、无限长薄铜片,通有电流I0.求铜片 中心线正上方h(b ? h )处的P点的磁感应强度 .

解:

取元线电流,对P张角为

?? ?

?

Bi?
?i h

第i对元线电流之一在P处的磁感应强度

2n

P

Bi?

?0 I i Bi? ? 2? ri

I0 Bi

?

?

?0 I 0 h ? tan ? i ?? ? ? tan ? i ? 1? ?? ? cos ? i ?? ? ? ?
? 2? b cos ? i ?? ?
n

?0 I 0 ??

2? bh

第i对元线电流在P处的磁感应强度 Bi

?

?0 I ?0 I B ? n?? ? lim ? ?? ? 2b ?? ? 0 i ? 0 ? b

? b cos ? i ?? ?

? 0 I 0 ??

? cos ? i ?? ?

一个塑料圆盘,半径为R,带电q,均匀分布在盘表 面上,圆盘绕通过圆心垂直于盘面的轴转动,角速度为ω,试求圆盘 中心处O 的磁感应强度.

解:

电荷随盘运动,形成环形电流:

q? I? 2?

电流随盘半径分布为:

i ?0 ? 2 ?0 I i ? n Bi ? ? 元环电流在盘轴心处引起的磁感应强度为: R 2ri 2i ? 盘轴心处的总磁感应强度为: n

q ? R? R ? Ii ? ? 2? ? i ? ? ? 2 ?R ? n ? n 2?

q?

?0 q? 1 ?0 q? B? lim ? ? 2? R n?? n 2? R

试应用毕奥—萨伐尔定律,求解 x y 方程为 (1 A>B,其中A和B均为已知量) ? ? A B 的椭圆形闭合导线当导线中通以稳恒电流I时,椭圆 导线焦点处磁感应强度B1的大小 .
2 2 2 2

y

?i
ri
O x

解:

元电流I.Δl在焦点处引起的元磁感应 强度为 ?0 I ? ?l ? sin ? i ?0 I ? ?l ri ? ?? ?0 I ? ?? Bi ? ? ? ? 2 2 4? ri 4? ri 4? ri ?l 2 2 2 A ? C2 B 2 ? ?? 2 ? 由几何关系得 ri ?? A ? ri ? ? ri ? ? 2C ? ? 2ri ?2 2C ?2cos ? i ? A ? C cos ? i ?? ? A ? A ? B cos ? i ?? ? ? n?

在通电椭圆导线上取元电流I.Δl ? .Δl对一 元电流I ?? ? n?? 个焦点的张角为 n

?

?

Bi

n ?0 I ? A ? A2 ? B2 cos ? i ?? ? ? ? ? lim 则焦点处 B1 ? 2 2 n?? ? ? ? n 4? B i ?1

?

?0 AI
2B
2

长直圆柱形载流导线内磁场具有轴对称性,离轴r处的磁感应 返回 ? 强度 B ? 2 ? j ? r .现有半径为a的金属长圆柱体内挖去一半径为b的圆柱体,两圆 柱体的轴线平行,相距d,如图所示.电流I沿轴线方向通过,且均匀分布在柱体 的截面上,试求空心部分中的磁感应强度 .
0

d
O ja

I ?0 I Ba ? ? ra 則 B ? A 2 ? ? a 2 ? b2 ? 2 2 2? a ? b ?0 I Bb ? ? ? rb 2 2 ?0 I 2 ? ?a ? b ?

空洞处视作电流密度为j的两反 向电流叠加: 完整电流j与反向电流-j在空洞 中A处引起磁场Ba、Bb:

ra A

?0

BA

解:j ?

有空洞的圆柱体电流密度为

Bb

I ? ? a 2 ? b2 ?

jb

O?

rb

?

?
2

? ra ? rb ?

Ba

B A ? Ba ? Bb

?

2? a ? b
2

?

?

d

如图所示,经U=1000 V电压加速的电子(加速前静止)从电子 枪T射出,其初速度沿直线α方向.若要求电子能击中在φ=60°方向,与枪口相距 d=5.0 cm 的靶M,试求以下两种情况下,所需的匀强磁场的磁感应强度的大 小.⑴磁场B1垂直于直线α与靶M所确定的平面;⑵磁场B2平行于枪口T向靶M所 引的直线TM .

专题21-例5

解: d

⑴r?

d 2sin 60
?

?

d 3
T
60?

