高中数学数列与不等式综合题放缩法技巧

数列型不等式 放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例 1.(1)求

? 4k
k ?1

n

2
2

?1

的值;

(2)求证:

?k
k ?1

n

1

2

?

5. 3

解析:(1)因为 (2)因为 1
n2 ?

2 4n ? 1
2

?

2 1 1 ,所以 n 2 1 2n ? ? ? 4 k 2 ? 1 ? 1 ? 2 n ? 1 ? 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 k ?1
4

1 n2 ? 1 4

?

n 1 ? ,所以 ? 1 ? 1 ? 2? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 2 ? 5 ? 1 ? ? 2 ? 2? ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5 k ?1 k 4n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

奇巧积累:(1) 1 ? 4 ? 2 2
n 4n

(3) T

r ?1

1 2 1 1 ? ? ? 1 2 C n?1C n (n ? 1)n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) 1 n! 1 1 1 1 1 r ? Cn ? r ? ? ? ? ? ? (r ? 2) r!(n ? r )! n r r! r (r ? 1) r ? 1 r n

4 1 ? ? 1 ? 2? ? ? 4n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

(2)

(4) (1 ? 1 ) n ? 1 ? 1 ? 1 ?

n

1 1 5 ??? ? 2 ?1 3 ? 2 n(n ? 1) 2
(6)
1 ? n?2 ? n n?2

(5)

1 1 1 ? ? 2 (2 n ? 1) 2 n ? 1 2 n
n

1 1 (7) 2( n ? 1 ? n ) ? 1 ? 2( n ? n ? 1) (8) ? 2 ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? n (2n ? 1) ? 2 n?1 (2n ? 3) ? 2 n n ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 2 1 1 1? 1 1 1 ?1 1 ? ? (9) ?? ? ? , ? ? ? ? k (n ? 1 ? k ) ? n ? 1 ? k k ? n ? 1 n(n ? 1 ? k ) k ? 1 ? n n ? 1 ? k ? n 1 1 (10) (11)
(n ? 1) ! ? ? n ! (n ? 1) !
1 n ? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ? 2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 1 1 n? ? n? 2 2

(11) (12)

2n 2n 2n 2n ?1 1 1 ? n ? n ? n ? ? (n ? 2) 2 n n (2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 2) (2 ? 1)(2n ?1 ? 1) 2n ?1 ? 1 2n ? 1
n

? ? 1 1 1 1 ?? ?? ? n(n ? 1)(n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) ? n ? 1 ? n ? 1 n n?n ? ? 1 ? n ?1 ? n ?1 1 1 ? 1 ?? ? ? ? ?? n ?1 ? 2 n n ?1 n ?1 ? n ?1 n n (13) 2n ?1 ? 2 ? 2n ? (3 ? 1) ? 2n ? 3 ? 3(2n ? 1) ? 2n ? 2n ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 n 3 2 ?1 3 1 k?2 1 1 (14) (15) ? n ? n ? 1(n ? 2) ? ? k!?(k ? 1)! ? (k ? 2)! (k ? 1) ! (k ? 2) ! n(n ? 1) 1
3

?

1

2

?

(15)

i2 ? 1 ? j2 ? 1 i2 ? j2 ? i? j (i ? j )( i 2 ? 1 ?

j ? 1)
2

?

i? j i ?1 ?
2

j2 ?1

?1

1 1 1 1 1 1 1 7 1 例 2.(1)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ??? 2 ? ? ? ? (n ? 2) (2)求证: ? 2 2 2 4 16 36 2 4n 4n 6 2(2n ? 1) 3 5 (2n ? 1)
(3)求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?

2

2?4

2?4?6

2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2n ? 1 ? 1 (4) 求证： 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ( 2n ? 1 ? 1)
2 3 n
1 1 1 1 1 1 1 ? (2i ? 1) 2 ? 1 ? 2 ( 3 ? 2n ? 1) ? 1 ? 2 ( 3 ? 2n ? 1) i ?1
n

解析:(1)因为

1 1 1? 1 1 ? ,所以 ? ? ? ? ? (2n ? 1) 2 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

(2) 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (1 ? 1 ? ? ? 1 ) ? 1 (1 ? 1 ? 1 ) 4 16 36 4 n 4n 2 4 22 n2 (3)先运用分式放缩法证明出 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 1 ,再结合

2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2n ? 1 n?2 2 (4)首先 1 ,所以容易经过裂项得到 ? 2( n ? 1 ? n ) ? n n ?1 ? n

1

? n?2 ? n

进行裂项,最后就可以得到答案

2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 2

?

