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物理竞赛复赛模拟训练卷4


物理竞赛复赛模拟训练卷 4
1.光子火箭从地球起程时初始静止质量(包括燃料)为 M0,向相距为 R=1.8 ×1061.y.(光年)的远方仙女座星飞行。要求火箭在 25 年(火箭时间)后到达目 的地。引力影响不计。 1) 、忽略火箭加速和减速所需时间,试问火箭的速度应为多大?2) 、设到达 目的地时火箭静止质量为 M0ˊ,试问 M0/ M0ˊ的最小值是多少? 分析:光子

火箭是一种设想的飞行器,它利用“燃料”物质向后辐射定向光 束,使火箭获得向前的动量。求解第 1 问,可先将火箭时间 ? 0 ? 25 a (年)变换
M
0

? 成地球时间 ? ,然后由距离 R 求出所需的火箭速度。火箭到达目的地时,比值 M 0

是不定的,所谓最小比值是指火箭刚好能到达目的地,亦即火箭的终速度为零, 所需“燃料”量最少。利用上题(本章题 11)的结果即可求解第 2 问。 解:1)火箭加速和减速所需时间可略,故火箭以恒定速度 ? 飞越全程,走完 全程所需火箭时间(本征时间)为 ? 0 ? 25 a (年) 。利用时间膨胀公式,相应的地 球时间为
? ? ?0
1?

?
c

2 2


? ?
R

?



-1-

R

?

?

?0
1?

?
c

2 2

解出
c 1? c ?
2 2 0 2 2 ? c ?0 ? c?1 ? 2 ? R ?

? ?

? ? ? c 1 ? 0 . 96 ? 10 ? ?

?

? 10

?

R

2

可见,火箭几乎应以光速飞行。 (2) 、火箭从静止开始加速至上述速度 ? ,火箭的静止质量从 M0 变为 M,然
M
0

? 后作匀速运动,火箭质量不变。最后火箭作减速运动,比值 M 0 最小时,到达目

? 的地时的终速刚好为零,火箭质量从 M 变为最终质量 M 0 。加速阶段的质量变化

可应用上题(本章题 11)的(3)式求出。因光子火箭喷射的是光子,以光速 c 离 开火箭,即 u=c,于是有
1

M M
0

?1? ? ?2 ? ?? ? ? ?1? ? ?

(1)

? ? ? c 为加速阶段的终速度,也是减速阶段性的初速度。对减速阶段,可应

用上题(本章题 11)的(4)式,式中的 m0 以减速阶段的初质量 M 代入。又因减 速时必须向前辐射光子,故 u=-c,即有
1

M M
0

?1? ? ?2 ? ?? ? ? ?1? ? ?

(2)

由(1)(2)式,得 、
M ? M0
-2-

?

1? ? 1? ?

?

4R c ?
2

2 2 0

?1 ?

4R c ?
2

2 2 0

? 4 ? 10

10

y

? u

2.如图 52-1 所示,地面上的观察者认为在地面上 同时发生的两个事件 A 和 B, 在相对地面以速度 u( u 平
? ?

O
z

A

B

x

行于 x 轴,且与正方向同向)运动的火箭上的观察者的 判断正确的是( )

图 52-1

A、A 早于 B B、B 早于 A C、A、B 同时发生 D、无法判断

解:在地面(S 系)上, ? x ? x B ? x A , ? t ? t B ? t A ? 0 ,在火箭( S ? 系)中,
ux ? ux ? ? ? ? t ? ? t ? ? t ? ? r ? t B ? 2B ? ? r ? t A ? 2A ? B A c ? c ? ? ?
? r ?t B ? t A ? ? ux c

A 2

?x A

? xB

?

?

ux c

A 2

?x A

? xB

?

