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浙江省2012届高三数学二轮复习专题训练:数列


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浙江省 2012 届高三数学二轮复习专题训练:数列 I 卷 一、选择题 1.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 2a8 A.54 B.45

? 6 ? a11 , 则S9 =(
C.36

) D.27 )

/>
【答案】A * 2.已知各项均不为零的数列{an},定义向量 cn=(an,an+1),bn=(n,n+1),n∈N .下列命题中真命题是( * A.若? n∈N 总有 cn∥bn 成立,则数列{an}是等差数列 * B.若? n∈N 总有 cn∥bn 成立,则数列{an}是等比数列 * C.若? n∈N 总有 cn⊥bn 成立,则数列{an}是等差数列 * D.若? n∈N 总有 cn⊥bn 成立,则数列{an}是等比数列 【答案】A

1 3.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a6、a9、a15 依次为等比数列{bn}的连续三项,若数列{bn}的首项 b1= , 2 则数列{bn}的前 5 项和 S5 等于( ) 31 31 A. B. 2 32 C.31 D.32 【答案】A 4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n 等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A 5.在等差数列 {an } 中,若 a4 A.30 【答案】A 6.数列

1 ? a8 ? a12 ? 120 ,则 a11 ? a20 的值是 4
C.50 )
*
*

(



B.45

D.80

?an ? 是等比数列,则下列结论中正确的是(
*
*

A.对任意 k ? N ,都有 ak ak ?1 C.对任意 k ? N ,都有 ak ak ?2 【答案】C 7.设 A:2 为等差数列 B. 8

?0

B.对任意 k ? N ,都有 ak ak ?1ak ?2 D.对任意 k ? N ,都有 ak ak ?2 ak ?4

?0

?0

?0

的前 n 项和,已知 C. 18 D. 36

,那么

【答案】C * 8.在数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2(n∈N ),则 a10 为( A.34 B.36 C.38 D.40 【答案】C 9.数列{ a n }满足 a1 A.26 【答案】D
n n?1 n?1 n

)

? 1, a2 ? 2 , a ? a ? a ? a (n ? 2, n ? N ) ,则 a13 等于( a a
n?1 n



B.24

C. 2 ×12!

12

D. 2 ? 13!
13

10.等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 S15 的值为( A.180 B.240 C.360



D.720

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【答案】C 11.设 Sn 为等差数列{an}的前项和,Sn=336,a2 +a5 +a8=6,an-4=30, n ? 5n ? * ( , N A.8 【答案】C 12. 设数列 {an } 的通项公式 a n ? A. B.16 C.21 D.32 ) ,则 n 等于( )

1 2n ? 1

1 1 1 1 ? ? ? ... ? ,那么 an ?1 ? a n 等于( n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 1 1 1 1 1 ? ? B. C. D. 2n ? 2 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 1 2n ? 2



【答案】D

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II 卷 二、填空题 1 13.等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,前 n 项和为 Sn,给出下列四个命题:①数列{( )an}为等比数列;② 2 n(n-1) 若 a2+a12=2,则 S13=3;③Sn=nan- d;④若 d>0,则 Sn 一定有最大值. 2 其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号). 【答案】①②③ 14.设 a1 ? 2, an ?1 ?

a ?2 2 , bn ?| n |, n ? N * ,则数列 ?bn ?的通项bn =_________________ an ? 1 an ? 1

【答案】 2

n?1

15.等比数列 a n} { 的公比为 q ,前 n 项的积为 Tn ,并且满足

a1 ? 1, a2009 ? a2010 ? 1 ? 0, (a2009 ? 1)?a2010 ? 1? ? 0 ,给出下列结论① 0 ? q ? 1 ;② a2009 ? a2011 ? 1 ;③

T2010 是 Tn 中最大的;④使得 Tn ? 1 成立的最大的自然数 n 是 4018.
其中正确结论的序号为 【答案】①②④ (将你认为正确的全部填上).

16. 已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn

? n2 ? 1则数列的通项公式 an ? _____

【答案】 an

?2, n ? 1 ?? ?2n ? 1.n ? 1

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三、解答题 17.已知 {an } 是递增的等差数列,满足 a2 ? 4 a (1)求数列 {an } 的通项公式和前 n 项和公式; (2)设数列 {bn } 对 n ? N 均有
*

? 3, a1 ? a5 ? 4.

b1 b2 b ? 2 ? …+ n ? an ?1 成立,求数列 {bn } 的通项公式. 3 3 3n

【答案】 (1)∵ a1 ? a5 可解得 a2 ∴d ?

? a2 ? a4 ? 4 ,再由 a2 ? 4 ? 3 , a

? 1, a4 ? 3或a2 ? 3, a4 ? 1 (舍去)

a4 ? a2 ? 1 ,∴ an ? 1 ? 1? n ? 2) ? n ? 1 ( 4?2 n n( n ? 1) Sn ? ( a2 ? an ?1 ) ? 2 2 b1 b2 bn b b b (2)由 ? 2 ? …+ n ? an ?1 ,当 n ? 2 时 1 ? 2 ? …+ n ?1 ? an , 2 3 3 3 3 3 3n ?1
两式相减得

bn ? an ?1 ? an ? 1,(n ? 2) 3n

∴ bn

? 3n (n ? 2)
b1 ? a2 ,? a2 ? 1,? b1 ? 3, 3

当 n=1 时, ∴ bn

? 3n .