1 3

???

1 ,再证 1 n ? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ?
n

而由均值不等式知道这是显
2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? n? 2 1 1 ? n? 2 2

然成立的，所以 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ( 2n ? 1 ? 1) 2 3 n 6n 1 1 1 5 例 3.求证: ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 3

解析:一方面:因为 1
n
2

?

1 n2 ? 1 4

?

1 ? ? 1 ? 2? ? ? 4n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 4

,所以

?k
k ?1

n

1
2

1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5

1 1 n 另一方面: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? 1? ? 4 9 n2 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) n ?1 n ?1 6n 1 1 1 6n 当 n ? 3 时, n ,当 n ? 1 时, ? 1? ? ??? 2 , ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n n ? 1 (n ? 1)(2n ? 1) 6n 1 1 1 6n 1 1 1 5 当 n ? 2 时, ? 1? ? ??? 2 ? ? 1 ? ? ? ? ? 2 ,所以综上有 (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 3 (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 例 5.已知 n, m ? N? , x ? ?1, Sm ? 1m ? 2m ? 3m ? ? ? nm ,求证: nm?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1.

解析:首先可以证明: (1 ? x)n ? 1 ? nx , nm ?1 ? n m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 2) m ?1 ? ? ? 1m ?1 ? 0 ? [k m ?1 ? (k ? 1) m ?1 ] 所以要证 ?
k ?1

n

n

m ?1

? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)
n k ?1 n

m ?1

? 1只要证:
n

?[ k ?[ k
k ?1 k ?1 n

n

m ?1

? (k ? 1) m ?1 ] ? (m ? 1)? k m ? (n ? 1) m ?1 ? 1 ? (n ? 1) m ?1 ? n m ?1 ? n m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? ? ? 2m ?1 ?1m ?1 ? ?[(k ? 1) m ?1 ? k m ?1 ]
k ?1 n

故 只 要 证

m ?1

m ?1 m ?1 m m ?1 m , 即 等 价 于 ? (k ? 1) m ?1 ] ? (m ? 1)? k m ? ?[(k ? 1) m ?1 ? k m ?1 ] , 即 等 价 于 k ? (k ? 1) ? (m ? 1)k ? (k ? 1) ? k
k ?1 k ?1

m ?1 1 m ?1 1 ? (1 ? ) m ?1 ,1 ? ? (1 ? ) m ?1 而正是成立的,所以原命题成立. k k k k 2n 例 6.已知 an ? 4n ? 2n , T ? ,求证: T ? T ? T ? ? ? T ? 3 . 1 2 3 n n 2 a1 ? a2 ? ? ? an 1?
n n 解析: T ? 41 ? 42 ? 43 ? ? ? 4n ? (21 ? 22 ? ? ? 2n ) ? 4(1 ? 4 ) ? 2(1 ? 2 ) ? 4 (4n ? 1) ? 2(1 ? 2n ) n 1? 4 1? 2 3 所以 n n n n n

Tn ?

2 2 2 3? 2 3 2 ? n ?1 ? n ?1 ? n ?1 ? ? 4 n 4 4 4 2 4 ? 3 ? 2n ?1 ? 2 2 2 ? (2n ) 2 ? 3 ? 2n ? 1 n n ?1 n ?1 (4 ? 1) ? 2(1 ? 2 ) ? ?2?2 ? ?2 3 3 3 3 3 n 3 2 3? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 (2 ? 2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ?1 ? 1 ?

从而 T ? T ? T ? ? ? T ? 3 ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ? 3 ? ? 1 2 3 n 2? 3 3 7 2n ? 1 2n ?1 ? 1 ? 2 1 1 1 例 7.已知 x1 ? 1 , x ? ?n(n ? 2k ? 1, k ? Z ) ,求证: ? ??? ? 2 ( n ? 1 ? 1)(n ? N *) ? n 4 x ?x 4 x ?x 4 x x ?n ? 1(n ? 2k , k ? Z ) 2 3 4 5 2 n 2 n ?1 证
1
4

明
2 ?

