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2014年高中数学难点:诱导公式·典型例题分析


2014 年高中数学难点:诱导公式·典型例题分析 例1 求下列三角函数值: 解 (1)sin(-1200°)=-sin1200°=-sin(3×360°+120°) =-sin120°=-sin(180°-60°) (2)tg945°=tg(2×360°+225°)=tg225°=tg(108°+45°)=tg45°=1 -1- 例4 求证 (1)sin(n

π +α )=(-1)nsinα ;(n∈Z) (2)cos(nπ +α )=(-1)ncosα . 证明 1°当 n 为奇数时,设 n=2k-1(k∈Z) 则(1)sin(nπ +α )=sin[(2k-1)π +α ] =sin(-π +α )=-sinα =(-1)nsinα (∵(-1)n=-1) (2)cos(nπ +α )=cos[(2k-1)π +α ]=cos(-π +α )=-cosα =(-1)ncosα 2°当 n 为偶数时,设 n=2k(k∈Z), 则(1)sin(nπ +α )=sin(2kπ +α )=sinα =(-1)nsinα (∵(-1)n=1) (2)cos(nπ +α )=cos(2kπ +α )=cosα =(-1)ncosα 由 1°,2°,本题得证. 例5 设 A、B、C 是一个三角形的三个内角,则在 ② cos(A+B)+cosC ①sin(A+B)-sinC -2- ③tg(A+B)+tgC ④ctg(A+B)-ctgC A.1 个 C.3 个 解 B.2 个 D.4 个 由已知,A+B+C=π ,∴A+B=π -C,故有 ①sin(A+B)-sinC=sin(π -C)-sinC=sinC-sinC=0 为常数. ②cos(A+B)+cosC=cos(π -C)+cosC=-cosC+cosC=0 为常数. ③ tg(A+B)+tgC=tg(π -C)+tgC=-tgC+tgC=0 为常数. ④ctg(A+B)-ctgC=ctg(π -C)-ctgC=-ctgC-ctgC=-2ctgC 不是常数.从而选 (C). -3-

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