18.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:a3·a4=117,a2+a5=22. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)若数列{bn}是等差数列,且 bn=

Sn

n+c

,求非零常数 c;

64bn (3)若(2)中的{bn}的前 n 项和为 Tn,求证 2Tn-3bn-1> . (n+9)bn+1 2 【答案】(1){an}为等差数列,∵a3+a4=a2+a5=22,又 a3·a4=117,∴a3,a4 是方程 x -22x+117=0 的两个 根, 又公差 d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13, ∴?
? ?a1+2d=9 ?a1+3d=13 ?

,∴?

? ?a1=1 ?d=4 ?

,∴an=4n-3. ·4=2n -n,
2

(2)由(1)知,Sn=n·1+ ∴bn=

n(n-1)
2

2n -n 1 6 15 ,∴b1= ,b2= ,b3= . n+c n+c 1+c 2+c 3+c 2 ∵{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3,∴2c +c=0, 1 ∴c=- (c=0 舍去). 2 =

Sn

2

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2n -n (3)由(2)得 bn= =2n, 1 n- 2 2 2 2Tn-3bn-1=2(n +n)-3(2n-2)=2(n-1) +4≥4,n=1 时取等号

2



64 ≤4,n=3 时取等号. 9 n+ +10

n

(1)、(2)式中等号不可能同时取到, 64bn 所以 2Tn-3bn-1> . (n+9)bn+1 1 * * 19.已知数列{an}的首项 a1=a,an= an-1+1(n∈N ,n≥2).若 bn=an-2(n∈N ). 2 (1)问数列{bn}是否能构成等比数列?并说明理由. (2)若已知 a1=1,设数列{an·bn}的前 n 项和为 Sn,求 Sn. 【答案】(1)b1=a-2,an=bn+2, 1 1 所以 bn+2= (bn-1+2)+1,bn= bn-1. 2 2 所以,当 a≠2 时,数列{bn}能构成等比数列; 当 a=2 时,数列{bn}不能构成等比数列. 1 n-1 1 n-1 (2)当 a=1,得 bn=-( ) ,an=2-( ) , 2 2 1 n-1 1 n-1 anbn=( ) -2( ) , 4 2 1 n 1 n 1-( ) 1-( ) 4 2 4 1 1 8 4 1 4 所以 Sn= -2 = (1- n)-4(1- n)=- - · n+ n. 1 1 3 4 2 3 3 4 2 1- 1- 4 2 20.已知 {an } 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3 a6 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式: (Ⅱ)等比数列 {bn } 满足: b1 【答案】 (Ⅰ)设等差数列 由 a2

? 55, a2 ? a7 ? 16 .

? a1 , b2 ? a2 ? 1 ,若数列 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n .

?an ? 的公差为 d,则依题设 d>0
① ②

? a7 ? 16 .得 2a1 ? 7d ? 16

由 a3 ? a6

? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55

由①得 2a1 ∴d
2

? 16 ? 7d 将其代入②得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 。即 256 ? 9d 2 ? 220

? 4 ,又 d ? 0,? d ? 2 ,代入①得 a1 ? 1 ,

∴ an

? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 .

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(Ⅱ)? b1 ∴ cn

? 1, b2 ? 2,?bn ? 2 n?1 ? an ? bn ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ,

S n ? 1? 20 ? 3 ? 21 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n?1 2S n ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n
错位相减可得: ? S n 整理得: ? S n

? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? 2 ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n
4(1 ? 2 n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 4 ? (2n ? 1) ? 2 n 1? 2

? 1?

? 2n?1 ? 3 ? (2n ?1) ? 2n
∴ Sn

? 3 ? (2n ? 1) ? 2n ? 2n?1 ? 3 ? (2n ? 3) ? 2n
1 , S n ? n 2 an ? n(n ? 1), n ? 1,2,?? 2

21.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? (1)证明:数列 ?

?n ?1 ? S n ? 是等差数列,并求 Sn ; ? n ?

(2)设 bn

?

Sn ,求证: b1 ? b2 ???? bn ? 1 . n3

【答案】 (I)由 Sn 当 n ? 2 时: Sn 即 (n ∴
2

? n2an ? n(n ?1) 知,

? n2 (Sn ? Sn?1) ? n(n ?1) ,

?1)Sn ? n2 Sn?1 ? n(n ?1) ,

n ?1 n Sn ? S n ?1 ? 1 ,对 n ? 2 成立。 n n ?1



1?1 ?n ?1 ? S1 ? 1,? ? S n ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列。 1 ? n ?

n ?1 S n ? 1 ? (n ? 1) ?1 n

∴ Sn ?

n2 n ?1

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2. bn

?

