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立体几何 第一节空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积


【数学精品】2013 版《6 年高考 4 年模拟》 立体几何 第一节空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体 积 第一部分 六年高考荟萃 2012 年高考题
1.[2012· 重庆卷] 设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2和 a,且长为 a 的棱与长为 2的 棱异面,则 a 的取值范围是( ) A.(0, 2) B.(0, 3)C.(1, 2) D.(1

, 3) 答案:A [解析] 如图所示,设 AB=a,CD= 2,BC=BD=AC=AD =1,则∠ACD=∠BCD=45° ,要构造一个四面体,则平面 ACD 与平面 BCD 不能重合,当△BCD 与△ACD 重合时,a=0;当 A、B、C、D 四 点共面,且 A、B 两点在 DC 的两侧时,在△ABC 中,∠ACB=∠ACD+∠BCD=45° +45° =90° ,AB= AC2+BC2= 2,所以 a 的取值范围是(0, 2). 2. [2012· 辽宁卷] 一个几何体的三视图如图所示.则该几何体的表面积为________.

答案:38 [解析] 本小题主要考查三视图的应用和常见几何体表面积的求法.解题的突破 口为弄清要求的几何体的形状,以及表面积的构成.由三视图可知,该几何体为一个长方 体中挖去一个圆柱构成,几何体的表面积 S=长方体表面积+圆柱的侧面积-圆柱的上下 底面面积,由三视图知,长方体的长、宽、高为 4、3、1,圆柱的底面圆的半径为 1,高为 1,所以 S=2× 3+4× (4× 1+3× 1)+2π×1×1-2×π×12=38. 3.[2012· 北京卷] 某三棱锥的三视图如图 1-4 所示,该三棱锥的表面积是( )

A.28+6 5 B.30+6 5 C.56+12 5 D.60+12 5 答案:B [解析] 本题考查的三棱锥的三视图与表面积公式.由三视图可知,几何体为一 1 个侧面和底面垂直的三棱锥,如图所示,可知 S 底面= × 4=10, 5× 2

1 1 1 S 后= × 4=10,S 左= × 2 5=6 5,S 右= × 5=10,所以 S 表=10× 5× 6× 4× 3+6 5=30 2 2 2 +6 5.

4.[2012· 安徽卷] 某几何体的三视图如图 1-3 所示,该几何体的表面积是________.

图 1-3 答案:92 [解析] 本题考查三视图的识别,四棱柱等空间几何体的表面积. 如图根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱,其表面积为 1 ( S= × 2+5)× 2+4× 4× 2+5× 4+4× 4+5× 4=92. 2

5. [2012· 津 卷 ] 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ( 单 位 : m) , 则 该 几 何 体 的 体 积 为 天 ________m3.

答案: 18+9π [解析] 本题考查几何体的三视图及体积公式, 考查运算求解及空间想象力, 4 容易题.由三视图可得该几何体为一个长方体与两个球的组合体,其体积 V=6× 1+2× 3× 3 3 π×?2?3=18+9π. ? ? 6.[2012· 福建卷] 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 ( )A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 答案:D [解析] 本题考查简单几何体的三视图,大小、形状的判断以及空间想象能力,

球的三视图大小、形状相同.三棱锥的三视图也可能相同,正方体三种视图也相同,只有 圆柱不同. 7. [2012· 广东卷] 某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )

A.12π B.45πC.57π D.81π

答案:C

[解析] 根据三视图知该几何体是由圆柱与圆锥构成,圆柱与
组合体

圆锥的半径 R=3,圆锥的高 h=4,圆柱的高为 5,所以 V

=V

圆柱

+V

圆锥

1 =π×32× 5+ 3 )

×π×32× 4=57π,所以选择 C. 8. [2012· 湖北卷] 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

8π 10π A. B.3πC. D.6π 3 3 答案: [解析] 根据三视图知几何体的下面是一个圆柱, B 上面是圆柱的一半, 所以 V=2π 1 + ×2π=3π.故选 B. 2 9.[2012· 湖南卷] 某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是 ... ( )

答案:D [解析] 本题考查三视图,意在考查考生对三视图的辨析,以及对三视图的理解 和掌握.是基础题型. 选项 A,B,C,都有可能,选项 D 的正视图应该有看不见的虚线, 故 D 项是不可能的. [易错点] 本题由于对三视图的不了解,易错选 C,三视图中看不见的棱应该用虚线标 出.

10. [2012· 课标全国卷] 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三 视图,则此几何体的体积为( )

A.6 B.9 C.12 D.18 答案:B [解析] 由三视图可知,该几何体是三棱锥,其底面是斜边长为 6 的等腰直角三 角形, 有一条长为 3 的侧棱垂直于底面(即三棱锥的高是 3), 可知底面等腰直角三角形斜边 1 1 上的高为 3,故该几何体的体积是 V= × × 3× 6× 3=9,故选 B. 3 2 11.[2012· 浙江卷] 已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于 ________cm3.

答案:1 [解析] 本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式,考查 学生对数据的运算处理能力和空间想象能力.由三视图可知,几何体为一个三棱锥,则 V 1 1 1 = Sh= × × 3× 1× 2=1. 3 3 2 [点评] 正确的识图是解决三视图问题的关键,同时要注意棱长的长度、关系等.

2011 年高考题
1. (2011 年高考山东卷理科 11)下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题: ①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正 (主)视图、俯视图如下图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下 图.其中真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0

【答案】A 【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱;容易判断②③可以. 2.(2011 年高考浙江卷理科 3)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以 是

4.(2011 年高考安徽卷理科 6)一个空间几何体得三视图如图所示,则该几何体的表面积为

(A) 48 【答案】C

(B)32+8 ? ?

(C) 48+8 ? ?

(D) 80

【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法. 【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为 2,下底

为 4,高为 4, 。故

S表 ?

??? ?

????? ???? ???? ??

?? ? ?

? ?? ? ? ??

【解题指导】 :三视图还原很关键,每一个数据都要标注准确。 5.(2011 年高考辽宁卷理科 12)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3 ,
? ASC ? ? BSC ? 30 ? ,则棱锥 S-ABC 的体积为(

) (D)1

(A) 3 3

(B) 2 3

(C) 3

第 6 题图

A

B

C

D

答案:D 解析:由主视图和府视图可知,原几何体是由后面是半个圆锥,前面是三棱锥的组合体, 所以,左视图是 D. 点评:本题考查三视图、直观图及他们之间的互化,同时也考查空间想象能力和推理能力, 要求有扎实的基础知识和基本技能。

10.(2011 年高考广东卷理科 7)如图. 某几何体的正视图(主视图)是平行四边形, 侧视图(左 视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( )

A. 6 3

B. 9 3

C. 1 2 3

D. 1 8 3

【解析】B.由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱,
EA ? 平面 ABCD .

V ? S 平行四边形

ABCD

? h ? 3?

2 ? 1 ? 3 ? 9 3 。所以选 B
2

11.(2011 年高考陕西卷理科 5)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是

(A) 8 ?

2? 3

(B) 8 ?
2? 3

?
3

(C) 8 ? 2 ? (D) 【答案】A

【解析】 :由三视图可知该几何体为立方体与圆锥, 立方体棱长为 2,圆锥底面半径为 1、高为 2, 15. (2011 年高考全国卷理科 11)已知平面 ? 截一球面得圆 M, 过圆心 M 且与 ? 成 6 0 0 , 二面角的平面 ? 截该球面得圆 N, 若该球的半径为 4,圆 M 的面积为 4 ? ,则圆 N 的面积为 (A) 7 ? 【答案】D
B O N 60° M

(B) 9 ?

(c) 1 1?

(D) 1 3?

A

【 解 析 】: 由 圆 M
OM
2

的 面 积 为 4?

得 MA ? 2 ,

? 4 ? 2 ? 12
2 2

? O M ? 2 3 ,在 R t ? O N M 中 , ? O M N ? 3 0
? ON ? 1 2 OM ? 3 , r= 4 ?
2 2

0

3

?

1 3 ? S 圆 N ? 1 3? 故选 D

16.(2011 年高考北京卷理科 7)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中, 最大的是

A.8 【答案】C

B. 6 2

C.10

D. 8 2

1.(2011 年高考辽宁卷理科 15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 ,它 的三视图中的俯视图如右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是

____________.

2. (2011 年高考全国新课标卷理科 15)已知矩形 A B C D 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面 上,且 A B ? 6, B C ? 2 3 ,则棱锥 O ? A B C D 的体积为 。

3.(2011 年高考天津卷理科 10)一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则这个几何
3 体的体积为__________ m

【答案】 6 ? ? 【解析】由题意知,该几何体为一个组合体,其下面是一个长方体(长为 3m,宽为 2m, 高 为 1m), 上 面 有 一 个 圆 锥 ( 底 面 半 径 为 1, 高 为 3), 所 以 其 体 积 为
V 长 方 体 ? V圆 锥 ? 3 ? 2 ? 1 ? 1 3

? ?3 ? 6?? .

4. (2011 年高考四川卷理科 15)如图,半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最 大时,求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 .

答案: 2 ? R 2 解析: S 侧 ? 2 ? r ? 2 R ? r ? 4 ?
2 2
2

r ( R ? r ) ? S 侧 m ax 时,
2 2 2

r

? R ?r ? r
2 2

2

?

R

2

? r ?

2 2

R ,则 4 ? R ? 2 ? R
2

2

? 2? R

2

2

6.(2011 年高考福建卷理科 12)三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=3,底面 ABC 是 边长为 2 的正三角形,则三棱锥 P-ABC 的体积等于______。 【答案】 3 7.(2011 年高考上海卷理科 7)若圆锥的侧面积为 2 ? ,底面积为 ? ,则该圆锥的体积 为 【答案】
3 3


? ;

三、解答题: 1. (2011 年高考山东卷理科 19)(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形, ∠ ACB= 9 0 ? ,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC, EG∥AC.AB=2EF. (Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE; (Ⅱ)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小. 【解析】 (Ⅰ)连结 AF,因为 EF∥AB,FG∥BC,

EF∩FG=F,所以平面 EFG∥平面 ABCD,又易证 ? E F G ∽ ? A B C , 所以
FG BC ? EF AB ? 1 2 1 2

,即 F G ?

1 2

B C ,即 F G ?

1 2

A D ,又 M 为 AD

的中点,所以 A M ?

A D ,又因为FG∥BC∥AD,所以FG∥AM,所以四边形 AMGF 是

平行四边形,故 GM∥FA,又因为GM ? 平面ABFE,FA ? 平面ABFE,所以GM∥平面 ABFE.

2010 年高考题
一、选择题
S 1. 2010 全国卷 2 理) 9) ( ( 已知正四棱锥 S ? A B C D 中, A ? 2 3 ,

那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 (A) 1 3 【答案】C 【命题意图】本试题主要考察椎体的体积,考察告辞函数的最值问题. (B) 3 (C) 2 (D)

【解析】设底面边长为 a,则高

所以体积





, 则

, y 取最值时, 当

, 解得 a=0 或 a=4

时,体积最大,此时

,故选 C.

2.(2010 陕西文) 8.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积是 (A)2 (C)
2 3

[B] (B)1 (D)
1 3

【答案】 B 解析:本题考查立体图形三视图及体积公式 如图,该立体图形为直三棱柱
1

2

2

所以其体积为

1 2

?1?

2?