因 r ? 0 , u ? 0 , x A ? x B ? 0 ,故 ? t ? ? 0 。即从火箭上观察,B 事件在前,A 事 件在后,选 B。

3. 如图 11-195 所示,正方形均质板重 G,用 4 根轻质杆铰 链水平悬挂,外形构成边长为 a 的立方体,现将方板绕铅垂对称 轴旋转θ 角度,再用一细绳围绕四杆的中点捆住,使板平衡于θ 角位置。试求绳内的张力。 分析:初看此题,一般都会觉的比较复杂,因为题中铰链就
G

图 11-195

有 8 个,加上 4 根轻质杆与绳子有 4 个接触点,一共有 12 个受

力点,而且初看甚至想象不出木板旋转θ 角度以后整个系统是什么样子,即使把 各个受力点的力逐个画出来也无济于事。应该先想一想哪些点都是对称的(等价
-3-

的) ,找出最基本的部分,再把空间方向确定下来,然后好画出各个力点的受力情 况。 解:把木板绕铅垂对称轴旋转θ 角度以后,系统虽然不是一个很对称的立方 体,但把系统绕铅直轴旋转 90 度的整数倍,系统的与自身重合,说明四根轻杆的 受力情况是完全一样的。系统处于平衡状态,把四根轻杆,木板,绳组成的部分 看成刚体,则刚体受四个铰接部分的力而平衡,重力方向的平衡可以得出,竖直 方向对每根轻杆的拉力 T 上为:
4T 上 ? G

(1)
N
//

而铰接处是否对轻杆有水平方向的作用力,暂时还不好确定, 不过可以为 N//,从俯图来看四根轻杆的受力情况(如图 11-196
O

所示) : 图中虚线表示正方形对角线的外延部分,如果 N//不在对角线
图 11-196

方向上,则四个 N//对 O 点有一个力偶矩,将使得下面的部分旋转,与平衡假设相 矛盾,因此水平弹力必然在对角线方向,要么都向外,要么都向里(设向外为正, 这种设法不会影响结果) 。 同样的道理,把木板隔离开来,可知木板对轻杆往下的拉力 T 下 为:
4T下 ? G

(2)
? N //
y

而水平方向的作用力必沿对角线方向(否则木板
T //

旋转) 木板对杆的作用力向里向外的性质与上端铰链 , 的方向相同,否则以绳对杆的作用点为支点,力矩无 法平衡。

N
x

T //

//

? ?

?
O

?

图 11-197
-4-

下面再看整个系统的俯视图(如图 11-197 所示) ,把轻杆隔离出来作为平衡的 刚性杆,利用力的平衡条件和力矩的平衡条件可求出拉力 T 的大小。 绳作用在每根转杆的中点,在俯视图上不难看出,绳子构成一个正方形,且 在水平面内,因而可以知道绳对轻杆仅有水平面内,因而可以知道绳对轻杆仅有 水平面内的拉力,轻杆在竖直方向上力的平衡是满足的:
T上 ? T下

(3)

? 取一根轻杆为研究对象不难求出 N // 与 N // 的关系,以及 N // 与 T // 的关系,设

绳的张力为 T,则水平合力 T // ? x 方向水平力平衡:

2T 。

? N // s i n ? N // s i n 2 2

?

?

(4)

y 方向水平力平衡:
? N // c o s ? N // c o s ? T // ? 2 2

?

?

N
2T
// min

?
2

T
A



(5)

在过轻杆的竖直面内来分析力矩平衡(只研究平面内转矩) ,如图 a cos ? 11-198。

T //

N?
// min

?
2

2 a sin

?
2

B

T下

对于 A 点,力矩平衡
? N // s i n ? a 2

图 11-198

?

c o s ? T下 ? ?

2a s i n

?
2

(6)

联合(2)(4)(5)(6)式可得 、 、 、
G ?c o s 2 T ? 2 cos ?

?

