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2013版高中全程复习方略课件:6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(人教A版·数学理)


第三节 二元一次不等式(组)与简 单的线性规划问题

三年19考

高考指数:★★★★

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组; 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一 次不等式组; 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能 加以解决.

1.以考查线性目标函

数的最值为重点,兼顾考查代数式的几何 意义(如斜率、距离、面积等); 2.多在选择题、填空题中出现,有时也会在解答题中出现,常 与实际问题相联系,列出线性约束条件,求出最优解.

1.二元一次不等式(组)的解集 有序数对 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的_________ 有序 ______,叫做二元一次不等式(组)的解,所有这样的_____ (x,y) 数对(x,y) _____________构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.

【即时应用】 (1)思考:二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内 的点有何关系? 提示:二元一次不等式(组)的解集可以看成平面直角坐标系 内的点构成的集合,所有以不等式(组)的解为坐标的点都在平 面直角坐标系内,就构成了一个平面区域.

(2)设点P(x,y),其中x,y∈N,满足x+y≤3的点P的个数 为 .

【解析】当x=0时,y可取0,1,2,3,有4个点; 当x=1时,y可取0,1,2,有3个点; 当x=2时,y可取0,1,有2个点;

当x=3时,y可取0,有1个点,故共有10个点.
答案:10

2.二元一次不等式(组)表示的平面区域

(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面
区域 不等式 Ax+By+C>0 Ax+By+C≥0 不等式组 表示区域 直线Ax+By+C=0某一侧的所 有点组成的平面区域 边界直线 不包括_________ 边界直线 包括_________

公共部分 各个不等式所表示平面区域的_________

(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定 二元一次不等式所表示的平面区域的确定,一般是取不在直线 上的点(x0,y0)作为测试点来进行判定,满足不等式的,则平 面区域在测试点位于直线的一侧,反之在直线的另一侧.

【即时应用】

(1)如图所表示的平面区域(阴影部分)用不等式表示
为 .

(2)以下各点①(0,0);②(-1,1);③(-1,3);④(2,-3);

⑤(2,2)在x+y-1≤0所表示的平面区域内的是

.

(3)如果点(1,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0 之间,则b应取的整数值为 .

【解析】(1)由图可知边界直线过(-1,0)和(0,2)点,故 直线方程为2x-y+2=0. 又(0,0)在区域内,故区域应用不等式表示为2x-y+2≥0.

(2)将各点代入不等式可知(0,0),(-1,1),(2,-3)满足
不等式,故①②④在平面区域内.

(3)令x=1,代入6x-8y+1=0,解得 y= 7
8

代入3x-4y+5=0,解得y=2. 由题意得
7 <b<2,又b为整数,∴b=1. 8

答案:(1)2x-y+2≥0

(2)①②④

(3)1

3.线性规划的有关概念 名称 约束条件 线性约束 条件 意义 不等式(组) 由变量x,y组成的 ____________

不等式(组) 由x,y的一次不等式(或方程)组成的____________ 关于x,y的函数 解析式 ,如z=x+2y
关于x,y的 一次 解析式
(x,y) 满足线性约束条件的解______ 所有 可行解 组成的集合

目标函数
线性目标 函数 可行解 可行域

最优解
线性规划 问题

使目标函数取得 最大值或最小值 的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值 或 最小值问题

【即时应用】 (1)思考:可行解和最优解有何关系?最优解是否唯一? 提示:最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解,最优 解不一定唯一,有时只有一个,有时有多个.

?x ? 1 (2)已知变量x,y满足条件 ? y ? 2 , 则z=x+y的最小值为 ? ? x-y ? 0 ?

,

最大值为

.

?x ? 1 【解析】不等式组 ? y ? 2 ? ? x-y ? 0 ?

所表示的平面区域如图所示, 作出直线x+y=0,可观察知当直线过A点时z最小. 由? ?
x=1 ? x-y=0

得A(1,1),

此时zmin=1+1=2;
当直线过B点时z最大.
? y=2 由? 得B(2,2),此时zmax=2+2=4. ? x-y=0

答案:2

4

?y ? 1 (3)若变量x,y满足约束条件 ? x+y ? 0 , 则z=x-2y的最大值 ? ? x-y-2 ? 0 ?