:
4

1 x 2 n x 2 n ?1 2

?
4

1 (2n ? 1)( 2n ? 1)

?

1
4

4n 2 ? 1

?

1
4

4n 2

?

1 2? n

?

2 2 n

,

因

为

2 n ? n ? n ?1

,

所

以

x 2 n x 2 n ?1

?

2 n

n ? n ?1

? 2( n ?1 ? n)

, 所以
4

1 1 1 ? ??? ? 2 ( n ? 1 ? 1)(n ? N *) 4 x x x2 ? x3 4 x4 ? x5 2 n 2 n ?1

二、函数放缩 n 例 8.求证： ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 ? 3n ? 5n ? 6 (n ? N * ) . n 2 3 4 3 6 解析:先构造函数有 ln x ? x ? 1 ? ln x ? 1 ? 1 ,从而 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3n ? 3n ? 1 ? ( 1 ? 1 ? ? ? 1 ) n n
x x

2

3

4

3

2

3

3

因为 1 1

? 3 5 ? 3 3? ? 9 9 ? 3 1 ? 1 1? ? 1 1 1 1 1 1? 1 1? ? 1 ? ? ??? ? ? ??? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? n ? n ??? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 3 n ?1 ? 3 n 6 ? 6 9 ? ? 18 27 ? 2 3 3 2 ?1 3 ? ? 2 3? ? 4 5 6 7 8 9? ?2 ?
n ?1

n ?1

? 5n ?? ? 6 ?

n 所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 ? 3n ? 1 ? 5n ? 3n ? 5n ? 6 n 2 3 4 6 6 3 例 11.求证: (1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? ? ? (1 ? 1 ) ? e 和 (1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? ? ? (1 ? 1 ) ? e . 2! 3! n! 9 81 32n 解析:构造函数后即可证明 例 13.证明: ln 2 ln 3 ln 4 ln n n(n ? 1)

3

?

4

?

5

???

n ?1

?

4

(n ? N *, n ? 1)

解析:构造函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1( x ? 1) ,求导,可以得到: 1 2 ? x ,令 f ' ( x) ? 0 有 1 ? x ? 2 ,令 f ' ( x) ? 0 有 x ? 2 , f ' ( x) ? ?1 ?
x ?1 x ?1

所以 f ( x) ? f (2) ? 0 ,所以 ln(x ? 1) ? x ? 2 ,令 x ? n2 ? 1 有, ln n2 ? n2 ? 1 所以 ln n n ? 1 ,所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln n ? n(n ? 1) (n ? N *, n ? 1)
n ?1 ? 2

3

4

5

n ?1

4

三、分式放缩 姐妹不等式: b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 和 b ? b ? m (a ? b ? 0, m ? 0) a a?m a a?m

记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之. 1 1 1 1 例 19. 姐妹不等式: (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ) ? 2n ? 1 和 (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ?
3 5 2n ? 1
2 4 6 2n

1 2n ? 1

也可以表示成为

和 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ?? 2n ? ? 2n ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1? 3 ? 5 ??? (2n ? 1)
a a?m

1 2n ? 1

解析: 利用假分数的一个性质 b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 可得

2 4 6 2n ? ? ? ? 3 ? 5 ? 7 ? 2n ? 1 ? 1 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n
1 3 5 2n ? 1

1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? (2n ? 1) 2 4 6 2n

? ( 2 ? 4 ? 6 ? 2n ) 2 ? 2n ? 1 即 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 )? (1 ?