-5-

a1

a2

4. 如图 12-30 所示,一小车对地以加速度 a1=1m/s 向左由静

2

止开始作匀加速运动,车上一人又以加速度 a2=2m/s2 相对于车向
图 12-30

右同时由静止开始作匀加速运动。求: (1)人对地的加速度; (2)

经历时间 t1=1s,人对地的瞬时速度; (3)经历时间 t2=2s,人对地的位移。 解: (1) a 人地 ? a 人车 ? a 车地
? a1 与 a2 方向相反选 a2 为正方向


a 人地 ? 2 m / s ? m s
2 2

? 1m / s

2

(2)t=1s 时,

?人车 ? 2m / s

? 车地 ? ? 1 m / s
?

? 人地 ? 2 m / s ? 1 m / s
? 1m / s

(3)?

a 人地 ? 1 m / s

2

1

?

?a?t

2

? s ?

1 2

?1? 2

2

? 2m

2

5.有一小直径为 d 的试管,管内装有理想气体,其中有一段质量 m=2g 的水 银将理想气体和空气隔开。 当试管口向上时, 气体在试管中的长为 L1 图 24-30 ( (a) 中的(a),当将管口向下时,气体在试管中长为 L2(图 24-30(b)中的(b), ) ) 试求 L2/L1 为多少? 解:如果是等温过程,可得理想气体的状态方程
PV ? 常数
-6-

对于上述两种情况,可有
P1V 1 ? P2 V 2

Pat

L2

现在考虑在每一情况作用中在气体上的压强, 如图 24-30 (b)所示,可得
P大气 ? ? P大气 ? W S W S

P

P
L1
Pat

图 24-30(b)

V2 V1

?

P1 P2

式中 S 为试管内部的截面积,W 为水银的重量,W=mg,则
P大气 ? ? P大气 ? mg S mg S

V2 V1

?

SL 2 SL 1

消去 S 得
P大气 ? ? P大气 ? 4 mg

L2 L1

?d ?d

2

4 mg
2

6.有一个两端开口、粗细均匀的 U 型玻璃细管,放置在竖直平面内,处在 压强为 p 0 的大气中,两个竖直支管的高度均为 h,水平管的长度为 2h,玻璃细 管的半径为 r,r?h,今将水平管内灌满密度为 ρ 的水银,如图 24-54(a)所示。 1.如将 U 型管两个竖直支管的开口分别封闭起来,使其管内空气压强均等于 大气压强,问当 U 型管向右作匀加速移动时,加速度应多大才能使水平管内水银
5 h

h

2h

图 24-54(a)

柱长度稳定为 3 。 2.如将其中一个竖直支管的开口封闭起来,使其管内气体压强为 1atm,问当 U 型管绕以另一个竖直支管(开口的)为轴作匀速转动时,转数 n 应为多大才能使
-7-

5

水平管内水银柱长度稳定为 3 。 (U 型管作以上运动时,均不考虑管内水银液面的倾斜)
1 h
A B

h

a
3

解:1、当 U 型管向右加速移动时,水平管内的水银柱将向左边的竖直 支管中移动,其稳定的位置是留在水平管内的水银柱所受的水平方向的合力

图 24-54(b)

等于使其以恒定加速度 a 向右运动时所需的力。由于竖直支管内空气在膨胀或压 缩前后的温度相等,根据气态方程有
p 0 hS ? 4 3

右管:

p 1 hS

左管:

p 0 hS ?

2 3

p 2 hS

S 为管的截面积,图 24-54(b)中,A、B 两处压强分别为:
p A ? p2 ? 1 3

? gh

p B ? p1

而留在水平管内的水银柱质量
m ? 5 3

? hS

其运动方程为 由以上各式可得

( p A ? p B )S ? m ? a

a ? ( 9 p 0 ? 4 ? gh ) /( 20 ? h )

2.当 U 型管以开口的竖直支管为轴转动时,水平管内的水银柱将向封闭的

?
h/3

-8-

B

A

图 24-54(c)

竖直支管中移动,其稳定位置是水平管内的水银柱所受的水平方向的合力,正好 等于这段水银柱作匀速圆周运动所需的向心力。由于封闭竖直支管内空气在压缩 前后的温度相等,根据气态方程有
p 0 hS ? 2 3

? hS

S 为管的截面积。图 24-54(c)中 A、B 两处的压强分别为
pA ? p ? 1 3

? gh

pB ? p0

留在水平管内的水银柱的质量
m ? 5 3

? hS

其运动方程为
( p A ? p B ) S ? m ? R ? 4? n mR
2 2 2

其中

R ?