α φ d
?19

me v 1 其中 eU ? me v 2 ? 2 3 eB1
?31

α d

M M 6 ? 9.1 ? 10 ? 1.6 ? 10 ? 1000 B1 ? ? T? 3.7 ? 10 ?3 T de 5.0 ? 10?2 ? 1.6 ? 10?19 2? me d ⑵ ?n α ? B2 e v cos 60 60? ? 2? me v cos 60 n? 2meU d B2 ? n ? de d e M n? 2 ? 9.1 ? 10?31 ? 1000 -3

3 ? 2me eU

B2 ?

5 ? 10

?2

1.6 ? 10

?19

T ? 6.7 ? 10 n T

沿xy上半平面中的各个方向射出,垂直于xy平面的匀强磁场B将这些离子聚焦在R 点,P点与R点相距为2a,离子轨道应是轴对称的.试确定磁场区的边界.讨论当a mv = 情况下可聚焦的离子发射角范围 .

如图所示,一簇质量均为m,电量均为q的离子在P点以同一速率v 专题21-例6

解:
? ?

2 2 2 力作用下沿一段圆弧运动,而后离开 2 磁场区,沿直线运动至R.对不同的 2 2 2 2 2 ? mv ? 离子射出角,以适当的圆弧与之衔接, x a? x ? x y ? y ? ? qB ? 各轨道直线与圆弧对接点,即离子出、 ? 2 x > 0, 右边界 入磁场的点的集合为所求磁场的边 2 2 2 2 2 ? mv ? 界. x a? x ? x y ? y ? ?

mv 轨道设计:离子在进入磁场前离子做 r? tan ? qB 直线运动,进入磁场区后,在洛伦兹?

qB

r ? x ? ? r cos? ?

y a? x

y

?

?

x < 0, 左边界 mv 在a ? 时 qB ? ?

? qB ?
??

P

O y

R

x

射出角范围为 0 ,90

?

?

(x,y)
?

mv 在a> 时 qB

mv 在a< 时 qB

r? O R x

P

如图所示,质量不计的柔韧细导线的一端悬挂质量为M的重物, 给细线提供张力T,另一端固定于天花板上.它的一段处于图中所示匀强磁场B中 并通有电流I,求弧线的曲率半径R.若带电量q、质量m的粒子从a点入射磁场,其 动量如何才能使它沿弧线运动?

解:

通电导线受力如图 T 其中安培力大小 为

T
?

a
? ?

B F b

a
I b

F ? BI ? 2Rsin?
两端绳张力的合力为

FT

M

FT ? 2 Mg sin ?
v qvB ? m R
2

T
T

由 BI ? 2 R sin ? ? 2 Mg ? sin ?
带电粒子要沿弧ab运动,须满足

Mg R? BI

qMg p? I

解:

带电粒子进入介质中,受到的阻力跟它的速度成正比.在粒子 完全停止前,所通过的路程为S1=10cm,如果在介质中有一个跟粒子速度方向垂 直的磁场,当粒子以跟原来相同的初速度进入这一带有磁场的介质时,它则停止 在距入射点的距离为S2=6 cm的位置上,如果磁场强度减少1/2,那么该粒子应停 留在离开入射点多远(S3)的位置上?

设阻力Ff=kv,第一次位移为S1=10 cm,

加一磁感应强度为B的匀强磁场,粒子受阻力与洛仑兹 力共同作用,两力方向始终互相垂直,轨迹为曲线, 2 2 元过程中有 2 2 qBv kv S m vi ? 全过程中有: k i ?? qBi ???t 2? ? mv10 ? v i ②

即 kS1 ? mv0

由动量定理: ①

? kv ? ?t ? mv
i

0

? ?? ? ? ? ?S m ? qB ? ? qB ? ? ??kk? ? SB ??m ?? ? v v ?? v ? ? v ? 同理过程3中有: k ? q ? S ? mv ?
2 2

2

2

i 2

i -1

i

i 3 0 ? 2? ③ ? ? 30 S3 = cm ? 8.3 m 由上三式得 13

2

i

i ?1

如图所示,S为一离子源,它能机会均等地向各个方向持续发射 大量质量为m、电量为q、速率为v的正离子,在离子源的右侧有一半径为R的圆屏, 离子源在其轴线上.在离子源与圆屏之间的空间有范围足够大的方向水平向右并 垂直于圆屏的匀强磁场,磁感应强度为B,在发射的离子中有的离子不管SO距离 离子的运动是一系列等螺距的螺旋运动,若离子的初 如何改变,总能打在圆屏上.求这样的离子数目与总发射离子数目之比.

