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12东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数与方程A


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 012 函数与方程 A 一、知识梳理: (阅读教材必修 1 第 85 页—第 94 页) 1、 方程的根与函数的零点 (1) 零点:对于函数y = f(x),我们把使f(x) =0 的实数 x 叫做函数y = f(x)的零点。 这样, 函数y = f(x)的零点就是方程f(x) =0 的实数根,也就是函数y =

f(x)的图象与 x 轴 交点的横坐标,所以方程f(x) =0 有实根? 函数 y = f x 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y = f x 有零点。 (2) 、函数的零点存在性定理:如果函数y = f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 一条曲线,并且有f(a) ? f(b) < 0那么,y = f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈ (a,b),使得f(c)=0,这个 C 也就是方程f(x) =0 的实数根。 (3) 、零点存在唯一性定理:如果单调函数y = f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线,并且有f(a) ? f(b) < 0那么,y = f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 唯一 c∈ (a,b),使得f(c)=0,这个 C 也就是方程f(x) =0 的实数根。 (4) 、零点的存在定理说明: ①求在闭间内连续,满足条件时,在开区间内函数有零点; ②条件的函数在区间(a,b)内的零点至少一个; ③间[a,b]上连续函数,不满足f(a) ? f(b) < 0,这个函数在(a,b)内也有可能有零 点,因此在区间[a,b]上连续函数,f(a) ? f(b) < 0是函数在(a,b)内有零点的充分 不必要条件。 2、 用二分法求方程的近似解 (1) 、二分法定义:对于区间[a,b]连续不断且f(a) ? f(b) < 0的函数y = f(x)通过不断 把区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫 做二分法。 (2) 、给定精确度(ε)用二分法求函数f(x)的零点近似值步骤如下: ①确定区间[a,b],验证f(a) ? f(b) < 0,给定精确度(ε) ; ②求区间(a,b)的中点 c; 1 东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 012 ③计算f(c) (I)若f(c)=0,则 c 就是函数的零点; (II)若f(a) ? f(c) < 0,则令 b=c, (此时零点x 0 ∈ (a,c)) ; (III)若f(b) ? f(c) < 0,则令 a=c, (此时零点x0 ∈ (c,b)) ; ④判断是否达到精确度ε ,若|a-b|< ,则得到零点的近似值 a(或 b) ,否则重复② --④步骤。 则函数的零点与相应方程根的关系,我们可用二分法来求方程的近似解,由于计算量 较大,而且是重复相同的步骤,因此,我们可以通过设计一定的程序,借助计算器或 者计算机来完成计算。 二、 题型探究 [探究一]:考察零点的定义及求零点 例 1:已知函数f x = 8 m ? 1 x2 ? mx + 2m ? 1 (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴只有一个公共点?(1 或 1/3) (2) 如果函数的一个零点为 2,则 m 的值及函数的另一个零点。 (m=3,x=10) 1 [探究二]:判断零点的个数及确定零点所在区间 例 2:证明函数f x = x + x ? 3在(0,+∞)上恰有两个零点。 1 2 东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复

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