7 6

h

由以上各式可得
n ? ( 9 p 0 ? 6 ? gh ) /( 1 4 0 ? h ) ?
2 2

?

?

1 2

7. 有一块透明光学材料, 由折射率略有不同的许多相互平行的,

r
i
O

?0

?1

?2

n5 n4 n3 n2 n1 n0

厚度 d=0.1mm 的薄层紧密连接构成,图 33-40 表示各薄层互相垂直 的一个截面,若最下面一层的折射率为 n0,从它往上数第 K 层的折 射率为 nK=n0-Kv,其中 n0=1.4,v=0.025,今有一光线以入射角 i=60°

图 33-40
-9-

射向 O 点,求此光线在这块材料内能达到的最大深度? 解:设光线进入材料后的折射角为 r,则根据折射定律有 sin i ? n 0 ? sin r ,此
r ?

?
2

光线从最下面一层进入向上数第一层时, 入射角为 同样根据折射定律有
?? ? ?? ? n 0 ? sin ? ? ? 0 ? ? n 1 sin ? ? ? 1 ? ? 2 ? ? 2 ?,

? ?0

, 折射角为

r ?

?
2

? ?1



也即

n 0 ? c o s 0 ? n1 c o s 1 ? ?

光线从第一层进入第二层时,同样可得
n1 ? c o s 0 ? n 2 c o s 1 ? ?

综合以上分析可得:
n 0 ? c o s 0 ? n1 c o s 1 ? n 2 c o s 2 ? ? ? ? n K ? c o s K ? ? ? ?

因为 n K ? n 0 ? K ? 0 . 0025 , 所以 cos ? K 随着 K 的增大而增大,? K 则随着 K 的增 大而减小,即光线在顺序变化的介质中传播时将偏向折射率变大的方向。满足上 式又当 cos ? K 最接近 1 的 K 值即为光线能进入的最深薄层的序号, 光线在这个薄层 上将发生全反射,然后又逐层返回下面最后射出透明材料。 因此求出能满足下式的 K 的最大值
cos K ? ? n0 ? c o s 0 ? nK ? n0 ? c o s 0 ? n0 ? K? ?1

因为 n 0 ? cos ? 0 ? n 0 sin r ? sin i 代入上式得:
cos K ? ?
- 10 -

sin i n0 ? K?

?1

解得:

K ?

n 0 ? sin i

?

?

1 . 41 ? 0 . 866 0 . 025

? 21 . 76

取小于 21.76 的最大整数, K=21,即在 n0 上面第 21 层下表面就是光线能到 得 达的最深处,所以光线在这块透明材料内能达到的最大深度是
h ? ? K ? 1 ?d ? 22 ? 0 . 1mm ? 2 . 2 mm .

8.(1)图 33-98 所示为一凹球面镜,球心为 C,内盛透明液体,已知 C 至液面高 度 CE 为 40.0cm,主轴 CO 上有一物 A,物离液面高度 AE 恰好为 30.0cm 时, 物 A 的实像和物处于同一高度。实验时光圈直径很小,可以保证近轴光线成 像。试求该透明液体的折射率 n。 (2)体温 圆 柱 为 圆 人眼,
A
R C 2R