3

5

1 ) ? 2n ? 1. 2n ? 1

1 1 1 例 20.证明: (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3n ? 1. 4 7 3n ? 2

解析: 运用两次次分式放缩: 2 ? 5 ? 8 ?? ? 3n ? 1 ? 3 . 6 ? 9 ?? ? ? 3n
1 4 7 3n ? 2 2 5 8 2 5 8 3n ? 1 4 7 10 3n ? 1 (加 2) ? ? ??? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 3 6 9 3n
2

3n ? 1

(加 1)

相乘,可以得到:
3n ? 1 ? 4 7 10 3n ? 1 1 4 7 3n ? 2 ?2 5 8 ? ? ? ? ?? ? (3n ? 1) ? ? ? ? ?? ? ? . ? ? ?? ? 1 4 7 3n ? 2 ? 2 5 8 3n ? 1 2 5 8 3n ? 1 ? 所以有 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ) ? 3 3n ? 1. 4 7 3n ? 2

四、分类放缩 例 21.求证:1 ? 1 ? 1 ? ? ?
2 3

1 n ? 2n ? 1 2

解析: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ( 1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ? 1 ? 1 ) ? ? ? 2 3 2 4 4 2n ? 1 23 23 23 23 1 1 1 1 n 1 n ( n ? n ? ? ? n ) ? n ? ? (1 ? n ) ? 2 2 2 2 2 2 2 六、借助数列递推关系 例 27.求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 2 ? 1 解析: 设 a ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 则 a ? 2n ? 1 a ? 2(n ? 1)a ? 2na ? a ,从而 an ? 2(n ? 1)an?1 ? 2nan ,相加后就可以得到 n n ?1 n n ?1 n n
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2

2?4

2?4?6

2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2(n ? 1)

a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2(n ? 1)a n ?1 ? 2a1 ? 2(n ? 1) ?

1 2n ? 3

? 1 ? (2n ? 2) ?

1 2n ? 2

?1

,所以 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 2 ? 1
2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

例 28. 求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 1 ? 1
2 2?4 2?4?6

解

析

:

设

2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) an ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
1

则

a n ?1 ?

2n ? 1 a n ? [2(n ? 1) ? 1]a n?1 ? (2n ? 1)a n ? a n ?1 2(n ? 1)
1 2n ? 1 ? 3 ? 2n ? 1 ? 1 2

,

从

而

an ?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an?1 ? (2n ? 1)an ,相加后就可以得到 a
例 29. 若 a1 ? 1, an?1 ? an ? n ? 1,求证: 1
a1 ?

? a 2 ? ? ? a n ? (2n ? 1)a n?1 ? 3a1 ? (2n ? 1) ?

1 1 ??? ? 2( n ? 1 ? 1) a2 an

解析:

an? 2 ? an?1 ? n ? 2 ? an ? an?1 ? 1 ?
?

1 ? an?2 ? an an?1

所以就有 1
a1

1 1 1 ??? ? ? an?1 ? an ? a2 ? a1 ? 2 an?1an ? a2 ? 2 n ? 1 ? 2 a2 an a1

九、均值不等式放缩
2 例 32.设 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1). 求证 n(n ? 1) ? S ? (n ? 1) . n

2

2

n 1 ， 解析: 此数列的通项为 ak ? k (k ? 1) , k ? 1,2,?, n.? k ? k (k ? 1) ? k ? k ? 1 ? k ? 1 ， n ? ? k ? S n ? ? (k ? )

2

2

k ?1

k ?1

2

2 即 n(n ? 1) ? S ? n(n ? 1) ? n ? (n ? 1) . n

2

2

2

2

注 ： ①应 注 意 把 握 放 缩 的 “ 度 ” ： 上 述 不 等 式 右 边 放 缩 用 的 是 均 值 不 等 式
S n ? ? (k ? 1) ?
k ?1 n

ab ?

a?b 2

， 若 放 成 k (k ? 1) ? k ? 1 则 得

(n ? 1)(n ? 3) (n ? 1) 2 ，就放过“度”了！ ? 2 2

② 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

n 1 1 ??? a1 an

? n a1 ? a n ?

a1 ? ? ? a n ? n

2 a12 ? ? ? a n n

其中， n

? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。
1 1 1 1 ，若 4 ，且 f (x ) 在[0，1]上的最小值为 ，求证： f (1) ? f ( 2) ? ? ? f ( n) ? n ? ? . f (1) ? 2 1 ? a ? 2 bx 2 n ?1 2 5
1? 4x ?1? 1 1 1 ?1? ( x ? 0) ? f (1) ? ? ? f (n) ? (1 ? ) 2? 2 1? 4x 2 ? 2x

例 33.已知函数 f ( x) ?

x 解析: f ( x) ? 4

? (1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ) ? ? ? (1 ? ) ? n ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) ? n ? n ?1 ? . 4 2 2 2 ? 22 2 ? 2n 2 2
n?1 2

1 2 3 n 例 35.求证 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n ? 2

(n ? 1, n ? N )
n ?1 2 ，

1 解析: 不等式左 Cn

2 3 n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 n ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ? n ? n 1? 2 ? 22 ??? 2n?1 = n ? 2

原结论成立. 例 43.求证:1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1
n ?1 n?2

3n ? 1
?