解:

mv sin ? ?1 qBR ? R ? ? sin 只要向屏方向 2 2mv qB 认为离子源附近射出离子各向均匀 总能打在屏上的离子占总数的比为

2? m h? v cos ? qB mv sin ? 螺旋截面圆的半径为 r ? qB

速度v与SO成θ角,则其轨迹的螺距为

v Sθ q,m

BO

B

v sin?
O

? ?1 qBR ? 2? a ? 1 ? cos sin 2mv ? ? ? k? 2 4? a 2 ? qBR ?
2

a
S

1? 1? ? 2mv ? ? ? ? 2

?

如图所示,在xy平面上有一束稀疏的电子(其间的相互作用可 以忽略),在-H<y<H范围内,从x负半轴的远处以相同的速率v沿着x轴方向平 行地向y轴射来.试设计一磁场区域,使得⑴所有电子都能在磁场力的作用下通过 坐标原点O;⑵这一片电子最后扩展到-2H<y<2H范围内继续沿着x轴方向向x 正半轴的远处平行地以相同速率射去. 电子轨道半径均为 y

解:

?? R ? y ? 2 ? x 2 ? R 2 ? ? 2 R ? y ? ? x 2 ? R2 ?? ?
2 2

? y ? 0? ? y ? 0?

mv R? eB

B H (x,y)

B?

? x ? y ? 2 Ry ? 0 ? ?? 2 x ? y 2 ? 2 Ry ? 0 ? ?
同样方法,在x>0处,

? y ? 0? ? y ? 0?

R
x ? ? ? H ,0?

B?

x

? x 2 ? y 2 ? 4 Ry ? 0 ? ? 2 x ? y 2 ? 4 Ry ? 0 ? ?

mv B? ? y ? 0? eH

y ? ?? H , H ?

x ? ? 0, 2 H ? ? y ? 0? mv B? ? 2eH

y ? ? ?2 H , 2 H ?

如图所示,一窄束单能氩离子通过一扇形匀强磁场,此束射线的 轴在进、出磁场时离子束的轴线都与场的边界垂直.求质量数m1=36和m2=40的 氩同位素的发散角.已知φ=60°.

解:
R1 ?

两种离子经同一有界磁场偏转的轨道半径不 同,故离开磁场时发散
2m1 E0 qB , R2 ? 2m 2 E 0 qB
R1
D?

D φ α O
?R

R1 ?R ? sin ? ? sin ? ? ? ?? 发散角很小,故

由图示几何关系:

α
1

2

??
O?

两同位素的发散角

?R sin ? m2 ? m1 ? ? sin ? ? ? sin ? R1 m1

? 0.04

? ? 2 4??
?

※在正交的匀强电场与匀强磁场中,电荷以垂直于两场 E 示例 方向进入,可能做匀速直线运动: v ? 0 B
fB
v0

B

Fe

E

※在正交的匀强电场与匀强磁场中,电荷以垂直于两场
方向进入,可能做轨迹为摆线的运动:
规律

返回

解:U q ? 3.6 ? 10 F ?
e

如图(a)所示,两块水平放置的平行金属板A、B,板长L=18.5cm,两板 间距d=3 cm,两板之间有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感在强度B=6.0×10-2 T, 两板间加上如图(b)所示的周期性电压,带电时A板带正电,当t=0时,有一个质量 m=1.0×10-12 kg,带电荷量q=1.0×10-6 C的粒子,以速度v=600 m/s,从距A板2.5 cm处沿垂直于磁场、平行于两板的方向射入两板之间,若不计粒子重力,取,求 ⑴粒子在0~1×10-4 s内做怎样的运动?位移多大?⑵带电粒子从射入到射出极板 有电场时: 间所用时间?
?5

A d fB ? Bqv ? 3.6 ? 10?5 N
粒子做匀速直线运动!

N

B 无电场时,粒子做匀速圆周运动:

S ? vT ? 6 cm

2? m 1.08 T0 ? ? 1.0 ? 10?4 s 30 1cm Bq O 1 mv 0.5cm T r0 ? ? 1cm ?4 t ? 5T ? ? 5.08 ? 10 s Bq
?

U/V
t /? 10 ?4 s

2 3 4

2? m T? qB E 2? m L? ? B qB
? ?x ? ? ? ?y ? ? ?

B

y

E

qvB qE

ωt
(x,y)
v2 ? ?v1
E v1 ? B

x

E mv ? qB ? t? sin ? t ?qvB B qB ? m ? mv qB ? ? qB ? ? ?1 ? cos ? m t ? ? ? ?? ?

