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《优化探究》2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第七章 立体几何初步 7-2


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第二节
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空间几何体的表面积与体积
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了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.



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一、多面体的表(侧)面积 多面体的各个面都是平面,则多面体的侧面积就是所有侧面的

面积之和,表面积是侧面积与底面面积之和.

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二、旋转体的表(侧)面积

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三、空间几何体的体积(h为高,S为下底面积,S′为上底面积) 1.V柱体= Sh . 1 2.V锥体= 3Sh . 1 3.V台体= 3h(S+ SS′+S′) . 4.V球=πR3(球半径是R).

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1 .多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是展开图的面 积. 2.一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差. 3 .利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底

面.(1)求体积时,可选择“容易计算”的方式来计算;(2)利用“等积
性”可求“点到面的距离”,关键是在面中选取三个点,与已知点构 山 成三棱锥.此种方法充分体现了转化的数学思想,在运用过程中要充 东 金 分注意距离之间的等价转换. 太 阳 4.计算球的表面积或体积,必须求出球的半径,一般方法有:(1) 书 根据球心到内接多面体各顶点的距离相等确定球心,然后求出半径; 业 有 (2) 依据已知的线线或线面之间的关系推理出球心位置,然后求出半 限 公 径. 司
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一、空间几何体的表面积 1.正六棱柱的高为 6,底面边长为 4,则它的表面积为( A.48(3+ 3) C.24( 6+ 2) B.48(3+2 3) D.144 )

山 解析: 正六棱柱的侧面积 S 侧 = 6×6×4 = 144 ,底面面积 S 底 = 东 金 太 3 2 2×6× 4 ×4 =48 3, 阳 书 业 ∴S 表=144+48 3=48(3+ 3). 有 限 答案:A 公 司
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2.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为 a 时,该三棱 锥的表面积是( 3+ 3 2 A. 4 a 3+ 3 2 C. 2 a ) 3 B.4a2 6+ 3 2 D. 4 a

2 解析:∵侧面都是等腰直角三角形,故侧棱长等于 2 a, 3 1 ? 2 ? 3+ 3 ∴S 表= 4 a2+3×2×? a?2= 4 a2. ?2 ?

答案:A

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二、空间几何体的体积 3.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积.( (2)球的体积之比等于半径比的平方.( ) ) )

(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(

3 (4)已知球 O 的半径 R,其内接正方体的边长为 a,则 R= 2 a.(

答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√

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4.(2013年高考重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体
的体积为( )

560 580 A. 3 B. 3 C.200 D.240

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解析:由三视图知该几何体为直四棱柱,其底面为等腰梯形,上底 ?2+8?×4 长为 2,下底长为 8,高为 4,故面积为 S= =20. 2 又棱柱的高为 10,所以体积 V=Sh=20×10=200.
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答案:C

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几何体的表面积(自主探究)
例1 (1)(2014年高考山东卷 ) 一个六棱锥的体积为 2,其底面是边

长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为________.
(2)(2014 年山西四校联考 ) 如图是一几何体的三视图,则该几何体 的表面积是( ) 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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A.5+ 3 B.5+2 3 C.4+2 2 D.4+2 3

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(3)(2014年沈阳质检)已知四面体P -ABC的四个顶点都在球O的球
面上,若PB⊥平面ABC,AB⊥AC,且 BC=1,PB=AB=2,则球O的 表面积为( )

A.7π
C.9π
解析

B.8π
D.10π 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

3 (1)底面积 S= 4 ×22×6=6 3.

1 设高为 h,则3×6 3×h=2 3,得 h=1, 斜高为 h′,则 h2+( 3)2=h′2,得 h′=2. 1 所以侧面积为2×2×2×6=12.

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1 1 (2)如图所示,该几何体的表面积 S=1×1+2×1×1×2+2×2×(1

1 +2)×1+2× 6× 2=5+ 3,故选 A. 提素能 高 效
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(3)由题意可知,设球的半径为 R,将题中的四面体补成一个长方体, 且该长方体的长、宽、高分别是 2,1,2,于是有(2R)2=12+22+22=9,所 以球的表面积为 S=4πR2=9π,故选 C.

答案 (1)12 (2)A (3)C
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规律方法 求几何体的表面积的方法: (1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题,即空 间图形平面化,这是解决立体几何的主要出发点. (2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的 柱、锥、台体,先求这些柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差 求得几何体的表面积. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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几何体的体积(高频研析)
考情分析 空间几何体的体积的求解问题是近几年高考热点,其

中以三视图为载体的空间几何体的体积问题备受命题者的青睐.试题 主要考查体积公式的应用.常与正方体、长方体、棱锥、棱柱相结合,

以选择题、填空题为主,主要考查学生的空间想象能力和计算能力.

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角度一 锥体、棱体的体积 1.(2014 年高考重庆卷)如图,四棱锥 P ABCD 中,底面是以 O 为 π 中心的菱形,PO⊥底面 ABCD,AB=2,∠BAD=3,M 为 BC 上一点, 1 且 BM=2.

(1)证明:BC⊥平面POM; (2)若MP⊥AP,求四棱锥P -ABMO的体积.