?2

解析:一方面: 1
n ?1

1 1 1 ?1 1? 1 2 ??? ? ?? ? ? ? ? ?1 n?2 3n ? 1 2 ? 3 4 ? 2 4

(法二) 1
?

1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1? 1 ?? ? 1 ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ?? n ?1 n ? 2 3n ? 1 2 ?? n ? 1 3n ? 1 ? ? n ? 2 3n ? ? 3n ? 1 n ? 1 ?? ?

? 1 ? 4n ? 2 4n ? 2 4n ? 2 ? ?? ? ??? 2 ? (3n ? 1)( n ? 1) 3n(n ? 2) (n ? 1)( 3n ? 1) ? ? ?

? ? (2n ? 1) 2 1 1 1 ? ?? ? ?2n ? 1? ? ? ? ??? ?1 2 2 2 2 2 2 ? (2n ? 1) ? (n ? 1) (2n ? 1) ? n ? (2n ? 1) 2 ? (2n ? 1) ? n

另一方面: 1 ? 1 ? ? ? 1
n ?1 n?2

3n ? 1

?

2n ? 1 2n ? 2 ? ?2 n ?1 n ?1
0 1 2 2 n ? Cn ? Cn ? Cn ?

十、二项放缩
0 1 n 0 1 2 n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn , 2 n ? Cn ? Cn ? n ? 1,

n2 ? n ? 2 2

2 n ? n(n ? 1)(n ? 2)

例 44. 已知 a ? 1, a ? (1 ? 1 n ?1

2 1 1 )an ? n . 证明 an ? e n2 ? n 2 1 解析: a ? (1 ? 1 )a ? 1 ? a n ?1 ? 1 ? (1 ? )(a n ? 1) ? n ?1 n n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)
n ?1 n ?1 1 1 ， 1 1 )? . ? ?[ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ? ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 n(n ? 1) n(n ? 1) i(i ? 1) n i ?2 i ?2

ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ?

即 ln(an ?1) ? 1 ? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 . 8 例 47.设 n ? 1, n ? N ，求证 ( 2 ) n ? . 3 (n ? 1)(n ? 2) 解析: 观察 ( 2 ) n 的结构，注意到 ( 3 ) n ? (1 ? 1 ) n ，展开得 (1 ? 1 ) n ? 1 ? C 1 ? 1 ? C 2 ? 1 ? C 3 ? 1 ? ? ? 1 ? n ? n(n ? 1) ? (n ? 1)( n ? 2) ? 6 ，即 n n n 2 2 2 8 8 3 22 23 2 2 1 n (n ? 1)( n ? 2) ，得证. (1 ? ) ?
2 8

十二、部分放缩(尾式放缩) 例 55.求证: 1 ? 1 ? ? ?
3 ?1 3? 2 ?1

1 4 ? 3 ? 2 n ?1 ? 1 7

解析:

1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 ? ??? ? ? ??? ? ? ??? 11 1 4 47 48 4 n ?1 n ?1 2 n ?1 ? ? ? ? ? ? 3 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 4 7 3 ? 2 ? 1 28 3 ? 2 3? 2 28 3 1? 1 2 84 84 7

例 56. 设 a ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 , a ? 2. 求证： a n ? 2. n a na 2a 3 1 1 1 1 1 2 1 解析: a ? 1 ? ? a ? ? ? a ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 . 又 k ? k ? k ? k (k ? 1), k ? 2 （只将其中一个 k 变成 k n a 3 n 2 3 n 2 1 1 1 1 1 ，于是 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? a n ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2 ? ? 2. n 2 2 3 n ?1 n 2 3 n k (k ? 1) k ? 1 k k

? 1 ，进行部分放缩） ，