8 BR 2

?? 0 R m

O

8? BR 2

?? 0 R
m

vx v1

y
vy

qBR ? ? v x ? v2 ? v1 cos ? t ? m ? 1 ? cos ? t ? ? ? v1 ? v ? v sin ? t ? qBR sin ? t 1 ? y m ?

?t

O 2m

v2

x

如图所示,带电平行板间匀强电场方向竖直向上,匀强磁场方向垂 直纸面向里.一带电小球从光滑绝缘轨道上的a点自由下滑,经轨道端点P进 入板间后恰好沿水平方向做直线运动.现使小球从较低的b点开始下滑,经P 点进入板间后,下列判断正确的是 A.在开始一段时间内,小球动能将会增大 B.在开始一段时间内,小球势能将会增大 C.若板间电场和磁场范围足够大,小球始终克服电场力做功 D.若板间电场和磁场范围足够大,小球所受洛仑兹力将一直增大

小球必带正电!小球从A点下滑进 入板间做直线运动必有

b 小球从b点下滑进入板间时速度小于va

mg ? qva B ? qE

a

Fe
P

fB
E B

mg > qvb B ? qE

故轨迹开始一段向下弯曲! mg 则重力与电场力的总功为 小球重力势能减少,电势能 正功,动能增加! 增加!总势能减少!

解:

如图所示,质量为m、电量为q的正离子,在互相垂直的匀强电场和匀强磁场 中沿曲线oabcd从静止开始运动.已知电场强度E与y 平行,磁感应强度B垂直于xoy 平面,试求 ⑴离子经过任意点b(x,y)时速度的大小;⑵若a点是曲线上纵坐标最大 的位置,且曲线在a点的曲率半径是a点纵坐标的两倍,则离子经过a点时的速率是 多大?

⑴∵洛伦兹力不做功,电场力做功与路径无关,则由动能定理: 1 y 2 B qE ? y ? mv E

⑵离子的运动是x方向匀速运动与匀 速圆周运动的合成,两运动速率均为 O

2qyE vb ? m
E v? B

2

a d b c

x

在a点时两分速度方向均为+x E 方向,则

又解:qE ? y ? 1 mv 2 a a

va ? 2

B

2 2 va qva B ? qE ? m 2 ya

E va ? 2 B

时,系统的质心静止地位于坐标原点O处,且两带电质点在xOy平面上绕质心C沿 顺时针方向做圆周运动.设当系统处于图示位置时,规定为t=0时刻,从该时刻 起在所讨论的空间加上沿z轴方向的弱匀强磁场B.试求:质心C的速度分量vx和vy 随时间t的变化关系及运动轨迹方程,定性画出质心C的运动轨迹.设两带电质点绕 解题方向: 将两带电质点视为双星系统,其质心初速度为零, 质心的圆周运动保持不变,忽略一切万有引力.两带电质点间的相互作用力视作库 在磁场中做轨迹为摆线的运动 仑力. 2 2

如图所示,质量均为m,电量为-q和+q的两个带电质点相距2R.开始 专题21-例7

解:

未加磁场时,双电荷质 kq kq 2 心速度为零,角速度由 4 R2 ? mR? ? ? ? 4mR3 加磁场后,双电荷质心初速度 F ? 2qBR? 方向在xy平面,是有心 力! 为零,受到洛伦兹力大小为 2qBR? qBR R? ? ?R 将质心初速度分解为大小为 v ? 2m m

轨迹方程: qBR qBR ? ? x ? m t ? ? m sin ? ? t ? ? ? ? y ? qBR ?1 ? cos ? ? t ? ? ? ? ?m ? ?

y
r? qBR m?
2qB? R

?R

O 2m

?R

x

解:

如图所示的空间直角坐标系中,z轴为竖直方向,空间存在着匀 强磁场,磁感应强度B的方向沿y轴正方向,一个质量为m、带电量为q的带电微粒 从原点O处以初速度v0射出,初速度方向为x轴正方向,试确定各物理量间满足什么 条件,就能保证v0的大小不论取何值,带电微粒运动过程中都可以经过x轴上的x0 点?

带电微粒处于匀强磁场与重 力场中,B、g、v0三矢量两 两垂直,可将v0分解为
O fB2

z fB1 y x0 x

mg mg v2 ? v0 ? v1 ? qB qB
带电微粒的运动为v1匀速运 动与v2匀速圆周运动的合成 能到达x0须满足

v0 mg

(与v0无关) x0 x0qB 2? m ? nT ? ?n v1 mg qB

质量为m、电量为q(q>0)的小球,在离地面高度为h处从静 止开始下落,为使小球始终不会和地面相碰,可设想在它开始下落时就加上一个 足够强的水平匀强磁场.试求该磁场磁感应强度的最小可取值B0,并求出当磁场 取B0时小球的运动轨道.