2 ?1

3. (2010 辽宁文) (11) 已知 S , A , B , C 是球 O 表面上的点,S A ? 平 面 A B C , A B ? B C ,
SA ? AB ? 1 , BC ?

2 ,则球 O 的表面积等于

(A)4 ? 【答案】A

(B)3 ?

(C)2 ?

(D) ?

【解析】选 A.由已知,球 O 的直径为 2 R ? S C ? 2 ,? 表面积为 4 ? R 2 ? 4 ? . 4.(2010 安徽文) (9)一个几何体的三视图如图,该几 何体的表面积是 (A)372 (C)292 【答案】B 【解析】该几何体由两个长方体组合而成,其表面积等 (B)360 (D)280

于下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和。
S ? 2 (1 0 ? 8 ? 1 0 ? 2 ? 8 ? 2 ) ? 2 (6 ? 8 ? 8 ? 2 ) ? 3 6 0 .

【方法技巧】 把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体 的组合体, 画出直观图, 得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积 加上面长方体的 4 个侧面积之和。 5.(2010 重庆文) (9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 (A)只有 1 个 (C)恰有 4 个 【答案】 D 【解析】放在正方体中研究,显然,线段 O O 1 、EF、FG、GH、 HE 的中点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离都相等, 所以排除 A、B、C,选 D 亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离相等 6.(2010 浙江文) (8)若某几何体的三视图(单位: cm)如图所示,则此几何体的体积是 (A) (B) (C) (D)
352 3 320 3

(B)恰有 3 个 (D)有无穷多个

cm cm

3

3

224 3
160 3

cm cm

3

3

【答案】B 【解析】选 B,本题主要考察了对三视图所表达示的 空间几何体的识别以及几何体体积的计算,属容易题 7.(2010 北京文) (8)如图,正方体 A B C D -A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 2,动点 E、F 在棱 A 1 B 1 上。点 Q 是 CD 的中点,动点 P 在棱 AD 上,若 EF=1,DP=x, A 1 E=y(x,y 大于零), 则三棱锥 P-EFQ 的体积:

(A)与 x,y 都有关; (C)与 x 有关,与 y 无关; 【答案】 C

(B)与 x,y 都无关; (D)与 y 有关,与 x 无关;

8.(2010 北京文) (5)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的 正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示,则该 集合体的俯视图为:

答案:C 9.(2010 北京理)(8)如图,正方体 ABCD- A1 B1C 1 D 1 的棱长为 2,动点 E、F 在棱 A1 B 1 上,动点 P,Q 分别在棱 AD,CD 上,若 EF=1, A1 E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零) ,则四面 体 PEFQ的体积 (A)与x,y,z都有关 (B)与x有关,与y,z无关 (C)与y有关,与x,z无关 (D)与z有关,与x,y无关 【答案】D 10.(2010 北京理) (3)一个长方体去掉一个小长方体,所得几 何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示,则该几何

体的俯视图为

【答案】 C 11. 2010 广东理) ( 6.如图 1, ABC 为三角形, A ? // B B ? // C C ? , C C ? ⊥平面 ABC 且 △ A 3 A A? =
3 2
B B ? = C C ? =AB,则多面体△ABC - A ? B ?C ? 的正视图(也称主视图)是

【答案】D 12.(2010 广东文)

13.(2010 福建文)3.若一个底面是正三角形的三棱柱 的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( ... A. 3 C. 2 3 B.2 D.6 )

【答案】D 【解析】由正视图知:三棱柱是以底面边长为 2,高为 1 的正三棱柱,所以底面积为
2? 3 4 ? 4 ? 2 3 ,侧面积为 3 ? 2 ? 1 ? 6 ,选 D.

【命题意图】本题考查立体几何中的三视图,考查同学们识图的能力、空间想象能力等基 本能力。 14.(2010 全国卷 1 文) (12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2, 则四面体 ABCD 的体积的最大值为 (A)
2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

【答案】B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这 个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力. 【解析】过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h ,则有
V四 面 体 A B C D ? 1 3 ? 2? 1 2 ?2?h ? 2 3 h ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, h m ax ? 2 2 ? 1 ? 2 3 ,
2 2

故V m ax ?

4 3 3

二、填空题 1.(2010 上海文)6.已知四棱椎 P ? A B C D 的底面是边长为 6 的正方形,侧棱 P A ? 底 面 A B C D ,且 P A ? 8 ,则该四棱椎的体积是 【答案】96 【解析】考查棱锥体积公式 V ?
1 3 ? 36 ? 8 ? 96
2



2.(2010 湖南文)13.图 2 中的三个直角三角形是一个体积为 20cm 的几何体的三视图,则 h= cm

【答案】4 3.(2010 浙江理) (12)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积 是___________ c m . 解析: 图为一四棱台和长方体的组合体的三视图, 由卷中 所给公式计算得体积为 144,本题主要考察了对三视图所表达 示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算,属容易题
3

4.(2010 辽宁文) (16)如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用 粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的 长为 .
P

解析:填 2 3 画出直观图:图中四棱锥 P ? A B C D 即是, 所以最长的一条棱的长为 P B ? 2 3 . 5.(2010 辽宁理) (15)如图,网格纸的小正方形的边长是 1, 在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的 一条棱的长为______.
B A C

D

【答案】 2 3 【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题,考查了同学们的识图能力 以及由三视图还原物体的能力。 【解析】由三视图可知,此多面体是一个底面边长为 2 的正方 形且有一条长为 2 的侧棱垂直于底面的四棱锥,所以最长棱长 为 2 ?2 ?2 ?2 3
2 2 2

6.(2010 天津文) (12)一个几何体的三视图如图所示,则这 个几何体的体积为 【答案】3 【解析】 本题主要考查三视图的基础知识, 和主题体积的计算, 属于容易题。 由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形,则正视图和俯视图 可知该几何体的高为 1,结合三个试图可知该几何体是底面为 直角梯形的直四棱柱,所以该几何题的体积为
1 ( 1+ 2 ) 2 ? 1= 3 ? 2



【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高,由俯视图可 以确定几何体底面的形状,本题也可以将几何体看作是底面是长为 3,宽为 2,高为 1 的长 方体的一半。

7.(2010 天津理) (12)一个几何体的三视图如图所 示,则这个几何体的体积为 【答案】
10 3

【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体 积的计算,属于容易题。 由三视图可知, 该几何体为一个底面边长为 1, 高为 2

的正四棱柱与一个底面边长为 2,高为 1 的正四棱锥组成的组合体,因为正巳灵珠的体积 为 2,正四棱锥的体积为 ? 4 ? 1 ?
3 1 4 3

,所以该几何体的体积 V=2+

4 3

=

10 3

【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状,结合正视图与侧视图便可得到几何 体的形状,求锥体体积时不要丢掉 三、解答题 1.(2010 上海文)20.(本大题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作 4 个全等的矩 形骨架,总计耗用 9.6 米铁丝,再用 S 平方米塑料片制成圆柱 的侧面和下底面(不安装上底面). (1)当圆柱底面半径 r 取何值时, S 取得最大值?并求出该 最大值(结果精确到 0.01 平方米); (2)若要制作一个如图放置的, 底面半径为 0.3 米的灯笼, 请作 出 用于灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素). 解析: 设圆柱形灯笼的母线长为 l, l?1.2?2r(0<r<0.6), (1) 则
1 3

哦。

S??3?(r?0.4)2?0.48?,
所以当 r?0.4 时,S 取得最大值约为 1.51 平方米; (2) 当 r?0.3 时,l?0.6,作三视图略. 2.(2010 陕西文)18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形 PA⊥平面 ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F 分 别是 PB,PC 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 E—ABC 的体积 V. 解 (Ⅰ)在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD.

(Ⅱ)连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G, 则 BG⊥平面 ABCD,且 EG=
1 2

PA.
2 2

在△PAB 中,AD=AB, ? PAB°,BP=2,∴AP=AB= 2 ,EG= ∴S△ABC=
1 2

.

AB·BC=

1 2

× 2 ×2= 2 ,
1

∴VE-ABC=

1 3

S△ABC·EG= × 2 ×
3

2 2

=

1 3

.

3.(2010 安徽文)19.(本小题满分 13 分) 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是正方形, AB=2EF=2, EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,
E F

BF=FC,H 为 BC 的中点, (Ⅰ)求证:FH∥平面 EDB; (Ⅱ)求证:AC⊥平面 EDB; (Ⅲ)求四面体 B—DEF 的体积;
A B D C

H

【命题意图】 本题考查空间线面平行、 线面垂直、 面面垂直的判断与证明,考查体积的计算等基础 知识,同时考查空间想象能力、推理论证能力和 运算能力. 【解题指导】 (1)设底面对角线交点为 G,则可 以通过证明 EG∥FH,得 F H ∥平面 E D B ; (2)利用线线、线面的平行与垂直关系,证明 FH⊥平面 ABCD,得 FH⊥BC,FH⊥AC,进而得 EG⊥AC, A C ? 平面 E D B ; (3)证明 BF⊥ 平面 CDEF,得 BF 为四面体 B-DEF 的高,进而求体积.
(1) 证 : 设 A C 与 B D 交 于 点 G , 则 G 为 A C 的 中 点 , 连 E G , G H , 由 于 H 为 B C 的 中 点 , 故 GH / / 1 2 又 EF / / 1 2 ? E G / / F H , 而 E G ? 平 面 E D B, F H / / 平 面 E D B ? A B ,? 四 边 形 E F G H 为 平 行 四 边 形 AB,

【规律总结】本题是典型的空间几何问题,图形不是规则的空间几何体,所求的结论是线 面平行与垂直以及体积, 考查平行关系的判断与性质.解决这类问题, 通常利用线线平行证 明线面平行,利用线线垂直证明线面垂直,通过求高和底面积求四面体体积. 4.(2010 四川理) (18) (本小题满分 12 分)已知正方体 ABCD-A'B'C'D'的棱长为 1,点
D?
C?

M 是棱 AA'的中点,点 O 是对角线 BD'的中点.
(Ⅰ)求证:OM 为异面直线 AA'和 BD'的公垂线;

A?
?O

B?
D B

(Ⅱ)求二面角 M-BC'-B'的大小; (Ⅲ)求三棱锥 M-OBC 的体积.

M? A

C

本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识, 并考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法一: (1)连结 AC,取 AC 中点 K,则 K 为 BD 的中点,连结 OK 因为 M 是棱 AA’的中点,点 O 是 BD’的中点 所以 AM //
1 2 D D ' // O K

所以 MO // A K 由 AA’⊥AK,得 MO⊥AA’ 因为 AK⊥BD,AK⊥BB’,所以 AK⊥平面 BDD’B’ 所以 AK⊥BD’ 所以 MO⊥BD’ 又因为 OM 是异面直线 AA’和 BD’都相交故 OM 为异面直线 AA'和 BD'的公垂线

(2)取 BB’中点 N,连结 MN,则 MN⊥平面 BCC’B’ 过点 N 作 NH⊥BC’于 H,连结 MH 则由三垂线定理得 BC’⊥MH 从而,∠MHN 为二面角 M-BC’-B’的平面角

MN=1,NH=Bnsin45°= ?
2

1

2 2

?

2 4

在 Rt△MNH 中,tan∠MHN=

MN NH

?