.

【解析】不等式组
?y ? 1 ? ? x+y ? 0 所表示的平面区域如图所示. ? x-y-2 ? 0 ?

作出直线x-2y=0,可观察出当直线过A点时z取得最大值.
x=1 ? x+y=0 由? 得? , ? ? x-y-2=0 ? y=-1

此时zmax=1+2=3. 答案:3

二元一次不等式(组)表示的平面区域

【方法点睛】
1.二元一次不等式表示的平面区域的画法 在平面直角坐标系中,设有直线Ax+By+C=0(B不为0)及点 P(x0,y0),则 (1)若B>0,Ax0+By0+C>0,则点P在直线的上方,此时不等式 Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0的上方的区域.

(2)若B>0,Ax0+By0+C<0,则点P在直线的下方,此时不等式
Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0的下方的区域. (注:若 B为负,则可先将其变为正) (3)若是二元一次不等式组,则其平面区域是所有平面区域的公 共部分.

2.求平面区域的面积
求平面区域的面积,要先画出不等式组表示的平面区域,然后根 据区域的形状求面积. 提醒:在画平面区域时,当不等式中有等号时画实线,无等号时 画虚线.

? x-y+5 ? 0 【例1】已知不等式组 ? x+y ? 0 ? ?x ? 3 ?

(1)画出该不等式组所表示的平面区域; (2)设该平面区域为S,求当a从-3到6连续变化时,x-y=a扫过S 中的那部分区域的面积. 【解题指南】(1)先画出各个不等式对应的直线(画成实 线),再通过测试点确定区域. (2)通过直线变动确定扫过的图形形状再求面积.

【规范解答】(1)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上的点及右
下方的点的集合,x+y≥0表示直线x+y=0上的点及右上方的点的 集合,x≤3表示直线x=3上及其左方的点的集合.不等式组表示 的平面区域即为图示的三角形区域. y
A(3,8) x +y=0 B( ? 5 , 5 2 2 ) -5 x -y+5=0 x=3 O 3 C(3,-3)

x

(2)由题意可知x-y=a扫过S的部分区域如图所示:
y
x+y=0 x=3
D(3,6)

E(? 2 , 2 )

3 3

o
x-y=-3
C(3,-3)

x

∴DC=9,△CDE的边CD上的高为 3+ 3 = 9 ,
2 2

∴所求区域的面积 = 1 ? 9 ? 9 = 81 .
2 2 4

【反思·感悟】1.作平面区域时要“直线定界,测试点定域”, 当不等式无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线,若 直线不过原点,测试点常选取原点. 2.求平面区域的面积,要先确定区域,若是规则图形可直接求, 若不规则可通过分割求解.

简单的线性规划问题 【方法点睛】 1.利用线性规划求目标函数最值的步骤 (1)画出约束条件对应的可行域; (2)将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最 优解对应的点; (3)将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值.

2.目标函数最值问题分析 (1)线性目标函数的最值一般在可行域的顶点处或边界上取得,

特别地对最优整数解可视情况而定.
(2)目标函数通常具有相应的几何意义,如截距、斜率、距离

等.

? x+y-3 ? 0 【例2】已知实数x,y满足 ? x-y+1 ? 0. ? ?x ? 2 ?

(1)若z=x-2y,求z的最大值和最小值; (2)若z=x2+y2,求z的最大值和最小值; (3)若 z= y , 求z的最大值和最小值.
x

【解题指南】(1)作出可行域与直线x-2y=0,观察确定最优解; (2)由几何意义可确定z=x2+y2为可行域内的点到原点的距离的

平方,以此求解;
(3)由几何意义可知所求为可行域内的点与原点连线的斜率的 最值,以此求解.

【规范解答】不等式组
? x+y-3 ? 0 ? 表示的平面区域 ? x-y+1 ? 0 ?x ? 2 ?

y
3 A x-y+1=0 l x-2y=0 M

如图所示,图中的阴影部分即 为可行域.
? x+y-3=0 由 ? x-y+1=0 , 得A(1,2); ? ? x+y-3=0 , 得B(2,1); ? x=2 x-y+1=0 由? , 得M(2,3). ? ? x=2

N
B

o

2 x=2 x+y-3=0

x

由?