解:

初速为零的带电小球处在重 力场与磁场的复合场将做轨 道迹为滚轮线的运动!

fB1

v2

B fB2

v1

mg v1 ? qB
圆运动半径应满足 轨迹方程:
2

mg

若小球滚轮线轨道恰与地面相切,就不会和地面相碰 !

h mv2 ? m ? R? ?? g ?2 ? qB ? qB ? ? gh h 2g t ? sin ?t ?x ? 2 2 h m 2g ? ? Bmin ? ? ? ? y ? h ? 1 ? cos 2 g ? t ? q h
? 2? ? h ? ?

解:

如图所示的磁动力泵是高h=0.1 m的矩形槽,槽相 对的两壁是导电的,它们之间距离=0.05 m.两导电壁加上电势差 U=1.4 V,垂直于两非导电壁加上磁感应强度B=0.1 T的均匀磁 场.槽的下部与水银面接触,上部与竖直的非导电管相连.试问水 ? 银上升多高?(水银的电阻率 ? ? 1 ? 10?6 ? ? m ,水银密度? 14 ? 10 kg m , 重力加速度g=10m/s2 ) 槽下部与水银接触面达到稳定时,其 电流所受磁场力(竖直向上)与水银 柱压力平衡: a B H U h ? gH ? al ? Bl ? l l
3 3

BUh ah H? ?? lg 0.1 ? 1 ? 4 ? 0.1 ? ?6 m 3 10 ? 0.05 ? 14 ? 10 ? 10

??

? 2m

vx
B

~

若电子沿纵向磁场的运动路径长l,可以调节磁感应强度B, 使所有电子在l 路径上完成整数个圆周运动,即比值为整数, 这样,被横向交变电场偏转发散的电子束经磁场作用,可 会聚到离入射点l 远的同一处,这就是磁聚焦.

leB ?n 2? me v x

阅读:利用磁聚焦测电子的比荷

P点沿磁感线方向注入孔径角2α(2α 1°)的一电子束,束中的电 ? 子都是以电压U0加速后从P点发出的.假设螺线环内磁场磁感应强 度B的大小为常量,设U0=3 kV,R=50 mm. ,并假设电子束中 各电子间的静电相互作用可以忽略. ⑴为了使电子束沿环形磁场 运动,需要另加一个使电子束偏转的均匀磁场B1.对于在环内沿半 径为R的圆形轨道运动的一个电子,试计算所需的B1大小; ⑵当 电子束沿环形磁场运动时,为了使电子束每绕一圈有四个聚焦点, 即如图所示,每绕过π/2的周长聚焦一次,环内磁场B应有多大? (这里考虑电子轨道时,可忽略B1,忽略磁场B的弯曲) 2α v

专题21-例8如图所示,在螺线环的平均半径R处有电子源P,由

R
P

解答

解:

v2 1 1 2 me U 0 2 evB1 ? me 而eU0 ? me v 则 B1 ? R 2 R e 代入数据得 1 2 ? 3000 B1 ? T ? 3.7 ? 10?3 T 50 ? 10?3 1.76 ? 1011
⑵电子束与B有一小角度,故做轨迹为螺旋线的运动: 电子束每四分之一周聚焦一次即应沿B方向绕行一周的同时 沿满足: 垂直B方向完成四个圆周 2? R 2? me

读题 ⑴对于在环内沿半径为R的圆形轨道运动的一个电子,维持其 运动的向心力是垂直于环面的磁场洛伦兹力,其大小满足

v cos ? 4 2me U 0 4 2me U 0 则B? cos ? ? R e R e

?4

eB

? 1.48 ? 10 T

? 4B1

?3

Fm

eE H ? evB
U H ? E H b ? Bvb
由I ? nevbh
b

B
v

h -----------

E+ + + + + + + + + + + + + ++
H

Fe

UH

1 BI ? ? ne h

BI U H ? RH ? h

解:

中,磁感应强度为B=5×10-3 T,当有恒定电流I=2.0 mA通过样品时,产生的霍耳 电势差UH=5.0mV,极性如图中标示,a=1.00 mm,b=3.00 mm.这块样品是N型半 导体还是P型半导体?载流子密度是多少,载流子定向运动速度是多少?