1 2 4

? 2

2 故二面角 M-BC’-B’的大小为 arctan2

2

(3)易知,S△OBC=S△OA’D’,且△OBC 和△OA’D’都在平面 BCD’A’内 点 O 到平面 MA’D’距离 h=
1 1 2 1 24

VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’= S△MA’D’h=
3

解法二: 以点 D 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系 D-xyz 则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1) (1)因为点 M 是棱 AA’的中点,点 O 是 BD’的中点 所以 M(1,0,
1 2

),O(

1

,

1

,

1

)

2 2 2 ???? ? ???? ???? ? 1 1 O M ? ( , ? , 0 ) , A A ' =(0,0,1), B D ' =(-1,-1,1) 2 2 ???? ???? ? ? ???? ???? ? 1 1 O M ?B D ' ? ? ? O M ?A A ' =0, +0=0 所 以 2 2

OM⊥AA’,OM⊥BD’
又因为 OM 与异面直线 AA’和 BD’都相交 故 OM 为异面直线 AA'和 BD'的公垂线.????????????4 分 (2)设平面 BMC'的一个法向量为 n 1 =(x,y,z)
???? ? ???? ? 1 B M =(0,-1, ), B C ' =(-1,0,1) 2
?? ???? ? ? n 1 ?B M ? 0 ? ? ? ?? ???? ? n 1 ?B C ' ? 0 ?
1 ? ?? y ? z ? 0 即? 2 ?? x ? z ? 0 ?

??

取 z=2,则 x=2,y=1,从而 n 1 =(2,1,2)

??

取平面 BC'B'的一个法向量为 n 2 =(0,1,0)
?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n 2 ? cos ? n1 , n 2 ? ? ?? ?? ? | n1 |?| n 2 | 1 9? 1 ? 1 3

?? ?

由图可知,二面角 M-BC'-B'的平面角为锐角 故二面角 M-BC'-B'的大小为 arccos
1 4

1 3

??????????????????9 分
2 4

(3)易知,S△OBC=

S△BCD'A'= ?1? 2 ?
4

1

设平面 OBC 的一个法向量为 n 3 =(x1,y1,z1)

?? ?

??? ? ???? ? B D ' =(-1,-1,1), B C =(-1,0,0)
?? ???? ? ? ? n 3 ?B D ' ? 0 ? ? ?? ???? ? n 1 ?B C ? 0 ?

即?

? ? x1 ? y 1 ? z 1 ? 0 ? ? x1 ? 0

取 z1=1,得 y1=1,从而 n 3 =(0,1,1)
1 ???? ? | B M ?| ?? ? ? 2 ? | n3 | 2

?? ?



M

到 平 面

OBC

的 距 离

d =

2 4

VM



OBC



1 3

S ? O B C ?d ?

1 3

?

2 4

?

2 4

?

1 24

????????????????12 分

2009 年高考题
一、选择题 1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2 ? ? 2 3 B. 4 ? ? 2 3 C. 2 ? ? ).
2 3 3 2 3 3

D.

4? ?

2

2

【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 2 ? ,四棱锥的底面 2

2 正(主)视图

2 侧(左)视图

边长为 2 ,高为 3 , 所以体积为 ? ? 2 ? ?
1
2

3 ?

2 3 3 2 3 3

3

所以该几何体的体积为 2 ? ? 答案:C

.

【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积.

2.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:c m )为 (A)48+12 2 (B)48+24 2 (C)36+12 2 (D)36+24 2

2

3.正六棱锥 P-ABCDEF 中,G 为 PB 的中点,则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积之比为 (A)1:1 (B) 1:2 (C) 2:1 (D) 3:2
?x
2

4.在区间[-1,1]上随机取一个数 x, c o s A.
1 3

的值介于 0 到

1 2

之间的概率为(

).

B.

2

?

C.

1 2

D.

2 3

【 解 析 】 : 在 区 间 [-1 , 1] 上 随 机 取 一 个 数 x, 即 x ? [ ? 1,1] 时 , ?

?
2

?

?x
2

?

?
2

, ∴

0 ? cos

?x
2

?1

区间长度为 1, 而 c o s 答案 C

?x
2

的值介于 0 到

1 2

之间的区间长度为

1 2

,所以概率为

1 2

.故选 C

【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量 x 的取值范围,得到 函数值 c o s
?x
2

的范围,再由长度型几何概型求得.
1 2

5. 如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 体的俯视图可以是

。则该集合

答案: C 6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方 体 的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“ ? ”的面的方位 是 A. 南 C. 西 B. 北 D. 下

解:展、折问题。易判断选 B 7. 如 图 , 在 半 径 为
? A B C?9 0
?

3

的 球 面 上 有 A, B , C 三 点 ,

A , B ?

,B C
3 2 2

球心 O 到平面 A B C 的距离是
?
3

,则 B、 C 两点的球面距离是
4? 3

A.

B. ?

C.

D. 2 ?

答案 B 8.若正方体的棱长为 2 ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

A.

2 6

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

答案 C 9,如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的侧棱长

为 4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是( 答案 B



二、填空题 10..图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a=_______ 答案
3

11.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a ? __________

12.若某几何体的三视图(单位: c m )如图所示,则此几何体的体积是 答案 18

cm .

3

【解析】该几何体是由二个长方体组成,下面体积为 1 ? 3 ? 3 ? 9 ,上面的长方体体积为
3 ? 3 ? 1 ? 9 ,因此其几何体的体积为 18

13.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m) 。

则该几何体的体积为
答案

m

3

答案 4

14. 直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 的各顶点都在同一球面上,若
A B ? A C ? A A1 ? 2 , ? B A C ? 1 2 0 ? ,则此球的表面积等于



解:在 ?ABC 中 AB ? AC ? 2 , ? BAC ? 120? ,可得 BC ? 2 3 ,由正弦定理,可得
?ABC

外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O ? ,球心为 O ,在 RT ? O BO ? 中,易得球半径 R ? 故此球的表面积为 4 ? R ? 2 0 ? .
2

5 ,

15.正三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 内接于半径为 2 的球,若 A , B 两点的球面距离为 ? ,则正三 棱 柱的体积为 答案 8 .

16 . 体 积 为 8 的 一 个 正 方 体 , 其 全 面 积 与 球 O 的 表 面 积 相 等 , 则 球 O 的 体 积 等 于 答案 .
8 6?

?
2 ,A、B
2? 3

17.如图球 O 的半径为 2,圆 O 1 是一小圆, O 1 O ? 是圆 O 1 上两点,若 A,B 两点间的球面距离为
?
2

,则 ? A O 1 B =

.

答案

18.已知三个球的半径 R 1 , R 2 , R 3 满足 R 1 ? 2 R 2 ? 3 R 3 ,则它们的表面积 S 1 , S 2 , S 3 ,

满足的等量关系是___________. 答案
S1 ? 2 S2 ? 3 S3

19.若球 O1、O2 表示面积之比 答案 2 三、解答题 20. (本小题满分 13 分)

S1 S2

? 4

,则它们的半径之比

R1 R2

=_____________.

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示。墩的上半部分是正四棱锥
P ? E F G H ,下半部分是长方体 A B C D ? E F G H 。图 5、图 6 分别是该标识墩的正

(主)视图和俯视图。 (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积; (3)证明:直线 B D ? 平面 P E G .

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为: V ? V P ? E F G H ? V A B C D ? E F G H
? 1 3 ? 40 ? 60 ? 40 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000
2 2

? cm ?
2

(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, P O ? 平面 EFGH , 又 EG ? HF 又 BD P HF
? H F ? 平面 PEG ? B D ? 平面 PEG;
? PO ? HF

2007—2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 广东) 将正三棱柱截去三个角 (如图 1 所示 A, B, C 分别是 △ G H I 三边的中点) 得到几何体如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( H B A I C G 侧视 B A C B B B B )

E F 图1 答案 A

D

E F 图2

D

E A.

E B.

E C.

E D.

2.(2008 海南、宁夏理)某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的 投影是长为 6 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为( A. 2 2 B. 2 3 ) C. 4 D. 2 5

k n m

答案

C

【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图 设长方体的高宽高分别为 m , n , k ,由题意得
m ?n ?k
2 2 2

?

7 ,
2

m ?k
2

2

?
2

6 ? n ?1
2

1? k
2

2

? a , 1? m
2

? b ,所以 ( a ? 1) ? ( b ? 1) ? 6
2 2 2 2 2

? a ? b ? 8 ,∴ ( a ? b ) ? a ? 2 a b ? b ? 8 ? 2 a b ? 8 ? a ? b ? 1 6
? a ? b ? 4 当且仅当 a ? b ? 2 时取等号。

3.(2008 山东)下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 A.9π C.11π B.10π D.12π

答案 D 【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一 个圆柱组合而成的,其表面及为
S ? 4? ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? 2? ? 1 ? 3 ? 1 2? .
2 2

3. (2007 宁夏理?8) 已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) , 可得这个几何体的体积是( )

10 20 10

20 正视图

20 侧视图

20 俯视图

A.

4000 3

cm

3

B.

8000 3

cm

3

C. 2 0 0 0 cm

3

D. 4 0 0 0 c m

3

答案 B 4. (2007 陕西理?6)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三 个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( A.
3 3 4

) D.
3 12

B.

3 3

C.

3 4

答案 B 二、填空题 11.(2008 海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边 形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 底面周长为 3,则这个球的体积为 答案
4? 3 9 8





【解析】令球的半径为 R ,六棱柱的底面边长为 a ,高为 h ,显然有 a ? ( ) ? R ,
2 2

h

2
1 ? ? 3 2 9 4 4 a ?h ? ?V ? 6 ? ?a ? 3 2 ? R ?1 ? V ? ? R ? ? . 且? 4 8 ? ? 3 3 ?6a ? 3 ? ?h ? 3 ?

12.(2008 海南、宁夏文)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱 柱 的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体积

为_________ 答案
4 3 ?
1 2

【解 析 】∵正六边形周长为3 ,得边长为
2R ?

,故其主对 角线为1,从而球的直 径

? 3?

2

?1 ? 2
2

∴R ?1

∴球的体积 V ?

4 3

?.

13. (2007 天津理?12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条 棱 的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为 答案
14π



14.(2007 全国Ⅱ理?15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正 四 棱柱的底面边长为 1 cm,那么该棱柱的表面积为 答案
2?4 2

cm .

2

第二部分

四年联考汇编

2012-2013 年联考题
1【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】一个几何体的三视图如图所示,其中 主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的

等腰直角三角形, 则该几何体的外接球的表面积为 ( A. 1 2 ? 【答案】C B. 4 3? C. 3?



D. 1 2 3?

【解析】由主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,得到这是一个四棱 锥,底面是一个边长是 1 的正方形,一条侧棱 AE 与底面垂直,∴根据求与四棱锥的对称性 知,外接球的直径是 AC 根据直角三角形的勾股定理知 A C ?
1?1?1 ? 3 ,半径为
3 2



所以外接球的面积为 4 ? (

3 2

2 ) ? 3 ? ,选 C.

2.【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】设 l , m , n 表示不同的直线,? , ? , ? 表示不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ∥ l ,且 m ? ? . 则 l ? ? ; ②若 m ∥ l ,且 m ∥ ? .则 l ∥ ? ;

③若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m , ? ? ? ? n ,则 l ∥m∥n; ④若 ? ? ? ? m , ? ? ? ? l , ? ? ? ? n , 且 n∥ ? ,则 l ∥m. 其中正确命题的个数是( A.1 【答案】B 【解析】①正确;②中当直线 l ? ? 时,不成立;③中,还有可能相交一点,不成立;④ 正确,所以正确的有 2 个,选 B. 3.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷(三)理科】一个几何体的三视图如图l 所示,其中正视图是一个正三角形,则该几何体的体积为 ( ) B.2 ) C.3 D.4

A.1 【答案】B

B.

