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2013版【三维设计】高中数学人教A版选修2-1【配套课件】第一章 1.4.3 含有一个量词的命题和否定


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1.4

考点一

第 一 章

1.4. 3

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1.4.3

含有一个量词的命题的否定

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观察下列命题: (1)被7整除的整数是奇数; (2)有的函数是偶函数;

(3)至少有一个三角形没有外接圆.
问题1:命题(1)的否定是“被7整除的整数不是奇数”, 对吗? 提示:不对.这是一个省略了量词“所有的”的全称命 题.它的否定为:被7整除的整数不都是奇数,即存在一

个被7整除的整数不是奇数.
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问题2:命题(2)的否定是“有的函数不是偶函数”,

对吗?
提示:不对.应为:不存在函数是偶函数,即每一 个函数都不是偶函数. 问题3:判断命题(3)的否定的真假. 提示:命题(3)的否定:所有的三角形都有外接圆,

是真命题.

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含有一个量词的命题的否定

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[例1]

判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:

(1)三角形的内角和为180°; (2)每个二次函数的图象都开口向下; (3)任何一个平行四边形的对边都平行; (4)负数的平方是正数.

[思路点拨]

先判断命题的真假,再写出命题的否定.

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[精解详析]

(1)是全称命题且为真命题.

命题的否定:三角形的内角和不全为180°,即存在

一个三角形且它的内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题. 命题的否定:存在一个二次函数的图象开口不向下. (3)是全称命题且为真命题. 命题的否定:存在一个平行四边形的对边不都平行. (4)是全称命题且为真命题. 命题的否定:某个负数的平方不是正数.
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[一点通]

(1)全称命题的否定为特称命题. ?x∈M, p:

p(x)成立?綈 p:?x0∈M,綈 p(x0)成立. (2)命题 p 的否定为“非 p”,二者真假性相反.当一个 命题的真假不易判断时,可以通过“非 p”的真假判断.

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1.命题“?x∈R,3x2-2x+1>0”的否定是________.
解析: “?x∈M, p(x)”的否定为“?x0∈M, 有綈 p(x0)”. ∴其否定为?x0∈R,3x2-2x0+1≤0. 0

答案:?x0∈R,3x-2x0+1≤0

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2.写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)任何一个素数是奇数.

(2)所有的矩形都是平行四边形.
(3)?a,b∈R,a2+b2>0. (4)被5整除的整数,末位数字是0.

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解:(1)是全称命题,其否定为存在一个素数,它不是奇

数.因为2是素数,而不是奇数,所以其否定是真命题.
(2)是全称命题,其否定为存在一个矩形,它不是平行四 边形.它是假命题. (3)是全称命题,其否定为?a,b∈R,a2+b2≤0.它是真命 题.

(4)是全称命题,其否定为存在被5整除的整数,末位不是
0.因为15能被5整除,其末位为5, 所以是真命题.
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[例 2]

写出下列特称命题的否定,并判断其否定的真假:

(1)有些实数的绝对值是正数; (2)某些平行四边形是菱形; (3)?x0∈R,x2+1<0; 0 (4)?x0,y0∈Z,使得 2x0+y0=3.

[思路点拨]

写命题的否定时注意更换量词并否定结论.

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[精解详析]

(1)命题的否定是 “不存在一个实数,它的

绝对值是正数”,即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为 假命题. (2)命题的否定是 “没有一个平行四边形是菱形”,即 “每一个平行四边形都不是菱形”.菱形是平行四边形,因此 命题的否定是假命题. (3)命题的否定是 “不存在 x0∈R, x0+1<0”, 使 2 即“? x∈R, 2+1≥0”. x2+1≥1≥0, x 因此命题的否定是真命题.

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(4)命题的否定是 “?x,y∈Z, 2x+y≠3”. 当 x=0,y=3 时, 2x+y=3,因此命题的否定是假命题.
[一点通] (1)特称命题的否定是全称命题,特称命题“? x0∈M,p(x0)”的否定为对 M 中的每一个 x,均有 p(x)不成立, 也就是“?x∈M,綈 p(x)”. (2)要证明特称命题是真命题, 只需要找到使 p(x0)成立的条 件即可.