专题21-例9 如图所示的一块半导体样品放在垂直于竖直面向外的匀强磁场
Fe

样品中多数载流子是电 子,是N型半导体! a

由 UH

BI ? nea

E
b
Fm

I

BI n? eaU H

? 1.25 ? 10

19B

UH 由 evB ? e b UH v? ? 333 m/s bB

mv 带电粒子在非匀强磁场中向磁场较强方 由r ? qB 向运动时,做半径渐小的螺旋运动!
v v

Fm F

m

范· 阿伦通过人造卫星搜集到的资料研究了带电粒子在地球磁场空间中的运动情况 后,得出了在距地面几千公里和几万公里的高空存在着电磁辐射带(范· 阿伦辐射 带)的结论.有人在实验室中通过实验装置,形成了如图所示的磁场分布区域 MM′,在该区域中,磁感应强度B的大小沿z轴从左到右,由强变弱,由弱变强, 对称面为PP ′ .已知z轴上O点磁感应强度B的大小为B0,两端M(M′)点的磁感应强 度为BM.现有一束质量均为m,电量均为q,速度大小均为v0的粒子,在O点以与z 轴成不同的投射角α0向右半空间发射.设磁场足够强,粒子只能在紧邻z轴的磁感 线围成的截面积很小的“磁力管”内运动.试分析说明具有不同的投射角α0的粒 子在磁场区MM ′间的运动情况. 提示:理论上可证明:在细“磁力管”的管壁上粒子垂直磁场方向的速度v⊥的 平方与磁力管轴上的磁感应强度的大小B之比为一常量.

专题21-例10 围绕地球周围的磁场是两极强、中间弱的空间分布.1958年,

P

M?
O

?0 ?0

v0 v0

M

z

P?

解答

解:

? kB0 ? ? v0 sin?0 ? ? v0 sin ? 0 ? k? B0 2 做螺旋运动速度不变, 2 ? v0 sin ?0 ? B v 2 ? v 2 ? ? v0 sin ?0 ? B 2 在磁感应强度为B处 v ? ? 0 ? B0 B0 随着B增大 mv0 sin ? 0 1 R? 2 讨论: q BB0 00 2 2?1 ? vBsin ? 0 ? ??0 <? v0 ? v M sin B>0 BMB0 2 2 2 1 ? v00sin ? 0 ? ?? B v? = sin B=0 ? 0M ? v0 BM B0 B0 ?1 ? 0 ? sin v0 M M? BM
2 由题给条件 v0? 2
2

读题

可约束在管内

O

z

v0

一个初始时未充电的电容器的两个极板之间的距离为d .有一 个磁感应强度为B的磁场,平行于电容器的极板,如图所示.当一电中性的相对介 电常数为的液体以速度v流过两个极板之间时,连接在电容器两个极板间的电压表 的读数是多少?

解: 电中性的液体以速度v通过两板之间 ? ?1
板间电场为

若介质 r ,则两板之间不会有电势差;, 若为“容易”极化的介质即导体,则产生霍耳电势差

U H ? Bvd

介电常数εr>1的中性分子进入磁场在洛伦兹力作用下被极化

E0 ? Bv

U ? ? E ?d
+ +

+

+

+

+ +

? 1 U? ? ?1? ?r ?

E0 E ? ? E0 ? ?r

- - - - - - + +

+

+

+

+ +

? ? Bvd ?

- - + +

- - - +

E? - - - - - - -B

+

+

+ +

如图所示,长为L、截面半径为R的圆柱体内,沿轴向流过均匀电流 ? I,忽略边缘效应,已知L R.一束质量为m、电量为+q的粒子以速度v平行于主轴 从圆柱体左端入射,不考虑粒子间的相互作用及与圆柱体内部微粒的作用,且忽 略圆柱体内电场;⑴忽略粒子在圆柱体内的径向移动距离及粒子轴向速度的变化, 试证明通过圆柱体后粒子将聚焦于一点;⑵考虑粒子在圆柱体内的径向运动而不 计粒子轴向速度的变化求粒子束聚焦在圆柱右端所需满足的条件.

