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古典概型经典习题答案


古典概型
1.在三棱锥的六条棱中任意选择两条,则这两条棱是一对异面直线的概率为( C ) 1 A. 20 1 B. 15 1 C. 5 1 D. 6

2 .一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏,让孩子把分别写有“One”,“World”,“One”, “Dream”的四张卡片随机排成一行,若卡片按从左到右的顺序排成“One World One Drea

m”, 则孩子会得到父母的奖励,那么孩子受到奖励的概率为( A ) 1 A. 12 5 B. 12 7 C. 12 5 D. 6

3. 4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字 之和为奇数的概率为( C ) 1 A. 3 1 B. 2 2 C. 3 3 D. 4

4.一个袋子中有 5 个大小相同的球,其中有 3 个黑球与 2 个红球,如果从中任取两个球,则恰好取 到两个同色球的概率是( C ) 1 A. 5 3 B. 10 2 C. 5 1 D. 2

19 5 将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b、c 则方程 x2+bx+c=0 有实根的概率为___ 36 _________. 6 若以连续掷两颗骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标,则点 P 落在圆 x2+y2=16 内的概率 2 是___ _____. 9 7 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的 1 点数分别为 x、y,则满足 log2xy=1 的概率为__ ______. 12 8 有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具,每个玩具的各面上分别写有数字 1、2、3、4,把两 1 个玩具各抛掷一次,斜向上的面写有的数字之和能被 5 整除的概率为___ _____. 4 9.从一副扑克牌(54 张)中抽一张牌,抽到牌“K”的概率是 答案: 。

4 2 ? 54 27


10.将一枚硬币抛两次,恰好出现一次正面的概率是

2 1 答案: ? 4 2
11.从标有 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的 9 张纸片中任取 2 张,那么这 2 张纸片数字之积为偶数的概率 为 。

5? 4 ?
答案:

4?3 2 ? 13 9?8 18 2
; 。

12.同时掷两枚骰子,所得点数之和为 5 的概率为 点数之和大于 9 的概率为 答案:

6 1 4 1 ? ? ; 36 9 36 6

13.一 个口袋里装有 2 个白球和 2 个 黑球,这 4 个球除颜色外完全相同,从中摸出 2 个球,则 1 个是

白球,1 个是黑球的概率是 答案:



4 2 ? 6 3


14.先后抛 3 枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率为 答案:

7 8
6 2 ? 27 9

15.一个正方体,它的表面涂满了红色,在它 的每个面上切两刀,可得 27 个小正方体,从中任取 一 个它恰有一个面涂 有红色的概率是 。 答案:

16.从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任取两个,则这 两个数正好相差 1 的概率是________。 答案:

4 2 ? 10 5

17.口袋里装有两个白球和两个黑球,这四个球除颜色外完全相同,四个人按顺序依次从中摸出一 球,试求“第二个人摸到白球”的概率。 答案:把四人依次 编号为甲、乙、丙、丁,把两白球编上序号 1、2,把两黑球也编上序号 1、 2,于是四个人按顺序依次从袋内摸出一个球的所有可能结果,可用树形图直观地表示出来如下: 白2 白1 黑1 黑2 甲 乙 白1 黑1 白2 黑2 黑1 黑2 白2 黑2 白2 黑1 丙 白2 黑2 白1 黑2 白2 白1 黑2 黑1 黑2 白2 黑1 白2 丁 黑2 白2 黑2 白1 白1 白2 白1 白2 黑1 黑2 甲 乙 白1 黑2 白2 黑1 黑1 黑2 白1 黑2 白1 黑1 丙 黑1 白2 白1 黑1 白2 白1 黑2 黑1 黑2 白1 黑1 白1 丁 白2 黑1 黑1 白1 白1 白2

甲 甲 乙 丙 乙 丙 丁 丁 从上面的树形图可以看出,试验的所有可能结果数为 24,第二人摸到白球的结果有 12 种,记“第 二个人摸到白球”为事件 A,则 P ( A) ?

12 1 ? 。 24 2

18.袋中有红、白色球各一个,每次任取一个,有放回地抽三次,写出所有的基本事件,并计算下 列事件的概率: (1)三次颜色恰有两次同色; (2)三次 颜色全相同; (3)三次抽取的球中红色球出现的次数多于白色球出现的次数。 答案: (红红红) (红红白) (红白红) (白红红) (红白白) (白红白) (白白红) (白白白)

1 1 (3) 4 2 19.已知集合 A ? {0,1, 2,3, 4} , a ? A, b ? A ;
(1) (2) (1)求 y ? ax ? bx ? 1为一次函数的概率; (2)求 y ? ax ? bx ? 1为二 次函数的概率。
2 2

3 4

答案: (1)

4 25

(2)