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3.命题“?x0∈R,x3-x2+1>0”的否定是 0 0 A.?x∈R,x3-x2+1<0
3 B.?x0∈R,x0-x2+1≤0 0 3 C.?x0∈R,x0-x2+1<0 0

(

)

D.?x∈R,x3-x2+1≤0
解析:特称命题的否定是全称命题,x3-x2+1>0的否 定是x3-x2+1≤0,故D正确.

答案:D
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4.写出下列特称命题的否定,并判断其真假. (1)p:?x0>1,使 x2-2x0-3=0; 0 (2)p:若 an=-2n+10,则?n0∈N*,Sn0<0; (3)p:?x0∈R,x0>2; (4)p:?x0∈R,x2<0. 0
解:(1)綈 p:?x>1,x2-2x-3≠0.(假) (2)綈 p:若 an=-2n+10,则?n∈N*,Sn≥0.(假) (3)綈 p:?x∈R,有 x≤2.(假) (4)綈 p:?x∈R,x2≥0.(真)
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[例3]

若命题“?x∈[-1,+∞),x2-2ax+2≥a”是真

命题,求实数a的取值范围. [思路点拨] 因为此命题是全称命题,所以应满足在所

给条件下恒成立.令f(x)=x2-2ax+2,只需当x∈[-1,+∞)
时,f(x)min≥a成立,可以利用一元二次不等式与一元二次函 数的关系解题. [精解详析] 法一:由题意,?x∈[-1,+∞).令f(x)=

x2-2ax+2≥a恒成立,可转化为?x∈[-1,+∞),f(x)min≥a

恒成立.
又f(x)=(x-a)2+2-a2,∴?x∈[-1,+∞),
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?2-a2,a≥-1, ? f(x)min=? ??1+a?2+2-a2,a<-1. ? ?a≥-1, ? ? ?2-a2≥a, ?

因 为 f(x) 的 最 小 值 f(x)min≥a , ∴
?a<-1, ? ? ??1+a?2+2-a2≥a ?



?-1≤a≤1 或-3≤a<-1,得 a∈[-

3,1].

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法二:x2-2ax+2≥a,即 x2-2ax+2-a≥0. 令 f(x)=x2-2ax+2-a, 所以全称命题转化为?x∈[-1,+∞)时,f(x)≥0 成立. ?Δ=4a2-4?2-a?>0, ? 所以 Δ≤0 或?a<-1, ?f?-1?≥0, ? 即-2≤a≤1 或-3≤a<-2. 所以-3≤a≤1. 综上,所求实数 a 的取值范围是[-3,1].
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[一点通]

全称命题为真,意味着对限定集合中的

每一个元素都具有某些性质,因此属于恒成立问题,而

恒成立问题往往借助于函数思想或数形结合思想最终归
结到函数的最值问题上.

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5.若命题p:?x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,则 实数a的取值范围是 A.(-∞,2] C.(-2,+∞) ( B.[2,+∞) D.(-2,2) )

解析:ax2+4x+a≥-2x2+1 是真命题,即不等式 ax2+ 4x+a≥-2x2+1 对?x∈R 恒成立,即(a+2)x2+4x+(a -1)≥0.当 a+2=0 时,不符合题意.
?a+2>0, ? 故有? ?Δ≤0, ?

解得 a≥2.

答案:B
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6.若存在 x0∈R,使 ax2+2x0+a<0,则实数 a 的取值范 0 围是________.
解析:当 a≤0 时,显然存在 x0∈R,使 ax2+2x0+a<0. 0 当 a>0 时, 需满足 Δ=4-4a2>0, 得-1<a<1, 0<a<1. 故 综上所述,实数 a 的取值范围是(-∞,1).

答案:(-∞,1)

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1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要
明确这个命题是全称命题还是特称命题,并找到其量词 的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在 量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论. 2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量 词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题 的否定.

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3.常用词语的否定如下表:

量词
都是 必有一 个

否定
不都是(即至少有 一个不是) 一个也没有

量词
存在

否定
不存在

至多有一个

至少有两个

任意的

某一个

大于

不大于

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