3 3

C. 3

D.

2 3 3

【解析】由三视图可知,此几何体为三棱锥,如图 1,其中正视图为 △ P A C ,是边长为 2
P 的正三角形, D ? 平 面 ABC

, PD 且

?

3

, 底面 △ A B C 为等腰直角三角形,A B

? BC ?

2



V ?

1 3

?

3?

1 2

?

2?

2 ?

3 3

所以体积为

,故选 B.

图1

4.【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】已知三棱锥的三视图如图所示,则它的 外接球表面积为( )

A.16 ? 【答案】B

B.4 ?

C.8 ?

D.2 ?

【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥,且三棱锥的高为 1,底面为一个直角三角形, 由于底面斜边上的中线长为 1, 则底面的外接圆半径为 1, 顶点在底面上的投影落在底面外 接圆的圆心上,由于顶点到底面的距离,与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径 R 为 1,则三棱锥的外接球表面积 S ? 4 ? R ? 4 ? ,选 B.
2

5.【云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试理】如图, 在长方体 ABCD— A1B1C1D1 中 , 对 角 线 B1D 与 平 面 A1BC1 相 交 于 点 E , 则 点 E 为 △ A1BC1 的

A.垂心

B.内心

C.外心

D.重心

【答案】D

【解析】 如图

? , E B1 F ? ? D B E ,所以 B E : E F ? 2 : 1 ,且 F

为 A1 C 1 的中点,选 D. 6.【云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试理】某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为

A. 2 0 ? 1 2 2 C. 2 0 ? 1 2 5 【答案】B

B. 2 0 ? 1 2 3 D.32

【解析】根据三视图可知,这是一个四棱台



S 上 = 4, S 下 =1 6 , S



( 2 + 4) ? =4? 2

3

=1 2 3 ,所以表面积为 4 +1 6 + 1 2 3 = 2 0 +1 2 3 ,

选 B.
? 7. 【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理) 设 b, 表示两条直线, , ? 】 c

表示两个平面,则下列命题正确的是 A.若 b ? ? , c / / ? , 则 c / / b C.若 c ? ? , ? ? ? , 则 c ? ? 【答案】D 【解析】A 中, c 与 b 也有可能异面;B 中也有可能 c ? ? ;C 中 c 不一定垂直平面 ? ;D 中根据面面垂直的判定定理可知正确,选 D. 8.【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】设直线 m、n 和平面 ? 、 ? ,下列 四个命题中,正确的是 A. 若 m // ? , n // ? , 则 m // n C. 若 ? 【答案】D 【解析】因为选项 A 中,两条直线同时平行与同一个平面,则两直线的位置关系有三种, 选项 B 中,只有 Mm,n 相交时成立,选项 C 中,只有 m 垂直于交线时成立,故选 D 9.【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理) 已知 m , n 是两条不同直线, 】
? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是
? ? , m ? ? ,则 m ? ?

B.若 b ? ? , b / / c , 则 c / / ? D.若 c ? ? , c ? ? , 则 ? ? ?

( B. 若 m D. 若 ?



? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则 ? // ? ? ? , m ? ? , m ? ? , 则 m // ?

A. 若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? ‖ ? C. 若 m‖ ? , n‖ ? , 则 m‖ n 【答案】B 【解析】根据线面垂直的性质可知,B 正确。

B. 若 m ? ? , n ? ? , 则 m‖ n D. 若 m‖ ? , m‖ ? , 则 ? ‖ ?

【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理) 】一个棱锥的三视图如图(尺寸的 长度单位为 m ) 则该棱锥的体积是 ,

A.

4 3

B. 8

C. 4

D.

8 3

【答案】A 【解析】由三视图可以看出,此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面 全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形,高为 2,底面边长为 2,底面面积
1 2 ?2?2 ? 2

故此三棱锥的体积为 ? 2 ? 2 ?
3

1

4 3

,选 A.

10.【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】设动点 P 在棱长为 1 的正方体
A B C D ? A1 B1 C 1 D 1

的 对 角 线 B D1 上 , 记 。

D1 P D1 B

? ?

。 当 ? A P C 为钝 角 时 , 则 ? 的 取 值 范围

是 【答案】 ( ,1)
3 1

【解析】由题设可知,以





为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标
???? ?

系 D﹣xyz,则有 A (1, 0, 0 ) , B (1,1, 0 ) , C (0,1, 0 ) , D (0 , 0 ,1) ,则 D 1 B ? (1,1, ? 1) ,得

???? ? ???? ? D 1 P ? ? D 1 B ? ( ? , ? , ? ? ) ,所以 ??? ? ???? ???? ? ? P A ? P D 1 ? D 1 A ? ( ? ? , ? ? , ? ) ? (1, 0, ? 1) ? (1 ? ? , ? ? , ? ? 1) , ???? ???? ???? ? ? P C ? P D 1 ? D 1C ? ( ? ? , ? ? , ? ) ? (0,1, ? 1) ? ( ? ? ,1 ? ? , ? ? 1)

显然 ? A P C 不是平角,所以 ? A P C 为钝角等价于 P A ?P C ? 0
2

??? ???? ?

,即
1 3 ? ? ? 1 ,因此 ? 的取

? ? (1 ? ? ) ? ? (1 ? ? ) ? ( ? ? 1) ? 0 ,即 ( ? ? 1)(3 ? ? 1) ? 0 ,解得

值范围是 ( ,1) 。
3

1

11.【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理】已知正三棱锥 P ? 在半径为 ________.
3

ABC

,点 P , A , B , C 都

3 的 球 面 上 , 若 PA , PB , PC 两 两 互 相 垂 直 , 则 球 心 到 截 面 ABC 的 距 离 为

【答案】 3 【解析】因为在正三棱锥 P ? ABC 中,PA,PB,PC 两两互相垂直,所以可以把该正三棱锥 看作为一个正方体的一部分, (如图所示) ,此正方体内接于球,正方体的体对角线为球的 直径,球心为正方体对角线的中点.球心到截面 ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥
P?

ABC 在面 ABC 上的高.已知球的半径为 3 ,所以正方体的棱长为 2,可求得正三棱锥 ABC 在面 ABC 上的高为
2 3 3

P?

,所以球心到截面 ABC 的距离为 3 ?

2 3 3

?

3 3

.

12.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷(三)理科】正三棱锥A-BCD内接于球O ,且底面边长为 3 ,侧棱长为2,则球O的表面积为____ 【答案】
1 6? 3



【解析】如图 3,设三棱锥 A ?

BCD

的外接球球心为 O,

图3

半径为 r,BC=CD=BD=
AM ? 平 面 BCD
2

3

,AB=AC=AD=2,
3

,M为正 △ B C D 的中心,则DM=1,AM=
2

,OA=OD=r,所以 .

( 3 ? r) ? 1 ? r

,解得 r

?

2 3

,所以 S

? 4 πr

2

?

16 3

π

13.【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】一个几何体的三视图如图 所示(单位:m),则该几何体的体积为
m .
3

【答案】4 【解析】由三视图可知,该组合体是由两个边长分别为 2,1,1 和 1,1,2 的两个长方体,所 以体积之和为 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 4 。 14.【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理) 】一个几何体的三视图如 右图所示,则该几何体的表面积为__________.

【答案】 2 4 ? 2 ? 【解析】由三视图可知,该组合体下部是底面边长为 2,高为 3 的正四棱柱,上部是半径 为 2 的半球,所以它的表面积为 4 ? 3 ? 2 ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? 2 2 ? 1 2 ? ? 2 4 。 15.【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】 如图为一个几何体的三视图,其 中俯视为正三角形,A 1 B 1 =2,AA 1 =4,则该几何体的表面积为_______。

【答案】 2 3 ? 2 4 【解析】由三视图可知,该几何体是一个正三棱柱,底面边长为 2,高是 4.所以该三 棱柱的表面积为 2 ?
1 2 ?2 ?
2

3 2

? 3 ? 2 ? 4 ? 2 3 ? 24 。

16.【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】 (本小题满分 12 分)如图,在长方体
A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 ,中, A D ? A A1 ? 1, A B ? 2

,点 E 在棱 AB 上移动.

(1)证明: D 1 E

? A1 D



(2)当 E 为 A B 的中点时,求点 E 到面 A C D 1 的距离; (3) A E 等于何值时,二面角 D1 ? E C
?D

的大小为

?
4

.

【答案】解:以 D 为坐标原点,直线 D A , D C , D D 1 分别为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系, 设 AE
? x

,则 A1 (1, 0,1), D1 (0, 0,1), E (1, x , 0 ), A (1, 0, 0 ), C (0, 2, 0 ) ????2 分

(1) 因 为 D A1 , D 1 E

???? ???? ? ?

???? ? ???? ? ? (1, 0,1), (1, x , ? 1) ? 0, 所 以 D A1 ? D 1 E . ??????4 ???? ?

分 ,

(2)因为 E 为 A B 的中点,则 E (1,1, 0 ) ,从而 D 1 E
???? ? A D 1 ? ( ? 1, 0,1)

???? ? (1,1, ? 1), A C ? ( ? 1, 2, 0 )
? ?n ? ,则 ? ? ?n ?

,设平面

? A C D 1 的法向量为 n ? ( a , b , c )

???? ? A C ? 0, ???? ? ? A D1 ? 0 ,

也即 ?

? ? a ? 2b ? 0 ??a ? c ? 0

,得 ?

? a ? 2b ?a ? c

,从而 n

?

? ( 2 ,1, 2 )

,所以点 E 到平面 A C D 1 的距离为

???? ? ? | D1 E ? n | 2 ?1? 2 1 ? h ? ? ? . ??????????????????8 3 3 |n|



(3)设平面 D1 E C 的法向量 n ∴CE
??? ?

?

? (a, b, c)



????? ? ???? ? ? (1, x ? 2, 0 ), D 1 C ? (0, 2, ? 1), D D 1 ? (0, 0,1),

? ???? ? ? n ? D1C ? 0 , ? 2b ? c ? 0 ? ? ? 由 ? ? ???? ?a ? b( x ? 2) ? 0. ? n ? C E ? 0, ?

令b

? 1,? c ? 2, a ? 2 ? x



∴n

?

? ( 2 ? x ,1, 2 ).

? ????? | n ? D D1 | 依题意 c o s ? ? ????? ? 4 | n | ? | D D1 |

?

2 2

?

2 ( x ? 2) ? 5
2

?

2 2

.

∴ x1 ∴

? 2?

3

(不合,舍去) x 2 ,
3

? 2?

3

.
?
4

AE ? 2 ?

时,二面角

D 1 ? E C?

D的 大 小 为

. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分

17.【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理】 (本题 12 分)如图 6,在长方体
ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中, AA 1 ? AD ? 1 , E

为 CD 中点.

(1)求证: B 1 E

? AD 1 ;
//

(2)在棱 AA 1 上是否存在一点 P ,使得 DP 说明理由;

平面 B 1 AE ?若存在,求 AP 的长;若不存在,

(3)若二面角 A ? B 1 E ? A1 的大小为 30°,求 AB 的长.