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解析:(1)证明:如图,因为 ABCD 为菱形,O 为菱形中心,连接 OB, π π 则 AO⊥OB,因为∠BAD= ,故 OB=AB·sin∠OAB=2sin =1, 3 6

山 东 1 π 2 2 2 又因为 BM= , 且∠OBM= , 在△OBM 中, OM =OB +BM -2OB· BM· cos 金 2 3 太 阳 ? ? 1 1 π 3 书 ∠OBM=12+? ?2-2·1· ·cos = . 业 2 3 4 ?2? 有 2 2 2 限 所以 OB =OM +BM ,故 OM⊥BM. 公 司
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又 PO⊥底面 ABCD,所以 PO⊥BC.从而 BC 与平面 POM 内两条相交直 线 OM,PO 都垂直,所以 BC⊥平面 POM. π (2)由(1)可得,OA=AB·cos∠OAB=2·cos = 3. 6 设 PO=a,由 PO⊥底面 ABCD 知,△POA 为直角三角形,故 PA2=PO2 +OA2=a2+3.

山 东 金 太 ?1? 阳 2 2 2 2 连接 AM,在△ABM 中,AM =AB +BM -2AB·BM·cos∠ABM=2 +? ? 书 ?2? 业 有 1 2π 21 2 -2·2· ·cos = . 限 2 3 4 公 司
3 2 2 2 2 由△POM 也是直角三角形,故 PM =PO +OM =a + . 4
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由已知 MP⊥AP,故△APM 为直角三角形,则 3 21 3 3 PA +PM =AM ,即 a +3+a + = ,得 a= ,a=- (舍去), 4 4 2 2
2 2 2 2 2

3 即 PO= .此时 SABMO=S△AOB+S△OMB 2 1 1 = ·AO·OB+ ·BM·OM 2 2

山 东 金 1 1 1 3 5 3 太 = × 3×1+ × × = . 阳 2 2 2 2 8 书 业 1 1 5 3 3 5 所以四棱锥 P ? ABMO 的体积 VP ? ABMO= · SABMO· PO= × × = . 有 3 3 8 2 16 限 公 司
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角度二 以三视图为载体的体积问题
2.(2014年高考安徽卷)一个多面体的三视图如图所示,则该多面 体的体积是( )

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23 A. 3
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47 B. 6
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C.6

D.7

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解析:由三视图可知该几何体为棱长为 2 的正方体切去两个侧棱长 1 1 23 为 1 的正三棱锥,故该多面体的体积为 V=23-3×2×13×2= 3 .

答案:A

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角度三 球的体积问题 3.(2015 年云南统考)正三棱锥 S ABC 内接于球 O,其底面边长是 2 3,侧棱长是 4,则球 O 的体积是( 64 3π A. 3 C. 512 3π 3 B. 512 3π 27 )

256 3π D. 27

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解析:如图所示,BD⊥AC,SE⊥BD,垂足分别为 D、E,设正三棱 锥S ABC 的外接球 O 的半径为 R, ∵正三棱锥 S ABC 的底面边长是 2 3, 侧棱长是 4,∴AB=BC=AC=2 3,SA=SB=SC=4,BD=3,BE=2, 4 3 4 256 3 SE=2 3, R2=(2 3-R)2+22, R= 3 .∴球 O 的体积为 V=3πR3= 27 π,故选 D.
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答案:D

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规律方法 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)求简单几何体的体积.若所给的几何体为柱体、锥体或台体, 则可直接利用公式求解. (2)求组合体的体积.若所给定的几何体是组合体,不能直接利用 公式求解,则常用转换法、分割法、补形法等进行求解. (3)求以三视图为背景的几何体的体积.应先根据三视图得到几何 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

体的直观图,然后根据条件求解.

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球与几何体的接、切问题(师生共研)
例 2 (1)如图所示,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD = 2,BD⊥CD,将其沿对角线 BD 折成四面体 ABCD,使平面 ABD⊥ 平面 BCD,若四面体 ABCD 的顶点在同一个球面上,则该球的体积为 ( )

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山 东 金 太 3 2 阳 A. 2 π B.3π C. 3 π D.2π 书 业 (2)(2013 年高考天津卷 ) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面 有 限 9π 公 上.若球的体积为 2 ,则正方体的棱长为________. 司
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解析

(1)如图,取BD的中点E,BC的中点O,连接AE,OD,EO,

AO.由题意,知AB=AD,所以AE⊥BD. 由于平面ABD⊥平面BCD, 所以AE⊥平面BCD.

山 东 金 太 阳 2 1 因为 AB=AD=CD=1,BD= 2,所以 AE= 2 ,EO=2,所以 OA 书 业 有 3 限 =2. 公 司
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1 3 在 Rt△BDC 中,OB=OC=OD=2BC= 2 ,所以四面体 ABCD 的 3 外接球的球心为 O,半径为 2 . 4 ? 3?3 3 所以该球的体积 V=3π? ? = 2 π.故选 A. ?2?

山 3 (2)设正方体的棱长为 a,则正方体的外接球半径为 R= 2 a.因为球 东 金 太 9 4 3 9 3 3 阳 的体积为2π,所以3π·R =2π,则 R=2= 2 a,所以 a= 3. 书 业 答案 (1)A (2) 3 有 限 公 司
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规律方法

解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

察、分析,弄清相关元素的关系和数量关系,选准最佳角度作出截面 (要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元 素之间的关系),达到空间问题平面化的目的.

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若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在 一个球面上,则该球的表面积为________. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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解析:由正视图知,三棱柱的底面边长为 2,高为 1,外接球的球心 在上下两个三角形中心连线的中点上,连接球心和任意一个顶点的线段
?2 3?2 19 1? ?2 ? = (其中 R 为球的半径),则球的表 长为球的半径,则 R = 2? +? 3 ? ? ? 12
2
? ? ? ?

19 19 面积 S=4πR2=4π×12= 3 π.
19 答案: 3 π

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