计横截面如图 33-99 所示,已知细水银柱 A 离 面顶点 O 的距离为 2R,R 为该圆柱面半径,C
O

E

柱面中心轴位置。玻璃的折射率 n=3/2,E 代表 求图示横截面上人眼所见水银柱像的位置、虚

图 33-99

实、正倒和放大倍数。 分析: (1)通过折射定律和光圈足够小的条件可求出液体的折射率。 (2)注意在 近轴条件下的近似,再通过几何知识即可求解。 解: (1)主轴上物 A 发出的光线 AB,经液体界面折射后沿 BD 方向入射球面镜时, 只要 BD 延长线过球心 C,光线经球面反射后必能沿原路折回。按光的可逆性 原理,折回的光线相交于 A(图 33-100) 。 对空气、液体界面用折射定律有
sin i ? n ? sin r
sin i sin r
- 11 -

n ?

?

BE / AB BE / CB

当光圈足够小时, B ? E ,因此有

n ?

CE AE

?

40 . 0 30 . 0

? 1 . 33

(2) 先考虑主轴上点物 A 发出的两条光线, 其一沿主轴方向 ACOE 入射 界面,无偏折地出射,进入人眼 E。其二沿 AP 方向以入射角 i 斜入射界面
r
i i
B D E
O C A

P 点,折射角为 r。折射光线 PQ 要能进入人眼 E,P 点应非常靠近 O 点, 或者入射角 i 和折射角 r 应很小。若角度以弧度量度,在小角(近轴)近似 下,折射定律 n sin i ? sin r 可写为 r
? ni

图 33-100

。这两条光线反向延长,在主轴上

相交于 A ? , A ? 即为物 A 之虚像点(图 33-101) 。 对 ? AP A ? 用正弦定律,得
sin ? A ? PA A ?A ? sin( ? ? i ) A ?P ? sin i A ?P

在小角(近轴)近似下:
sin ? A ? PA ? ? A ? PA ? ni ? i , sin i ? i

A ?P ? A ?O
ni ? i i A ?O

上式可写为 解上式得

A ?O ? 2 R

?

A ?O ?

2R 2?n

?

2R 2 ? 3/2

? 4R

为了分析成像倒立和放大情况,将水银柱看成有一定高度的垂轴小物体 AB,即然
A ~ A ? 是一对共轭点,只要选从

B 发出的任一条光线经界面折射后,反向延

长线与过 A ? 点垂轴线相交于 B ? , B ? 是点物 B 虚像点,即 A ? B ? 是物 AB 之正立 虚像。

- 12 -

选从 B 点发出过圆柱面轴心 C 的光线 BC。该光线对界面 来说是正入射(入射角为零) ,故无偏折地出射,反

B? B A? A

n
i i C

P
O

r ? ni Q
E

向延长 BC 线交过 得

A ? 垂轴线于 B ? ,从 ? A ? B ?C

∽Δ ABC
图 33-101

A ?B ?

放大率

?

A ?C AC

?

3R R

? 3

AB

9. 如图 41-83 所示, 两个固定的均匀带电球面 A 和 B 分别带电 4Q 和 Q (Q>0) 。 两球心之间的距离 d 远大于两球的半径,两球心的连线 MN 与两球面的相交处都 开有足够小的孔,因小孔而损失的电量可以忽略不计。一带负电的质点静止地放 置在 A 球左侧某处 P 点,且在 MN 直线上。设质点从 P 点释放后刚好能穿越三个 小孔,并通过 B 球的球心。试求质点开始时所在的 P 点与 A 球球心的距离 x 应为 多少? 分析:质点释放后,由于质点带负电,A 球和 B 球带正电,故质点先加速,穿过 A 球 内时,不受 A 球的电场力作用,但仍受 B 球 的电场力,进一步加速。在两球之间时,存 在一质点所受合力为零的点,设此点为 S,且
M A B P
N