图6

【答案】解:(1)以 A 为原点,,的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间 ,

? ? B 直角坐标系(如图).设 AB=a, A(0,0,0), (0,1,0), 1(0,1,1), ? ,1,0?, 1(a,0,1), 则 D D E ?2 ?
a

? ? ? ? 故=(0,1,1),=?- ,1,-1?,=(a,0,1),=? ,1,0?. 2 2 ? ? ? ?
a a
因为·=- ×0+1×1+(-1)×1=0, 2 所以 B1E⊥AD1.

a

(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0,z0), 使得 DP∥平面 B1AE.此时=(0,-1,z0). 又设平面 B1AE 的法向量 n=(x,y,z).

?ax+z=0, ? 因为 n⊥平面 B1AE,所以 n⊥,n⊥,得?ax ? 2 +y=0. ?
取 x=1,得平面 B1AE 的一个法向量 n=?1,- ,-a?. 2 ? ?

?

a

?

a 1 要使 DP∥平面 B1AE,只要 n⊥,有 -az0=0,解得 z0= . 2 2
1 又 DP?平面 B1AE,所以存在点 P,满足 DP∥平面 B1AE,此时 AP= . 2 (3)连接 A1D,B1C,由长方体 ABCD-A1B1C1D1 及 AA1=AD=1,得 AD1⊥A1D. 因为 B1C∥A1D,所以 AD1⊥B1C. 又由(1)知 B1E⊥AD1,且 B1C∩B1E=B1, 所以 AD1⊥平面 DCB1A1.所以是平面 A1B1E 的一个法向量,此时=(0,1,1). 设与 n 所成的角为θ , - -a 2 2 1+ +a 4

a

则 cosθ ==

a2

.
2

因为二面角 A-B1E-A1 的大小为 30°,

所以|cosθ |=cos30°,即 2 解得 a=2,即 AB 的长为 2.

3a 2 5a 1+ 4
2



3 , 2

18.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)理科】 (本小题满分 12 分) 如图 5 甲,四边形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,DB =2, DC=1,BC= 5 ,AB =AD= 2 .将 (图甲)沿直线 BD 折起,使二面角 A - BD -C 为 60 (如图乙) . (Ⅰ)求证:AE⊥平面 BDC;
o

(Ⅱ)求点 B 到平面 ACD 的距离. 【答案】 (Ⅰ)证明:如图 4,取 BD 中点 M,连接 AM,ME. 因为 AB=AD=
2

,所以 AM⊥BD,
5

因为 DB=2,DC=1,BC=

,满足:DB +DC =BC ,

2

2

2

所以△BCD 是以 BC 为斜边的直角三角形,BD⊥DC, 因为 E 是 BC 的中点,所以 ME 为△BCD 的中位线,
?

1 ME ∥ C D , = 2
图4

? ?

ME⊥BD,ME=

1 2

,?????????????????????????(2 分)

∠AME 是二面角 A-BD-C 的平面角,? ? A M E = 6 0 °. , ME
? BD

? AM ? BD

且 AM、ME 是平面 AME 内两条相交于点 M 的直线, 平面 AEM,? B D
? AE

? BD ? 平 面 AEM
? AB ? AD ?
? △ ABD

,?

AE ? ? 2

.????????????(4 分)

2

, DB


AM ? 1 2 BD ? 1 ,

为等腰直角三角形,?

在△AME 中,由余弦定理得: A E 2
? AE ? M E
2 2

? AM

2

? ME

2

? 2 A M ? M E ? c o s ? A M E ,? A E ?

3 2



? 1 ? AM

2

,? A E ? M E ,

? B D ? M E ? M , B D ? 平 面 B D C ,M E ? 平 面 B D C



? AE ? 平 面 BDC

.???????????????????????????(6

分) (Ⅱ)解法一:等体积法. 解法二:如图 5,以 M 为原点,MB 所在直线为 x 轴,ME 所 在直线为 y 轴,平行于 EA 的直线为 z 轴,建立空间直角坐 标系, ??????????????????(7 分) 则由(Ⅰ)及已知条件可知 B(1,0,0), E ? 0 ,
? ? 1 ? ,0 ? 2 ?


图5

? 1 3 ? A?0, , ? ,D ( ? 1 ,0 ,0 ) ,C ( ? 1 ,1 ,0 ) ? 2 2 ? ? ?

.

则 AB

??? ?

? 1 3 ? ???? ? ? 1 ,? ,? ? ,C D ? (0 , ? 1 ,0 ) , ? 2 2 ? ? ?

?????????????? 分) (8

???? ? 1 3 ? A D ? ? ? 1 ,? ,? ?, ? 2 2 ? ? ?

设平面 ACD 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,
? ???? ? 1 3 ? n· D ? 0 , z ? 0, ? A ?? x ? y ? ? ? 则 ? ? ???? 2 2 ? n· D ? 0 ?? y ? 0 , ? C ?
? ? n ? ( 3 ,0 , ? 2 ) ,

?

令x

?

3,

则 z=-2,

?????????????????????????(10

分) 记点 B 到平面 A C D 的距离为 d,
??? ??? ? AB ? n 则d ? ??? n

,所以 d ?

3 ?0?
2

3
2

?

2

21 7

.

??????????(12

( 3 ) ? 0 ? (?2)

分) 19.【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理)(本小题满分 1 3 分) 】 已知:如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 为正方形, PA ? 面 ABCD , 且 PA ? AB ? 2 , E 为 PD 中点. (Ⅰ)证明: PB //平面 AEC ; (Ⅱ)证明:平面 PCD ? 平面 PAD ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? D 的正弦值.

P 【答案】解: (Ⅰ)

E

A

D

O B C

证明:连结 BD 交 AC 于点 O,连结 EO.
? O 为 BD 中点,E 为 PD 中点,

????????1 分

∴ B. ???2 分
? EO ? 平面 AEC,PB ? 平面 AEC,

EO//P ?????

????????3 分

∴ PB//平面 AE (Ⅱ)
P

C.

E

A

D

证明:
B PA⊥平面 ABC C D.

CD ? 平面 ABCD,

∴ PA ? CD .

????????4 分

又? 在正方形 ABCD 中 CD ? AD 且 PA ? AD ? A , ∴CD ? 平面 PA 分 又? CD ? 平面 PCD, ∴平面 PCD ? 平面 PAD . D.

????????5 分 ????????6

????????7 分

(Ⅲ)如图,以 A 为坐标原点, AB , AD , AP 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立 空 间直角坐标系. ???8 分

z P

E

A B C x

D y

由 PA=AB=2 可知 A、B、C、D、P、E 的坐标分别为 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) . ?????9 分

. ? PA ? 平面 ABCD,∴ AP 是平面 ABCD 的法向量, AP =(0, 0, 2) 设平面 AEC 的法向量为 n ? ( x , y , z ) , AE ? ( 0 , 1, 1), AC ? ( 2 , 2 , 0 ) ,

则?

? n ? AE ? 0 , ? ? n ? AC ? 0 . ?
? z ? ? y, ? x ? ? y.

即?

?0 ? y ? z ? 0, ?2 x ? 2 y ? 0 ? 0.

∴ ?

∴ 令 y ? ? 1 ,则 n ? (1, ? 1, 1) . ∴ cos ? AP , n ??
AP ? n | AP | ? | n | ? 2 2?
6 3

??????11 分
1 3

? 3

,

???????12 分

二面角 E ? AC ? D 的正弦值为

???????13 分

20.【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】 (本小题满分 12 分)
A 在直三棱柱 A B C ? A1 B1 C 1 中, B ? B C ? 2, A A1 ? 2 2

∠ACB=90°,M是 A A1 的中点,

N是 B C 1 的中点 (Ⅰ)求证:MN∥平面 A1 B1 C 1 ; (Ⅱ)求点 C 1 到平面 BMC 的距离; (Ⅲ)求二面角 B ? C 1 M ? A1 的平面角的余弦值大小。

【答案】 (1)如图所示,取 B1C1 中点 D,连结 ND、A1D

∴DN∥BB1∥AA1 又 DN=
1 2 BB 1 ? 1 2 AA 1 ? A 1 M

∴四边形 A1MND 为平行四边形。 ∴MN∥A1 D 又 MN ? 平面 A1B1C1

AD1 ? 平面 A1B1C1

∴MN∥平面 A1 B 1 C 1 --------------------------4 分 (2)因三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 为直三棱柱, ∴C1 C ⊥BC,又∠ACB=90°∴BC⊥平面 A1MC1 在平面 ACC1 A1 中,过 C1 作 C1H⊥CM,又 BC⊥C1H,故 C1H 为 C1 点到平面 BMC 的距离。在等腰 三角形 CMC1 中,C1 C=2 2 ,CM=C1M= 6 ∴C1H
? CC
1

? AC

?

4 3 3

.--------------------------8 分

CM

(3)在平面 ACC1A1 上作 CE⊥C1M 交 C1M 于点 E,A1C1 于点 F, 则 CE 为 BE 在平面 ACC1A1 上的射影, ∴BE⊥C1M, ∴∠BEF 为二面角 B-C1M-A 的平面角, 在等腰三角形 CMC1 中,CE=C1H=
2 7
4 3 3

,∴tan∠BEC=

BC CE

?

3 2

∴ cos∠BEC=

7 .

二 面角 B ? C 1 M ? A 的 平面角 与∠ BEC 互补, 所以二 面角 B ? C 1 M ? A 的余 弦值为
? 2 7 7 --------------------12 分

法 2: (1)同上。如图所示建系, (2)可得, B ( 2, 0, 0 ), A (0, 2, 0 ), C 1 (0, 0, 2 2 ) , M (0, 2, 2 ), ,设 n ? ( x , y , z ) 是平面 BMC 的法向量,C1 点到平面 BMC 的距离 h。
?

? 可求得一个法向量为 n ? (0,1, ?
??? ?

????? 2 ) , C 1 M ? (0, 2, ?

????? ? C1M ? n 4 3 ? 2) , h ? ? 3 n

(3)可知 C B ? ( 2, 0, 0 ) 是平面 C 1 A1 M
??

的法向量,设 m ? ( x1 , y 1 , z 1 ) 是

??

平面 B M C 1 的法向量,求得一个法向量 m ? ( 2,1, 2 )
??? ?? ? CB ?m 2 7 ? 设 ? 是为二面角 B ? C 1 M ? A1 的平面角,则 c o s ? ? ??? ?? ? ,又因为二面角 7 CB ? m
2 7 7

B ? C 1 M ? A1 的平面角是钝角,所以 c o s ? ? ?



21.【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理)(本题满分 12 分) 】 如图 1,平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称, ? A ? 6 0 , ? C ? 9 0 , C D ? 2 .
3 3
? ?