解: B

I ? j?r ? ? r ?r? 2 2 2 ?R 在距轴r处粒子受到洛伦兹力

⑴电流方向沿轴向,在距轴r处磁场有

?0

?0

L t? v 粒子出右端面时径向速度v ? qv
粒子到达右端面历时
r

Fm ? qvB? r ?

q

m

粒子到达轴线时有

r S ? v 2? mvR 2 v r 各处粒子到达轴线有共同的S! S? ?0 qIL

?0 I L r? 2 2? R m v

Fm

解答

读题 ⑵考虑粒子径向运动,由于粒子径向所受洛伦兹力为

qv ?0 I Fr ? r ? k?r 2 2? R
聚焦在右端面应满足

所有粒子径向运动为

L T ? ? 2n ? 1? v 4
L 2n ? 1 2? mR ? 2? v 4 qv ?0 I
L ? R 2m? ? ? 2n ? 1 ? v 2 qv ?0 I
2

? n ? 1, 2??

解:

有一正点电荷Q和细长磁棒的磁极处于同一位置,在它们所生 成的电磁场中,有一质量为m、电量为q的质点,沿圆轨道运动,圆轨道直径对 产生电磁场的电荷及磁极所在点张角为2θ,已知细长磁铁的一个磁极产生的磁 a B ? 3 ?,a为常量,求质点运动的轨道半径.(质点重力不计) r 场 r F

磁单极的磁感线分布与点电荷的电场 线分布相似

a kQ 由B ? 3 ? r E ? 3 ? r r r

m

F v

?

q Fe r

Fe v 2 4?? 0 qa 由 ?m 2 R? tan ? sin ? sin ? R mQ R ? r sin ?

Fe Qq 而 tan ? ? Fe ? Fm 4?? 0 r 2 Q qva 则 v ? cot ? Fm ? qvB ? 2 4?? 0 a r 2

?
S

解:

如图所示,一个非常短的磁铁A,质量为m,被一根长l=1 m的线水 平地悬起.移动另一个非常短的磁铁B慢慢地靠近A保持两磁铁的磁极相互之间始 终在同一水平线上.当两个磁极间的距离为d=4 cm时,磁铁A与最初的水平距离 s=1 cm,此后磁铁A可自发地慢慢向B移动.⑴磁铁间的相互作用力与其间距离的 k ? 关系为Fm(x)= ,正负表示两磁铁磁极间为引力或斥力.试确定n的值;⑵现将两 x 磁铁放在开口向上的玻璃管中,B在上方,并使两个磁铁相互排斥,磁铁A在玻璃 ⑴把两个相互作用(吸引)的磁极视为“点磁荷”,对A而 管中有掉转方向的趋势,求两个磁铁处于平衡时所能分开的距离. 言,处于准静态平衡中,受力分析如图 :
n

当有一小位移Δx时, mg l d ?x ?x n? ?4 ?n S d S ⑵此时B 处于悬浮平衡状态

d ?s? x k mg ? n ls k x 当x=d时, mgs 4 mg ? n k ? d l d l k S ? ?x k
?

? d ? ?x ?

n

?x ? ? ? n ?1? n d ? d ? ?

A

Fm
mg

x?

4

sd mg Fm ? ? mg 4 lx s
l ? d ? 1.3cm

4

如图所示的无限大匀强磁场磁感应强度为B,一个质量为m、电量 为q<0的粒子以初速度v0从y轴上Q点开始运动,运动中受到大小恒定的阻力F,已 mv0 qv B 知出发点坐标为(0, ).⑴试确定粒子运动的轨迹方程;⑵若 F ? 0 ,求粒子 qB ? y 的最终位置. ⑴粒子在运动切向受阻力F,法向

解:

x ?? O ? 质点做半径均匀减小、速率均匀减小、角速度不变的曲线运动! mv0 F ?0 ? ?i ? ?i ?1 ? ?t ? V ? ?t ? ?? ? r qB qB F mF F ? 2 2 的匀速圆周运动 曲率中心以速率 V ? 做半径为 r ? qB? q B qB

F ? ? 曲率半径设为ρ m ? v0 ? m t ? ? ? qB ? ? m O ? ? qB

受洛伦兹力,则 F ? ? qB ? v0 ? t? qBvi F m ? ? at ? , an ? ? m m m

Q D

v0

? x, y ?
i ?1

?i

?? ?

? x ? ? sin ? t ? r ? 1 ? cos ? t ? ? ? ? y ? ? cos ? t ? r sin ? t ?

mv0 ? Ft ? qB mF ? qB ? sin t ? 2 2 ? 1 ? cos t? ?x ? qB m qB ? m ? ? ? ? y ? mv0 ? Ft cos qB t ? mF sin qB t ? qB m q2 B2 m 续解

⑵由动能定理:

mv ? mv0 得S? ? 2F 2 Bq
2 0

1 2 Fs ? mv0 2

读题

t?