1 1 2 2 1 1 由图可知,当直线 y= x- z 经过点B(2,1)时,z取得最大值,经 2 2

(1)由z=x-2y得 y= x- z,

过点M(2,3)时,z取得最小值.
∴zmax=2-2×1=0,zmin=2-2×3=-4.

(2)过原点(0,0)作直线l垂直于直线x+y-3=0,垂足为N,则直 线l的方程为y=x,

由?

? x+y-3=0 3 3 3 3 , 得 N( , ), 点 N( , ) 在线段AB上,也在可行域内. 2 2 2 2 ? y=x

观察图可知,可行域内点M到原点的距离最大,点N到原点的距离 最小. 又|OM|= 13, |ON|= 9 ,
2

即 9 ? x 2 +y 2 ? 13,
2

∴ 9 ? x 2 +y 2 ? 13. ∴z的最大值为13,最小值为 9 .
2

2

(3)由图可得,原点与可行域内的点A的连线的斜率值最大,与
点B的连线的斜率值最小,

又kOA=2,kOB= 1 ,
2

∴ 1 ? y ? 2.
2 x

∴z的最大值为2,最小值为 .

1 2

【反思·感悟】1.求目标函数的最值,关键是确定可行域,将 目标函数对应的直线平行移动,最先通过或最后通过的点便是

最优解.
2.对于目标函数具有明确的几何意义时,其关键是确定其几何意 义是什么,如本例(2)中是与原点距离的平方而非距离,忽视 这一点则极易错解.

线性规划的实际应用 【方法点睛】 1.线性规划的实际应用问题的解法 线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之 间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目 标函数,转化为简单的线性规划问题.

2.求解步骤 (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表

示的平行直线系中过原点的那一条直线l;
(2)平移——将l平行移动,以确定最优解的对应点A的位置;

(3)求值——解方程组求出A点的坐标(即最优解),代入目标
函数,即可求出最值.

【例3】某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位 的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的 维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的 蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中 至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的 维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满
足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少

个单位的午餐和晚餐?

【解题指南】设出午餐和晚餐的单位个数,列出不等式组和费

用关系式,利用线性规划求解.
【规范解答】方法一:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别

为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,
则依题意得z=2.5x+4y,且x,y满足
? x ? 0,x ? N ? x ? 0,x ? N ? y ? 0,y ? N ? y ? 0,y ? N ? ? ? ? ?12x+8y ? 64 , 即 ?3x+2y ? 16 . ?6x+6y ? 42 ? x+y ? 7 ? ? ?6x+10y ? 54 ?3x+5y ? 27 ? ?

作出线性约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分的整数点,

y
10 9 8 D 7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 A 7 8 9 10 x x+y=7 3x+5y=27 B C

3x+2y=16 2.5x+4y=0

让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移,由此可知 z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值. 因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满 足要求.

方法二:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y
个单位,所花的费用为z元, 则依题意得z=2.5x+4y,
? x ? 0,x ? N ? x ? 0,x ? N ? y ? 0,y ? N ? y ? 0,y ? N ? ? ? 且x,y满足 ?12x+8y ? 64 , 即 ?3x+2y ? 16 . ? ?6x+6y ? 42 ? x+y ? 7 ? ? ?6x+10y ? 54 ?3x+5y ? 27 ? ?

作出线性约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分的整数点,

z在可行域的四个顶点A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的值分
别是zA=2.5×9+4×0=22.5,
y
10 9 8 D 7 6 C B 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6

zB=2.5×4+4×3=22,
zC=2.5×2+4×5=25, zD=2.5×0+4×8=32. 经比较得zB最小,因此,应当

A 7 8 9 10 x x+y=7 3x+5y=27

3x+2y=16 2.5x+4y=0

为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.

【反思·感悟】解线性规划的实际应用问题,关键是正确理解 题意,最好将题目中的已知条件用表格形式呈现,来明确它们 之间的关系,这样能方便写出线性约束条件及目标函数.