Sn 1 1 1 ? ? ? n3 n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 1 ? ? ?? ? 2 2 3 n n ?1

∴ b1 ? b2 ? ?? ? bn ? 1 ? =1 ?

1 ?1 n ?1 1 bn ? 1 . I) ( 求数列 {an } 3

22. 已知数列 {an } 是等差数列, a3 ? 10 , a6 ? 22 , 数列 {bn } 的前 n 项和是 Tn , Tn ? 且 的通项公式; (II)求证:数列 {bn } 是等比数列; (III)记 cn 【答案】 (1)由已知 ?

? an ? bn ,求证: cn?1 ? cn .

?a1 ? 2d ? 10, ?a1 ? 5d ? 22.

解得

a1 ? 2, d ? 4.

? an ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2.
1 bn , ① 3 1 3 1 令 n =1,得 b1 ? 1 ? b1 . 解得 b1 ? ,当 n ? 2 时, Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 ② 3 4 3 1 1 1 ② -②得 bn ? bn ?1 ? bn , ? bn ? bn ?1 3 3 4
(2)由于 Tn ? 1 ? 又 b1 ?

b 1 3 ? 0, ? n ? . 4 bn?1 4

3 1 为首项, 为公比的等比数列. 4 4 3 (3)由(2)可得 bn ? n . 4
∴数列 {bn } 是以

c n ? a n ? bn ?

3(4n ? 2) 4n

3[4(n ? 1) ? 2] 3(4n ? 2) 30 ? 36 n ? ? . 4 n ?1 4n 4 n ?1 ? n ? 1 ,故 cn?1 ? cn ? 0. ? cn?1 ? cn . c n ?1 ? c n ?
23.已知数列 {an }的前 n 项和为 Sn , 且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,数列 {bn }中, b1 = 点 P(bn , bn+ 1 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上。 (Ⅰ) 求数列 {an }, {bn }的通项公式 an 和 bn ; (Ⅱ) 设 cn

1,

? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn 。

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【答案】 (Ⅰ)∵ an 是 S n 与 2 的等差中项,

∴ Sn

? 2an ? 2




? Sn ? 2an ∴2, Sn?1 n-Snn?=a2, ? 又S? 2a ?11 ? n,(n ? 2, n ? N * )
由①-②得

又Sn-Sna=an2an ? 2a2,1 , ? N * ) ? ?1n ? ,(n ? n?n

a ? n ? 2, (n ? 2, n ? N * ),即数列?an ? 是等比数列。 an ?1
再由 S n ∴ an

? an ? 0,

? 2an ? 2

得 a1

? S1 ? 2a1 ? 2,解得a1 ? 2。

? 2n

?点(bn , bn?1 )在直线x-y+2=0上, bn ? bn?1+2=0 。 P ?
∴ bn ?1 ? bn

? 是等差数列,又 1 ? 1, bn ? 2n ? 1。 ? 2,即数列 bn ? b ?
n

(Ⅱ)?cn= n ?1)2 (2

,
① ②

?Tn=a1b1 ? a2b2 ??? anbn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5? 23 ? ?? (2n ?1)2n , ?2Tn ? 1? 22 ? 3? 23 ??? (2n ? 3)2n ? (2n ?1)2n?1 。
①-②得: ?Tn 即: ?Tn ∴ Tn

? 1? 2+(2 ? 22+2 ? 23+?+2 ? 2n ) ? (2n ?1)2n?1 ,

? 1? 2 ? (23 ? 24 ??? 2n?1) (2n ?1)2n?1 , ?

? (2n ? 3)2 n?1 ? 6 。

24.⑴ Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ⑵公差不为零的等差数列 ?an ? 中, a3 【答案】⑴方法 1:设 Sn 即 B ? ?14 A ,? Sn

? 0 , S3 ? S11 ,问数列的前几项和最大?

? 15 , a2 , a5 , a14 成等比数列,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

? An2 ? Bn( A ? 0) ,由 S3 ? S11 ,得 9 A ? 3B ? 121 A ? 11B ,

? An2 ? Bn ? An2 ? 14An ? A(n ? 7) 2 49A ,

?当 n ? 7 时, Sn 有最大值为 S 7 .
方法 2:由 S3

? S11 ,得 a4 ? a5 ? a6 ? ? ? a11 ? 0 ,? ?an ? 是等差数列,

? 4(a7 ? a8 ) ? 0 ? a7 ? a8 ? 0 .由 a1 ? 0 , ?an ? 是等差数列,? a7 ? ?a8 ? 0, a8 ? 0 ,

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?当 n ? 7 时, Sn 有最大值为 S 7 .
⑵设 an

? An ? B ,? a3 ? 15 , a2 , a5 , a14 成等比数列,

?3A ? B ? 15 ?A ? 6 ,? an ? 6n ? 3. ?? ?? 2 ?(5 A ? B) ? (2 A ? B)(14A ? B) ?B ? ?3
? Sn ? 6(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? 3n ? 3n 2 .


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