4 5

21.设有一批产品共 100 件,现从中依次随机取 2 件进行检验,得出这两件产品均为次品的概率不 超过 1%,问这批产品中次品最多有多少件? 答案:10 件

22.为积极配合深圳 2011 年第 26 届世界大运会志愿者招募工作,某大学数学学院拟成立由 4 名同学

组成的志愿者招募宣传队,经过初步选定,2 名男同学,4 名女同学共 6 名同学成为候选人,每位候 选人当选宣传队队员的机会是相同的. (1)求当选的 4 名同学中恰有 1 名男同学的概率; (2)求当选的 4 名同学中至少有 3 名女同学的概率. 解答: (1)将 2 名男同学和 4 名女同学分别编号为 1,2,3,4,5,6(其中 1,2 是男同学, 3,4,5,6 是女同学), 该学院 6 名同学中有 4 名当选的情况有(1,2,3,4), (1,2,3,5), (1,2,3,6), (1,2,4,5), (1,2,4,6), (1,2,5,6), (1,3,4,5), (1,3,4,6) , (1,3,5,6) , (1,4,5,6) , (2,3,4,5), (2,3,4,6) , (2,3,5,6) , (2,4,5,6) , (3,4,5,6) ,共 15 种, 当选的 4 名同学中恰有 1 名男同学的情况有(1,3,4,5), (1,3,4,6), (1,3,5,6), (1,4,5,6), (2,3,4,5), (2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6),共 8 种, 故当选的 4 名同学中恰有 1 名男同学的概率为 P(A)= 8 . 15

(2)当选的 4 名同学中至少有 3 名女同学包括 3 名女同学当选(恰有 1 名男同学当选),4 名女同学当 1 选这两种情况,而 4 名女同学当选的情况只有(3,4,5,6),则其概率为 P(B)= , 15 又当选的 4 名同学中恰有 1 名男同学的概率为 P(A)= 8 1 3 学的概率为 P= + = . 15 15 5 23.已知三个正数 a, b, c 满足 a ? b ? c . 若 a, b, c 是从 ? 8 ,故当选的 4 名同学中至少有 3 名女同 15

9? ?1 2 , , ??? ? 中任取的三个数,求 a, b, c 能构成三角形三边长的概率; ?10 10 10 ? 4 解:(1)若 a, b, c 能构成三角形,则 a ? b ? c, c ? . 10 4 3 2 , a ? .共 1 种; ①若 c ? 时, b ? 10 10 10 5 4 3 2 , a ? , .共 2 种; ②若 c ? 时。 b ? 10 10 10 10 6 同理 c ? 时,有 3+1=4 种; 10 7 c ? 时,有 4+2=6 种; 10 8 c ? 时,有 5+3+1=9 种; 10 9 c ? 时,有 6+4+2=12 种. 10
于是共有 1+2+4+6+9+12=34 种. 下面求从 ?

9? ?1 2 , , ??? ? 中任取的三个数 a, b, c ( a ? b ? c )的种数: ?10 10 10 ? 1 2 3 9 3 4 9 4 , ???, ,有 7 种; b ? , c ? , ???, ,有 6 种; b ? , ①若 a ? ,b ? ,则 c ? 10 10 10 10 10 10 10 10 5 9 8 9 c ? , ???, ,有 5 种;??; b ? , c ? ,有 1 种. 10 10 10 10
故共有 7+6+5+4+3+2+1=28 种. 同理, a ?

2 3 时,有 6+5+4+3+2+1=21 种; a ? 时,有 10 10

5+4+3+2+1=15 种; a ? 2+1=3 种; a ?

4 5 6 时,有 4+3+2+1=10 种; a ? 时,有 3+2+1=6 种; a ? 时,有 10 10 10

7 时,有 1 种. 这时共有 28+21+15+10+6+3+1=84 种. 10 34 17 ? ∴ a, b, c 能构成三角形的概率为 . 48 24 x ( x ? 1), 若a 是从 1,2,3 三个数中任取一个数,b 是从 2,3,4,5 四 24..设函数 f ( x) ? ax ? x ?1 个数中任取一个数,求 f ( x) ? b 恒成立的概率。 解: x ? 1, a ? 0, x ?1?1 f ( x) ? ax ? x ?1 1 ? ax ? ? 1 ??????????2 分 x ?1 1 ? a( x ? 1) ? ?1? a x ?1 ? 2 a ? 1 ? a ? ( a ? 1) 2 , ??????????4 分

? f ( x) min ? ( a ? 1) 2 ,
于是 f ( x) ? b恒成立就转化为 ( a ? 1) 2 ? b 成立。????????6 分 设事件 A: “ f ( x) ? b 恒成立” ,则 基本事件总数为 12 个,即 (1,2) , (1,3) , (1,3) , (1,5) ; (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) ; (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) ;??????????8 分 事件 A 包含事件: (1,2) , (1,3) ; (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) ; (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5)共 10 个????????10 分 由古典概型得 P ( A) ?

10 5 ? . ????????12 分 12 6


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