? mv0 ? m ? m T 2S ? 2 ? ? ? at 2qB qBv0 qB 2
2mv0 ? ?x ? ? qB ? ?y ? 0 ?

mv0 ? Ft ? qB mF ? qB ? sin t ? 2 2 ? 1 ? cos t? ?x ? qB m qB ? m ? ? ? ? ? y ? mv0 ? Ft cos qB t ? mF sin qB t ? qB m q2 B2 m ?

在一个真空箱内,电流I流过一根电阻很小的长直导线,初速度 为v0的电子垂直于导线从距导线的径向距离为r0的一点开始运动.已知电子不能比 r0/2更靠近导线,试确定电子初速度v0.不考虑地磁场的影响.

解:

?0 I 直线电流的磁场 B ? ? 2? r

r r0 v0
?

Fm v0

Fmi ? Bi ev0

i 磁场洛伦兹力的x分量使电子速度从 0→v0; r分量使电子速度从 v0 → 0!速 O 度方向变化90°! 取一元过程 ? i ? i ? ? n ? ? ? ? ? i?1

x

沿-r方向由运 动学导出公式
n

?v

0

cos ? i ? ? ? v0 cos ? i ?1 ?
2

2

? ? ? ? lim ? ? cos ? i ??1 n?? i ?1 2 n ? 2n ?

?

q ?0 I ri ? ri ?1 1? ? ? ? cos ? i ? ? 2? mv ? r 2n N? 2n ? 0 i

?

2n qv0 0 0 sin ? i r qv0 ??I I sin ? i ? ri r??i ?1 ? ?2 ? ? i ri ?1 ? ? 2? ri m ?m ri

ri ?1 2? mv 0 ? 1? ri q ? 0 IN

1 ?e 2

?

2? mv0 q?0 I

q?0 I v0 ? ln 2 2? m

在外磁场中的超导体,平衡后超导体内部的磁感应强 度处处为零,超导体表面外侧的磁感应强度与表面平行.如图所示 的O—xyz直角坐标中,xy平面是水平面,其中有一超导平板,z轴竖 直向上,超导平板在z=0处,在z=h处有一质量为m、半径为r、环 心在z轴上、环平面为水平面的匀质金属圆环,且有r ? .在圆环内 h 通以稳恒电流,刚好使圆环漂浮在z=h处.⑴试求圆环中的电流强 度;⑵若使圆环保持水平,从平衡位置稍稍偏上或偏下,则圆环将 上、下振动,试求振动周期T1;⑶当圆环处在平衡位置时,其中与x 轴平行的直径标为P1P2,与y轴平行的直径标为Q1Q2.若保持P1P2不 动,使圆环绕P1P2稍有倾斜,即使Q1Q2与y轴有很小的夹角, 则圆环将以P1P2为轴摆动,试求周期T2. z P2 I Q2 Q1 m P1 h O x y

超导平板

解答

解:

?0 mg ? F ? ? ? I ? 2? r 2? 2h
I? 2mgh ?0 r

读题 ⑴通电圆环悬浮在z=h处,超导体的内部磁感应强度为零而 表面外侧磁感应强度与表面平行,这可等效为通电圆环与它 的像电流——在z=-h虚设一个相同的通以反向电流的环— —共同产生的结果,如图,通电圆环必有其所受重力与像电 流施予的磁场力相平衡,由r<< h这个条件,将两环形电流 近似为反向平行电流: I I I

⑵ 若令圆环水平地上下振动,当与平衡位置有任一位移 (如向下x)时: ?0 rI 2 ?0 rI 2 ? ?mg2 rI x? 0 ? F ? mg ? 2 ? h ? x ? ? mg ? 2h ? 1 ? h ? ? ?? 2h2 x T1 ? 2? ? ?

h g
续解

⑶当以P1P2为轴做小幅摆动时,圆环转动惯量

读题

1 2 J ? mr 2
当圆环转离平衡面一小角度时
?0 I 2 r 2 ? 1 1 ? M ? ? F1 ? F2 ? r ? ? ? 2 ? 2h ? r ? ?? 2h ? r ? ?? ? ? ?
?

I I F1

F2

?0 I 2 r 2 ? ?
4h

r r ? ? ?? ? ? 1 ? 2h ? ?? ? ? ? 1 ? 2h ? ? ? ? ? ? ? ?? ??
2 3

??

?0 I r
4h
2
2

??

mgr ?? ?? 2h

1 2 mr J T2 ? 2? ? 2? 2 2 mgr K 2h

??

h ? 2? g


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