【易错误区】忽视题目中的个别约束条件致误 【典例】(2011·湖南高考)设m>1,在约束条件
?y ? x ? 下,目标函数z=x+my的最大值小于2,则m的取值 ? y ? mx ? x+y ? 1 ?

范围为(

) (B)(1+ 2 ,+∞)

(A)(1,1+ 2 )

(C)(1,3)

(D)(3,+∞)

【解题指南】由已知条件作出可行域,注意已知中m>1的条件准 确作出平面区域,而后作出目标函数直线,求解.

【规范解答】选A.由约束条件画出可行域如图所示.

变换目标函数为 y=所以-1< -

1 <0,不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分 m 1 z 所示,根据目标函数的几何意义,只有直线 y=- x+ 在y轴上的 m m

1 z x+ , 由于m>1, m m

截距最大时,目标函数取得最大值.显然在点A处取得最大值,由

y=mx,x+y=1,得 A( 1 , m ), 所以目标函数的最大值是
1 m + <2, 即m2-2m-1<0,解得1- 2 <m<1+ 2 ,又m>1,故m 1+m 1+m
2

1+m 1+m

的取值范围是(1,1+ 2 ).

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下误区警示与备考建议:

误 区 警 示

解答本题时有两点误区造成失分: (1)忽视条件m>1,不能正确画出可行域;

(2)找错最值点,不能正确解出最值点坐标,从而代
入求解失误.

解决含参数的线性规划问题,要对以下问题高度 备 考 建 议 关注: (1)解题时要看清题目,不能忽视或漏掉参数的

范围;
(2)对于题目中最值条件的确定至关重要,且不 能计算出错.

? x+y ? 1 1.(2011·安徽高考)设变量x,y满足 ? x-y ? 1 , 则x+2y的最大值 ? ?x ? 0 ?

和最小值分别为( (A)1,-1

)

(B)2,-2

(C)1,-2

(D)2,-1

【解析】选B.x+y=1,x-y=1,x=0三条直线两两相交的交点分别

为(0,1),(0,-1),(1,0),画出可行域(图略)可知,分别在点
(0,1),(0,-1)得到最大值2,最小值-2.

? x+2y-5 ? 0 2.(2011·山东高考)设变量x,y满足约束条件 ? x-y-2 ? 0 , ? ?x ? 0 ?

则目标函数z=2x+3y+1的最大值为( (A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5

)

【解析】选B.画出平面区域表示的可行域 如图所示,由目标函数z=2x+3y+1得直线
2 z-1 y=- x+ , 当直线平移至点A(3,1)时, 3 3

目标函数z=2x+3y+1取得最大值10.

3.(2011·福建高考)已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点
? x+y ? 2 ???? ???? ? M(x,y)为平面区域 ? x ? 1 上的一个动点,则 OA?OM 的取 ? ?y ? 2 ?

值范围是( (A)[-1,0]

) (B)[0,1] (C)[0,2] (D)[-1,2]

? x+y ? 2 【解析】选C.由题意,不等式组 ? x ? 1 表示的平面区域 ? ?y ? 2 ?

如图所示:

由数量积的坐标运算易得:
???? ???? ? OA?OM =-x+y,令-x+y=z,即y=x+z,易知目标函数y=x+z,

过点B(1,1)时,zmin=0,目标函数y=x+z过点C(0,2)时,
???? ???? ? zmax=2,故 OA?OM 的取值范围是[0,2].

?x ? 0 ?y ? 0 4.(2012·宁波模拟)在约束条件 ? 下,当3≤s≤5时, ? ? x+y ? s ? y+2x ? 4 ?

目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是( (A)[6,15] (C)[6,8] (B)[7,15] (D)[7,8]

)

【解析】选D.作出可行域如图所示 由图可知,当直线x+y=s,s由3变换至5时, 目标函数z=3x+2y的最大值

从A点变化至B点,
? x+y=3 ? x=1 由? 得? ? y+2x=4 ? y=2

即A(1,2),又B(0,4), ∴3×1+2×2≤z=3x+2y≤3×0+2×4, 即7≤z≤8.


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