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2.1.1平面


2.1.1 平面

2007.4.9

实例引入
观察活动室里的地面,它呈现出怎样的形象?

实例引入
观察海面,它又呈现出怎样的形象?

平面
立体几何中的平面的特点:
1.平的 2.四周无限延展 3.不计大小 4.不计厚薄 (不是凹凸不平) (没有边界

) (无所谓面积) (没有体积)

注:平面可以看成是一条直线沿着某一方向平移 得到的.

平面的表示法:
图形语言:通常用平行四边形来表示平面. 符号语言:通常用希腊字母 ? , ? , ? 等来表 示,如:平面 ? 也可用表示平行四边形的 两个相对顶点或四个顶点的字母来表示, 如:平面AC或 . 平面ABCD.

平面的画法:
(1)当平面是水平放置的时候,通 常把平行四边形的锐角画成45°,横 边画成邻边长的2倍。 (2)画直立平面时,要有一组对边 为竖直。

水平平面

直立平面

点、线、面之间的位置关系: (1)点与直线的位置关系: 点A在直线a上: 记为A∈a.
点B不在直线a上: 记为B?a. A B

a

(2)点与平面的位置关系:
点A在平面?上: 记为A∈?. 点B不在平面?上: 记为B??. ? A

B

(3)直线与平面的位置关系:
直线a在平面α内: 直线a不在平面α内:

a ? a ?? a ? ?, ? a
? a A

例:如图,用符号表示下列图形中点、直 线、平面之间的位置关系.
?
a

?
A l

?
a l b P ( 2)

B

?

( 1) 解:在(1)中,

? ? ? l, a ? ? A, a ? ? B.
? ? l, a ? ? , b ? ? , a l ? P, b l ? P.

? 在(2)中,

探索平面的基本性质:
数学实验1:
把直尺和桌面分别看做一条直线和一个平面。
(1)若直尺上有一个点在桌面上,直尺所在直 线与桌面所在的平面关系如何? (2)若直尺上的两个点固定在桌面内,问直尺 所在直线上各点与桌面所在的平面有何关系? 桌面α
A B

文字语言

公理1:如果一条直线上的两点在一个平 面内那么这条直线在此平面内.
图型语言

?

A

B

作用?
l
公理1是确定直 线在平面内的依据

符号语言

A?l ? B ?l ? ? ??l ?? A ?? ? B ?? ? ?

过一点可以做几条直线?两点呢? 过空间中一点可以做几个平面?两点呢?
不共线的三点呢?

观察下图,你能得到什么结论?

B

B
A C

A

C

文字语言

公理2:过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面.
图型语言
符号语言
α · A · B · C

作用?

A, B, C三点不共线? 有且只有一个平面 ? 使A ? ? , B ? ? , C ? ?

公理2是确定一个平面的依据

公理2的推论
推论1
经过一条直线和这条直线外的一点,有 且只有一个平面.

推论2
经过两条相交直线,有且只有一个平面.

推论3
经过两条平行直线,有且只有一个平面

数学实验3:
(1)一个三角形的顶点在桌面上,
能说我这个三角形所在平面与桌面

所在平面只有一个公共点吗?


文字语言

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
图型语言

?

?
符号语言

P

a

P ??

P??

? ? ? ? ? l 且P ? l

作用?

公理3为证明若干点共线提供了依据

小结
1.平面的概念; 2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画 法; 3.点、直线、平面间基本关系的文字语言,图 形语言和符号语言之间关系的转换
A ?? ? 4.三条公理 公理1. ? ? AB ? ? B ?? ?

王新敞
奎屯

新疆

公理2. A, B, C不共线 ? A, B, C确定一平面

公理3.P ?? , P ? ? , ? ? ? ? l ? P ? l

注: 在画两个平面相交图时,如果图形的一部分被另一
部分遮住,可以把遮住部分画成虚线(不等同于平面几何中 的辅助线),也可以不画。

三条直线两两相交,由这三条直线所 确定平面的个数有多少个?
(提示:拿起手中的三只笔作为三条直线, 亲自动手感受立体几何的乐趣)

三条直线两两相交,由这三条直线所确定平面的 个数是( )
A .1 B .2 C .3 D .1 或3

(一) 操 作 方 课堂小结 法
1. 平面的特点 2. 平面的画法 4. 三种语言转换 5. 三公理三推论

3. 平面的表示方法

总结:点、线、面的基本位置关系
(1)符号表示: 点A、线a、面? (2)集合关系: A ? a, A ? ? , a ? ? ,
图形 符号语言 文字语言(读法)

A
A

a
a

A? a A? a A ??

点A在直线a上

点A不在直线a上
点A在平面α 内 点A不在平面α内

? A
?
A

A

A ??
b a

a ? b ? A直线a、b交于点A

图形

符号语言

?
?

a
a

a ??

文字语言(读法)

a ?? ? ?

?

a

A

a ?? ? A

? ?? ? l

直线a在平面 ? 内 直线a与平面 ? 无公共点 直线a与平面 ? 交于点A 平面 与 ? 相交于直线 l

?

直线AB、BC、CA两两相交,交点分别为A、B、C, 判断这三条直线是否共面,并说明理由。(如图)

A C B

点A和直线BC是否在一个平面内?

课后思考:
两个合页与一把锁就可以把门固 定,为什么?

合 页




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