把 ? A B D 沿 B D 折起(如图 2) ,使二面角 A-BD-C 的余弦值等于

.对于图 2,完成以下

各小题: (1)求 A,C 两点间的距离; (2)证明:AC⊥平面 BCD; (3)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值. 【答案】

22.【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科】(本小题满分 13 分)在如图所示的多面

体中,EF ? 平面 AEB,AE ? EB,AD//EF, EF//BC.BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G 为 BC 的中点。 (1)求证:AB//平面 DEG; (2)求证:BD ? EG; (3)求二面角 C—DF—E 的正弦值。 【答案】

23.【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】 (本小题满分 12 分)

如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB。 Ⅰ、求证:CE⊥平面 PAD; Ⅱ、若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2 ,∠CDA=45° , 求四棱锥 P-ABCD 的体积. Ⅲ、在满足(Ⅱ)的条件下求二面角 B-PC-D 的 余弦值的绝对值. 【答案】(1)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,CE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥CE, 因为 AB⊥AD,CE∥AB,所以 CE⊥AD,又 PA ? AD=A,所以 CE⊥平面 PAD…………….3 分 (2)解:由(1)可知 CE⊥AD,在直角三角形 ECD 中,DE=CD ? co s 4 5 ? ? 1 ,CE=CD ? sin 4 5 ? ? 1 . 又因为 AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形 ABCE 为矩形,所以
S ABCD ? S ABCE ? S ?BCD = A B ? A E ?
1 2 1 3 C E ? D E =1 ? 2 ? 1 2 1 3 ? ?1?1 ? 5 2 5 2 ?1 ? 5 6

,又 PA⊥平面 ……………7 分

ABCD,PA=1,所以四棱锥 P-ABCD 的体积等于 S A B C D ? P A ?

(3)建立以 A 为原点,AB,AD,AP 为 x,y,z 轴的空间坐标系,取平面 PBC 的法向量为 n1=(1,01),取平面 PCD 的法向量为 n2=(1,1,3), 所以二面角的余弦值的绝对值是
2 22 11

………………………………………………….12 分

24.【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】本小题满分 12 分)如图,直 角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直. A B ∥ C D , AB ? BC ,
AB ? 2 CD ? 2 BC , E A ? E B .
E

B C D

A

(1)求证: A B ? D E ; (2)求直线 EC 与平面 A B E 所成角的正弦值; (3)线段 EA 上是否存在点 F ,使 EC // 平面 FBD ?若存在,求出 说明理由.
EF EA

;若不存在,

【答案】解: (1)证明:取 AB 中点 O ,连结 EO , DO . 因为 EB ? EA ,所以 EO ? AB . 因为四边形 ABCD 为直角梯形, AB ? 2 CD ? 2 BC , AB ? BC , 所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB ? OD . 所以 AB ? 平面 EOD . 所以 AB ? ED . ??????4 分

(2)解法 1:因为平面 ABE ? 平面 ABCD ,且 AB ? BC 所以 BC⊥平面 ABE 则 ? CEB 即为直线 EC 与平面 A B E 所成的角 设 BC=a,则 AB=2a, BE ?
2 a ,所以 CE ?
CB CE 1 3
3 3

3a

则直角三角形 CBE 中, sin ? CEB ?

?

?

3 3

即直线 EC 与平面 A B E 所成角的正弦值为



??????8 分

解法 2:因为平面 ABE ? 平面 ABCD ,且 EO ? AB , 所以 EO ? 平面 ABCD ,所以 EO ? OD . 由 OB , OD , OE 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . 因为三角形 EAB 为等腰直角三角形,所以 OA ? OB ? OD ? OE ,设 OB ? 1 , 则 O (0, 0, 0 ), A ( ? 1, 0, 0 ), B (1, 0, 0 ), C (1,1, 0 ), D (0,1, 0 ), E (0, 0,1) . 所以 EC ? (1,1, ? 1) ,平面 A B E 的一个法向量为 O D ? (0 ,1, 0 ) . 设直线 EC 与平面 A B E 所成的角为 ? ,
???? ???? ???? ???? | EC ?OD | 3 所以 s in ? ? | c o s ? E C , O D ? | ? ???? ???? ? , 3 | E C || O D |
3 3

????

即直线 EC 与平面 A B E 所成角的正弦值为
EF EA ? 1 3 1 3 ,0 , ? 1 3



???8 分

(3)解:存在点 F ,且 证明如下:由 EF ?
1 3

时,有 EC // 平面 FBD .
) , F (? 1 3 ,0 , 2 3 ) ,所以 FB ? ( 4 3 ,0 ,? 2 3 ).

EA ? ( ?

???? ?v ? B D ? 0, ? 设平面 FBD 的法向量为 v ? ( a , b , c ) ,则有 ? ??? ? ?v ? FB ? 0. ?
? ? a ? b ? 0, ? 所以 ? 4 2 ? a ? z ? 0. 3 ?3

取 a ? 1 ,得 v ? (1,1, 2 ) .

因为 EC ? v ? (1,1, ? 1) ? (1,1, 2 ) ? 0 ,且 EC ? 平面 FBD ,所以 EC // 平面 FBD . 即点 F 满足
EF EA ? 1 3

时,有 EC // 平面 FBD .

??????12 分

2011-2012 年联考题
1、 (2012 莱芜一中模拟)设 m 、 n 是不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是不同的平面,有以下四 个命题: (1)
? // ? ?
? ? ?? m ??? m // n ? ? ? m ? ?(3) ? ? ? ? ?(4) ? ? m // ? , ? ? ? // ?(2) ? // ? ? m // ? ? m // ? ? n ???

其中正确的是 (A)(1) (2) (B)(1) (3) (C)(2) (3) (D)(2) (4)

【答案】B 【解析】根据面面平行的性质可知, (1)正确,排除 C,D,根据线面垂直的性质,可知(3) 正确,所以选 B. 2、 (2012 德州一模)对于直线 m , n 和平面 ? , ? , ? ,有如下四个命题: (1)若 m∥ ? ,m ? n,则 n ? ? (3)若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ∥ ? 其中真命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 (2)若 m ? ? ,m ? n,则 n∥ ? (4)若 m ? ? ,m∥n,n ? ? ,则 ? ? ?

3、 (2012 临沂 3 月模拟)一个三棱柱的正(主)视图和侧(左)视图分别是矩形和正三角 形,如图所示,则这个三棱柱的体积为_________;

【答案】 2 3 【解析】由正视图和侧视图可知,这是一个水平放置的一个正三棱柱,底面正三角形的高 为 3 ,则边长为 2,三棱柱的高为 2,所以三棱柱的体积为 4、 (2012 滨州二模)某几何体的三视图如图所示,且 该几何体的体积是 (A)2 (B) (C)
9 2 3 2 3 2 1 2 ? 3?2?2 ? 2 3 。

,则正视图中 x 的值是

(D)3 答案:C

6、 (2012 济南 3 月模拟)如图,正三棱柱 ABC- A1 B1C1 的各棱长均为 2,其正(主)视

图如图所示,则此三棱柱侧(左)视图的面积为 A. 2 2 【答案】D 【解析】由正视图可知,此三棱柱的侧视图为,高为 2,宽为 3 的矩形,所以面积为
2 3 ,选 D.

B. 4

C.

3

D. 2 3

7、 (2012 济南三模)一个几何体的三视图如右图所示,则这个几何体的体积等于( A. 4 B. 6 C. 8 D. 1 2

)

2 2 正视图 2 2 侧视图

俯视图

答案:A 解析:由三视图可知这是一个底面是直角梯形,高 AE ? 2 ,的四棱锥。底面是一个直角梯 形 , 上 底 CD ? 2 , 下 底 BE ? 4 , 梯 形 的 高 BC ? 2 。 所 以 四 棱 锥 的 体 积 为
1 3 ? 1 2 ( 2 ? 4 ) ? 2 ? 2 ? 4 ,选 A.

8、 (2012 临沂二模)如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积 是
1 2

,则该几何体的俯视图可以是

9、 (2012 青岛二模)设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面.有下列四个 命题: ①若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n ; ②若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? ; ③ 若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ; ④ 若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? . 其中错误命题的序号是 .. A.①③ B.①④ C.②③④ D.②③

10、 (2012 青岛二模)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这 个几何体的

A.外接球的半径为 C.表面积为 6 ? 【答案】D

3 3

B.体积为 3
1 6? 3

3 ?1

D.外接球的表面积为

【解析】
DO ?

由三视图可知,这是侧面 ACD ? ABC ,高
1 3 ? 1 2
2

3 的三棱锥, AC ? 2, OB ? 1 ,所以三棱锥的体积为

?2?

3 ?

3 3

,设外

接球的圆心为 O 半径为 x , OE ? 则

3 ? x, OE 在直角三角形 OEC 中,

? CE

2

? OE

2

,

即 ( 3 ? x ) 2 ? 1 ? x 2 ,整理得 3 ? 2 3 x ? x ? 1 ? x ,解得半径 x ?
2 2

2 3 3

,所以外接球

的表面积为 4 ? x ? 4 ? ? (
2

2 3 3

)

2

?

16 ? 3

,选 D.

11、 (2012 青岛 3 月模拟)已知某棱锥的三视图如右图所示,则该棱锥 的体积为 .

12、 (2012 日照 5 月模拟)已知正三棱柱 ABC ? A B ' C ' 的正 (主)视图和侧 (左)视图如图所示。设 ? ABC , ? A ' B ' C ' 的中心分别是
O , O ,现将此三棱柱绕直线 OO ' 旋转,在旋转过程中对
'
2 2

'

1

1
2

2

正视图

侧视图

应的俯视图的面积为 S,则 S 的最大值为 (A)4 (B)8 (C)12 (D)16 答案:B 解析: 由图可知, 正三棱柱的高为 4, 底面正三角形的边长是 2。 底面一边水平时,俯视图面积最大,此时俯视图一边长为 4, 另一边长为 2,面积为 8.选 B。

2

1

俯视图

13、 (2012 泰安一模)一个棱锥的三视图如图所示,则这个棱锥的体积为

.

14、 (2012 威海二模)如图,三棱锥 V ? A B C 底面为正三角形,侧面 V A C 与底面垂直且
V A ? V C ,已知其主视图的面积为
2 3

,则其左视图的面积为

A.

3 2

B.

3 3

C.

3 4

D.

3 6

【答案】B

【解析】

,由题意知,该三棱锥的主视图为 ? VAC ,设底面边长
1 2 ? 2 a ? h ? ah ? 2 3

为 2 a ,高 VO ? h ,则 ? VAC 的面积为
? VOB
1 2

。又三棱锥的左视图为直角

, 在 正 ? ABC
1 2

中 , 高 OB ?
3 2 3 2 2 3

3a
3 3

, 所 以 左 视 图 的 面 积 为

OB ? OV ?

?

3a ? h ?

ah ?

?

?

,选 B.

15、 (2012 烟台二模)某几何体的三视图如右图所示,已知其正视图的周长为 6,则该几何 体体积的最大值为 A.
? 2

B. ?

C.

3? 2

D.2 ?

答案:B 解析:由三视图可知,这个几何体为圆柱,设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则 h+2r=3,圆柱的体积为: V(r)=Sh= ? r2h= ? r2(3-2r)= ? (3r2-2r3) ,令 V '( r ) =0,得 r=0(舍去)或 r=1, V '( r ) = ? (6r-6r )
2

当 r ? (0,1)是, V '( r ) >0,V(r)递增,当 r ? (1,+ ? )是,V '( r ) <0,V(r)递减, r=1 是 V(r)的一个唯一的极大值点,也是最大值点,所以, r=1 时,圆柱体积的最大值为:V= ? ,选 B。

16、 (2012 滨州二模)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直 角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB= 2AD =2CD =2.E 是 PB 的中点. (I)求证:平面 EAC⊥平面 PBC; (II)若二面角 P-AC-E 的余弦值为
6 3

,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值.

17、 (2012 德州二模)如图甲,直角梯形 ABCD 中,AB//CD, ? D A B ?

?
2

,点 M、N 分

别在 AB、CD 上,且 MN⊥AB,MC⊥CB,BC=2,MB=4,现将 AMND 沿 MN 折起,使 平面 AMND 与平面 MNCB 垂直(如图乙。 ) (I)求证:DC//平面 AMB; (II)当 DN 的长为何值时,二面角 D—BC—N 的大小为 60° ? 解析 : (I)证明: 依题 意 AM//DN,BM//CN, 且 DN∩CN=N, 所以平面 CND∥平面 AMB, 又因 CD ? 平面 CDN,所以 CD∥平面 AMB。 (II)如图,以点 N 为坐标原点,以 NM,NC,ND 所在直线分别作 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标,由 MB=4,BC=2,∠MCB =90° 知∠MBC=60° , CN=4-2cos60° =3,MN= 3

建立空间直角坐标系 N 设 DN
? a

? xyz . 易得

NC=3,MN=

3

, .

,则 D (0, 0, a ), C (0, 3, 0 ), B (

3 , 4, 0 ), M ( 3 , 0, 0 ), A ( 3 , 0, a )

18、 (2012 德州一模)如图,矩形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,AD ? CD, AB∥CD,AB=AD=1. CD=2,DE=3,M 为 CE 的中点. (I)求证:BM∥平面 ADEF: (Ⅱ)求直线 DB 与平面 BEC 所成角的正弦值; (Ⅲ)求平面 BEC 与平面 DEC 所成锐二面角的余弦值.

解析:证明 : (Ⅰ)取 DE 中点 N,连结 MN,aN 在 ? EDC 中,M,N 分别为 ED, EC 的中点, 所以 MN//CD,且 MN ? 又已知 AB//CD,且 AB ?
1 2 1 2 CD ,所以 MN//AB,且 MN=AB CD

所以四边形 ABMN 为平行四边形 ,所以 BM//AN

又因为 A N ? 平面 BEC,且 B M ? 平面 BEC 所以 MM//平面 ADEF (II)解:在矩形 ADEF 中,ED⊥AD,又 因 为 平 面 ADEF⊥ 平 面 ABCD , 且 平 面 ADEF∩平面 ABCD=AD, 所以 ED⊥平面 ABCD,又 AD⊥CD, 所以,取 D 为原点,DA、DC、DE 所在直 线分别为 x,y,z 轴,建立直角坐标系,则 D(0,0,0) ,B(1,1,0) ,C(0,2,0) ,E(0,0,3)

(III)易证 DA⊥平面 DEC,取 D A =(1,0,0)为平面 DEC 的一个法向量, 设平面 BEC 与平面 DEC 所成锐二面角为 ? ,则 cos ? =
1? 1 1?1? 4 9
3 22

??? ?



22

所以,平面 BEC 与平面 DEC 所成锐二面角的余弦值为

3 22

22 。

19、 (2012 济南 3 月模拟) 如图,在直角梯形 ABCP 中, AP//BC, AP⊥AB, AB=BC=

1 2

AP=2,

D 是 AP 的中点,E,F,G 分别为 PC、PD、CB 的中点,将△PCD 沿 CD 折起,使得 PD⊥ 平面 ABCD.

(1) 求证:平面 PCD⊥平面 PAD; (2) 求二面角 G-EF-D 的大小; (3) 求三棱椎 D-PAB 的体积.

20 、 2012 济 南 三 模 ) 在 斜 三 棱 柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中 , 侧 面 ACC 1 A1 ? 面 ABC , (
AA 1 ? 2 a , A1 C ? CA ? AB ? a , AB ? AC , D 为 AA 1中点 .

(1)求证: CD ? 面 ABB 1 A1 ; (2)在侧棱 BB 1 上确定一点 E ,使得二面角 E ? A1 C 1 ? A 的大小为
?
3

.

解析: (1)证:? 面 ACC 1 A1 ? 面 ABC , AB ? AC
? AB ? 面 ACC
1

A1 ,即有 AB ? CD ;

又 AC ? A1 C , D 为 AA 1 中点,则 CD ? AA 1 ? CD ? 面 ABB 1 A1 (2)如图所示以点 C 为坐标系原点, CA 为 x 轴, CA 1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系 C ? xyz ,则有
A ( a , 0 , 0 ), B ( a , a , 0 ), A1 ( 0 , 0 , a ), B 1 ( 0 , a , a )

则 cos

?
3

?

n1 ? n 2 n1 n 2

? 1?

1 1 (1 ? ? )
2

?

1 2

,得 ? ? 1 ?

3 3

BE

所以,当
BB 1

?1?

3 3

时,二面角 E ? A1 C 1 ? A 的大小为

?
3

2010 年联考题 题组二(5 月份更新)
1. (池州市七校元旦调研)在三棱柱 点 D 是侧面 A. 3 0
?

A B C ? A1 B1 C 1 B B1C 1C
?

中,各棱长相等,侧掕垂直于底面, 所成角的大小是 ( )

B B1C 1C

的中心,则 A D 与平面 C. 6 0
?

B. 4 5

?

D. 9 0

答案 C

BB C C BB C C 解析:取 BC 的中点 E,则 A E ? 面 1 1 ,? A E ? D E ,因此 A D 与平面 1 1 所
3 2
a 2 ,即有 tan ? A D E ?

成角即为 ? A D E ,设

AE ?

a

DE ?



3 ,? ? A D E ? 6 0

0



2. (安徽六校联考)如图是一个简单的组合体的 直观图与三视图.下面是一个 棱长为 4 的正方体,正上面放
正视图 侧视图

一个球,且球的一部分嵌入正 方体中,则球的半径是( ) A.
1 2
直观图
1

B. 1

C.

3 2

D. 2
俯视图

答案 B 3.如图,动点 P 在正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 的对角线 B D 1 上.过点 P 作垂直于平面
B B 1 D 1 D 的直线,与正方体表面相交于 M , N .设 BP ? x , M N ? y ,则函数 y ? f ( x )

的图象大致是( D1 C A1 D A M B1 P N B


1

y

y

y

y

C

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

答案:B

4. (三明市三校联考) 已知某几何体的三视图如右图所 示,则该几何体的体积为 答案 2/3

5.(昆明一中三次月考理)四面体 ABCD 中,共顶点 A 的三条棱两两相互垂直,且其长分别

3 为 1、 6 、 ,若四面体的四个顶点同在一个球面上,则这个球的表面积为



答案: 1 6 ?

6. (池州市七校元旦调研)若某几何体的三视图(单位: c m )如图 所示,则此几何体的体积是 答案 18 【解析】该几何体是由二个长方体组成,下面体积为 1 ? 3 ? 3 ? 9 ,上 面的长方体体积为 3 ? 3 ? 1 ? 9 ,因此其几何体的体积为 18
cm .
3

7.(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)一个几何体的三 视图如图所示:其中,主视图中大三角形的边长是 2 的正三角形,俯视图为正六边形,那 么该几何体几的体积为 . 答案
3 2

俯视图

主视图

左视图

8. (安庆市四校元旦联考) (本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,ABCD 是矩 形, PA ? 平面 ABCD ,
P

PA ? AD ? 1, AB ?

3 ,点 F 是 PD 的中点,点 E 在 CD 上移动。
F

⑴求三棱锥 E ? PAB 体积; ⑵当点 E 为 CD 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的关系,并说明理由;
A

⑶求证: PE ? AF 。 解: (1)? PA ? 平面 ABCD ,
1 3 1 3 1 2 3 6
E B

D

C

? V E ? PAB ? V P ? ABE ?

S ? ABE ? PA ?

?

?1?

3 ?1 ?

(2)当点 E 为 BC 的中点时, EF || 平面 PAC 。 理由如下:? 点 E , F 分别为 CD 、PD 的中点,? EF || PC 。
? PC ? 平面 PAC , EF ? 平面 PAC ? EF || 平面 PAC

(3)? PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD
? ABCD 是矩矩形

? CD ? PA

,? CD ? AD

? PA ? AD ? A ,? CD ? 平面 PAD
? AF ? 平面 PAD
? AF ? DC

? PA ? AD ,点 F 是 PD 的中点

? AF ? PD

又 CD ? PD ? D
? PE ? 平面 PDC ,

? AF ? 平面 PDC

? PE ? AF

9. (哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)如图,在三棱柱 A B C ? A1 B1 C 1 中, 已知 B C ? 1, B B1 ? 2, ? B C C 1 ?
?
3
学,,, 网, ,,

AB ?

侧面 B B1 C 1 C ,

A

A1

(1)求直线 C1B 与底面 ABC 所成角正切值; (2)在棱 C C 1 (不包含端点 C , C 1 ) 上确定一点 E 的位置, 使得 E A ? E B1 (要求说明理由). (3)在(2)的条件下,若 A B ? 小. 解: (1)在直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, C 1 C ? 平 面 A B C ? C 1 B 在平面 A B C 上的射影 为CB .
? ? C 1 B C 为直线 C 1 B 与底面 A B C 所成角.
? C C 1 ? B B1 ? 2, B C ? 1 ,? tan ? C 1 B C ? 2
2
B B1

,求二面角 A ? E B1 ? A1 的大

C

E

C1

???? 2 ?

即直线 C 1 B 与底面 A B C 所成角正切值为 2. ( 2 ) 当 E 为 中 点 时 , E A ? E B1 .
?

???? 4 ?
? C E ? E C 1 ? 1, B C ? B1C 1 ? 1

? ? B E C ? ? B1 E C 1 ? 4 5
?

? ? B E B1 ? 9 0 ,即 B1 E ? B E

???? 6 ?

又? A B ? 平 面 B B1C 1C ,? E B1 ? 平 面 B B1C 1C ? A B ? E B1
? BE ? AB ? B

? E B1 ? 平 面 A B E



EA ? 平面 ABE



E A ? E B1

???? 8 ?

( 3 ) 取 E B 1 的 中 点 G , A1 E 的 中 点 F , 则 F G ∥ A1 B 1 , 且 F G ?

1 2

A1 B 1 ,

A
? A1 B1 ? E B1 ? F G ? E B1

A1 O

连结 A1 B , A B1 ,设 A1 B ? A B1 ? O ,连结 O F , O G , F G , 则 O G ∥ A E ,且 O G ?
1 2

B
A E ? A E ? E B1 ? O G ? E B1

F G

B1 C1

? ? O G F 为二面角 A ? E B 1 ? A1 的平面角.

???? 1 0 ?
1 2 2 2

C

E

? OG ?

1 2

A E ? 1, F G ?

1 2

A1 B 1 ?

2 2

, OF ?

BE ?

, ? ? O G F ? 45 ???? 1 2 ?

?

∴二面角 A ? E B1 ? A1 的大小为 45°

题组一(1 月份更新)
一、选择题 1.(2009 滨州一模)设 ? 、 ? 是两个不同的平面, l、 m 为两条不同的直线,命题 p:若 平面 ? // ? ,l ? ? ,m ? ? , l // m ; 则 命题 q:l // ? ,m ? l ,m ? ? , ? ? ? , 则 则下列命题为真命题的是 A.p 或 q C.┐p 或 q 答案 C 2. (2009 玉溪市民族中学第四次月考) 若球 O 的半径为 1, 点 A、 C 在球面上, B、 它们任意两点的球面距离都等于 则过 A、B、C 的小圆面积与球表面积之比为 (
?
2 ,





B.p 且 q D.p 且┐q



A. C. 答案 C

1 12 1 6

B.

1 8 1 4

D.

3. ( 2009 聊 城 一 模 ) 某 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 几 何 体 的 体 积 是 ( A. 2 3
3 3 4

) B. 3
3 3 2

C. 答案 B

D.

4.(2009 临沂一模)一个几何体的三视图及长度数据如图, 则该几何体的表 面积与体积分别为 A、 7 ? 答案 C 5.(2009 青岛一模)如右图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为
2 的正三角形,其俯视图轮廓为正方形,则其体积是
2,3

B、 8 ?

2,3

C、 7 ?

2,

3 2

D、 8 ?

2,

3 2

A.

3 6

B.

4 2 3

C.

4 3 3

D. 8

3

主视图

左视图

答案 C 6.(2009 上海闸北区)右图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得该几何体的表面积是??????????????? ( ) B. 1 1π D. 13 ? 2 3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
俯视图

A. 1 0 π C. 1 2 π 答案 C

7.(2009 泰安一模)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的 体积等于 (A) 4 (B) 6

(C) 8 答案 A

(D)12

8.(2009 枣庄一模)一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为 ( A. 3? C. 答案 C
16 ? 3

) B. 2 ? D.以上都不对

9.(2009 番禺一模)一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图中△ABC 是边长为 2 的 正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为( ) .

A.12
3 2

B.

2 3

C. 答案 C

D.6

二、填空题 1.(2009 上海八校联考)已知一个球的球心 O 到过球面上 A、B、C 三点的截面的距离等于 此球半径的一半,若 A B ? B C ? C A ? 3 ,则球的体积为________________。 答案
32 3

?
2

2.(2009 上海青浦区)如图,用一平面去截球所得截面的面积为 2 ? cm ,已知
理第 11 题

球心到该截面的距离为 1 cm,则该球的体积是 答案 4 3? 三、解答题

cm .

3

1. ( 2009 上 海 普 陀 区 ) 已 知 复 数 z 1 ? co s x ? i ,
z 2 ? 1 ? sin x ? i ( i 是虚数单位) ,且 z1 ? z 2 ?

A

5 .当实数

x ? ? ? 2 ? , 2?

? 时,试用列举法表示满足条件的 x 的取值集
O 第 19 题图 B

合P . 解:如图,设 B C 中点为 D ,联结 A D 、 O D .
O 由题意, B ? O C ? 2 , ? B O C ? 6 0 ? ,所以 △ O B C 为

C

等边三角形, 故 B C ? 2 ,且 O D ? 又 S △ ABC ? 所以 A O ?
1 2

3.

BC ? AD ? 3 ? AD ? 3 ,

A

AD ? OD
2

2

?

6 .
2

而圆锥体的底面圆面积为 S ? ? ? O C ? 4 ? ,
1 3 4 6 3
第 19 题图 B O D

所以圆锥体体积 V ?

? S △ ABC ? A O ?

? .

C

2.(2009 上海奉贤区模拟考)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC=90°, AB=BC=1. (1)求异面直线 B1C1 与 AC 所成角的大小; (2)若直线 A1C 与平面 ABC 所成角为 45°, 求三棱锥 A1-ABC 的体积.

( 1 ) 因 为 B C ? B 1 C 1 , 所 以 ∠ BCA ( 或 其 补 角 ) 即 为 异 面 直 线 B 1 C 1 与 A C 所 成 角 -------(3 分) ∠ABC=90°, AB=BC=1,所以 ? B C A ? 即异面直线 B 1 C 1 与 A C 所成角大小为
?
4

, 。

-------(2 分) -------(1 分)

?
4

(2)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, A1 A ? 平 面 A B C ,所以 ? A1 C A 即为直线 A1C 与平面 ABC 所

成角,所以 ? A1 C A ?

?
4



-------(2 分)
2 ,R t ? A A1 C 中, 得到 A A1 ? A C ?
2 ,

R t ? A B C 中, AB=BC=1 得到 A C ?

------(2

分) 所以 V A
? 1 3 S ? A B C A A1 ? 2 6

1

? ABC

-------(2 分)

3.(2009 冠龙高级中学 3 月月考)在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中, (如图)
E 是棱 C 1 D 1 的中点, F 是侧面 AA 1 D 1 D 的中心.

D1 A1 F D

E B1

C1

(1) 求三棱锥 A1 ? D 1 EF 的体积; 求 EF 与底面 A1 B 1 C 1 D 1 所成的角的大小. (结果用反三角 函数表示) (1) V A
? D 1 EF

C B

1

? V E ? A1 D 1 F ?

1 3

?1 ?1 ?

1 3



A

(2)取 A1 D 1 的中点 G ,所求的角的大小等于 ? GEF 的大小,
D1 C1 B1 E

Rt ? GEF 中 tan ? GEF ?

2 2

,所以 EF 与底面 A1 B 1 C 1 D 1 所成的角的大
A1

小是 arctan

2 2


A

D

C B

4. (2009 闸北区) 如图,在四棱锥 O ? A B C D 中,底面 A B C D 是边长 为 2 的正方形, O A ? 底 面 A B C D , O A ? 2 , M 为 O A 的中点. (Ⅰ)求四棱锥 O ? A B C D 的体积; (Ⅱ)求异面直线 OB 与 MD 所成角的大小.
M O

A B C

D

解: (Ⅰ)由已知可求得,正方形 ABCD 的面积 S ? 4 ,???????????2 分

所以,求棱锥 O ? ABCD 的体积 V ? 分 (Ⅱ)方法一(综合法) 设线段 AC 的中点为 E ,连接 ME ,

1 3

?4?2 ?

8 3

???????????????4

则 ? EMD 为异面直线 OC 与 M D 所成的角(或其补角) ????????????..1 分 由已知,可得 DE ?
? ( 2) ? ( 3)
2 2

2 , EM ?
2

3 , MD ?

5 ,

? ( 5)

? ? DEM 为直角三角形

???????????????????????.2 分
2 3

? tan ? EMD ?

DE EM

?

, ???????????????????????.4 分

? ? EMD ? arctan

3 2 3



所以,异面直线 OC 与 MD 所成角的大小 arctan 方法二(向量法)

3 2 3



???????..1 分

以 AB,AD,AO 所在直线为 x , y , z 轴建立坐标系, 则 O ( 0 , 0 , 2 ), C ( 2 , 2 , 0 ), M ( 0 , 0 ,1), D ( 0 , 2 , 0 ) , ??????????????????2 分
OC ? ( 2 , 2 , ? 2 )



MD ? ( 0 , 2 , ? 1) , ????????????????????????????..2 分

设异面直线 OC 与 MD 所成角为 ? ,
cos ? ? | OC ? MD | | OC | ? | MD | ? 15 5
15 5

.??????????????3 分

∴ OC 与 MD 所成角的大小为 arccos

.?????????????????1 分

5、 (2009 东莞一模)如图,在长方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1中 , AD ? AA 1 ? 1, AB ? 1 ,点 E 在棱 AB 上移动,小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1,所爬的最短路程为 2 2 .

(1)求证:D1E⊥A1D; (2)求 AB 的长度; (3)在线段 AB 上是否存在点 E,使得二面角
D 1 ? EC ? D 的大小为

?
4

。若存在,确定

点 E 的位置;若不存在,请说明理由.

解一: (1)证明:连结 AD1,由长方体的性质可知: AE⊥平面 AD1,∴AD1 是 ED1 在 平面 AD1 内的射影。又∵AD=AA1=1, ∴AD1⊥A1D ∴D1E⊥A1D1(三垂线定理) 4分

(2)设 AB=x,∵四边形 ADD1A 是正方形, ∴小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到 点 C1 可能有两种途径,如图甲的最短路程为
| AC |? x
2

1

? 4

如图乙的最短路程为
| AC
1

?

( x ? 1) ? 1 ?
2

x

2

? 2x ? 2

? x ?1

? x

2

? 2x ? 2 ? x
2

2

?2?2 ? x

2

?4

?

x

? 4 ? 2

2? x ? 2

??????9 分

(3)假设存在,平面 DEC 的法向量 n 1 ? ( 0 , 0 ,1) , D 1 C ? ( 0 , 2 , ? 1)
n 2 ? ( x, y, z )
?z ? 2 y ,则 ? x ? ( 2 ? a ) y ?

设平面 D1EC 的法向量

? n 2 ? ( 2 ? a ,1, 2 ) ???????12 分

由题意得: cos ? n 1 , n 2 ?? 解得: a ? 2 ?
3或 a ? 2 ?

2 (2 ? a ) ? 1 ? 2
2 2 2

?

2 2

3

(舍去)

即当点 E 离 B 为

3时 , 二面角 D 1 ? ED ? D 的大小为

?
4

. ???14 分

2009 年联考题
一、选择题 1.(2009 枣庄市二模)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于( )

A. C.

1 6
2 3

a
a

3

B. D.

1 2
5 6

a
a

3

3

3

答案 D

2.(2009 天津重点学校二模) 如图,直三棱柱的主视图面积为 2a ,则左视图的面积为 ( ) A.2a
2

2

B.a
2

2

a

a a

C. 3 a 答案

D.

3 4

a

2

C

3. (2009 青岛二模)如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图, 则组成此几何体的长方体木块块数共有( )

A.3 块 答案 B

B.4 块

C.5 块

D.6 块

4. (2009 台州二模)如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 角为 6 0 ? 的菱形, 俯视图为正方形, 那么这个几何体的表面积为 ( A. 2 3 C . 4 答案 C B. 4 3 D. 8 )

3 2

,且一个内

正视图

侧视图

5. (2009 宁德二模)右图是一个多面体的三视图,则其全面积为 ( ) A. 3 B.
3 2 ?6

俯视图

C. 3 ? 6 答案 C

D. 3 ? 4 r

6. (2009 天津河西区二模)如图所示,一个空间几何体的正 视图和侧视图都是底为 1,高为 2 的矩形,俯视图是一个圆, 那么这个几何体的表面积为( A.Z 2 ? C. 4 ? 答案 B 7. (2009 湛江一模)用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如右 图所示,则它的体积的最小值与最大值分别为( A. 9 与 1 3 C. 1 0 与 1 6 答案 C B. 7 与 1 0 D. 1 0 与 1 5
主视图 俯视图

) B.
5? 2

D. 5 ?

)

8. (2009 厦门大同中学)如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何 体的表面积是( )

2 1 2 主视图 2 俯视图 左视图

A. ( 2 0 ? 4 2 )cm C. ( 2 4 ? 4 2 )cm 答案 A

2

B.21 cm D. 24 cm

2

9.(抚州一中 2009 届高三第四次同步考试)下图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得几何体的表面积是( )

2 3

俯视图

2 主视图

2 左视图

A.22 ? 答案 D 二、填空题

B.12 ?

C.4 ? +24

D.4 ? +32

10.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 .

答案

2

11.(2009 南京一模)如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中,D 为棱 AA 1 的中点,若截面
A1 C1

? BC 1 D 是面积为 6 的直角三角形,则此三棱柱的体积为

.
D

B1

答案

8 3

A

C B 第(11)题

12.(2009 广州一模)一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm) 如图所示,则该几何体的侧面积为_______cm . 5
2

5

5

5

8 正(主)视图

8 侧(左)视图

8 俯视图

答案 80 13.(2009 珠海二模)一个五面体的三视图如下,正视图与侧视图是等腰直角三角形,俯视 图为直角梯形,部分边长如图所示,则此五面体的体积为___________.

答案 2


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