4Q

Q

x

d 图 41-83

由于 A 球所带电量大于 B 球带电量,S 点应离 B 球较近。所以质点从 A 球内出来 后到 S 点这段距离内作减速运动,从 S 点到 B 球的第一个孔这段距离内作加速运 动。因此,为了使质点能到达 B 球的球心,第一个必要条件是,质点必须通过 S 点,即质点在 S 点的速度至少应大于零或至少等于零。若质点能通过 S 点,则如上 述,从 S 点到 B 球的第一个孔期间,质点沿 MN 向右加速。由于质点在 B 球内不
- 13 -

受 B 球的电场力作用,但仍受 A 球向左的引力,质点减速,因此为了使用期质点 能通过 B 球的球心,第二个必要条件是,质点在 B 球球心处的速度应大于零或至 少等于零。 本题的关键在于带电体系的电势能与带电质点的动能之和,在该质点运动过 程中守恒。因此质点刚好能通过 S 点的条件可表示为,质点在 P 点和 S 点时,带 电体系的电势能相等(注意,质点在 P 点静止) 。同样,若质点在 S 点时带电体系 的电势能大于(或等于)质点在 B 球球心时带电体系的电势能,则表明质点若能 通过 S 点,就必定能通过(或刚好到达)B 球球心。 解:根据分析,在 MN 直线上在 A 球和 B 球之间有一个 S 点,带电质点在 S 点受力为零。设 S 点与 A 球和 B 球球心的距离为 r1 和 r 2 ,则
k 4Q
2 r1

? k

Q r2
2

r1 ? r2 ? d

由以上两式,可解出
r1 ? 2 3 d ; r2 ? 1 3

d

带电质点从 P 点静止释放后,刚好能够到达 S 点的条件是,它在 P 点和 S 点 的电势能相等,即
4 Q ?? q ? x ? k Q ?? q ? x?d ? k 4 Q ?? q ? r1 ? k Q ?? q ? r2

k

式中-q(q>0)是带电质点的电量。把上面解出的 r1 和 r 2 代入,得
x ?
- 14 -

2 9

?

10 ? 1 d

?

为了判断带电质点刚好到达 S 点后,能否通过 B 球球心,需比较它在 S 点的 电势能 W S 与它在 B 球球心处的电势能 W B 的大小,因
WS ? k 4 Q ?? q ? r1 ?k Q ?? q ? r2 ? ?k 9 Qq d

WB ? k

4 Q ?? q ? r1

?k

Q ?? q ? r2

? 4 1 ? ? ?k Q q ? ?d RB ?

? ? ? ?

式中 R B 为 B 球的半径。由题设
RB

?d

4

?

1 RB

?

9 d



d



WB ? WS

因此,带电质点只要能到达 S 点,就必定能通过 B 球球心。于是,所求开始 时 P 点与 A 球球心的距离 x 即为上述结果,即
x ? 2 9

?

10 ? 1 d

?

10.如图 41-88 所示,在真空中有 4 个半径为 a 的不带电的相同导体球,球心 分别位于边长为 r(r?a)的正方形的四个顶点上。首先,让球 1 带电荷 Q(Q?0) , 然后取一细金属丝,其一端固定于球 1 上,另一端分别依次与球 2、3、4、大地接 触,每次接触时间都足以使它们达到静电平衡。设分布在细金属丝上的电荷可忽 略不计。试求流入大地的电量的表达式。

- 15 -

解:当球 1 与球 2 连接后,用 Q 1? 和 Q2 分别表示球 1 和球 2 上
B A

a
b l

d

的电量,可得 Q 2 ? Q 1? ? Q / 2 。球 1 与球 3 连接后,因球 1 和球 3 处于对称位置,其电量 Q 1?? 和 Q3 相等,故可得 Q 3 ? Q 1?? ? Q / 4 . 球 1

D

图 41-88

与球 4 连接后,电荷分布呈不对称状态,设连接后球 1 和球 4 上的电量分别为 Q1 与 Q4。它们可利用等电势方法求出,即
U 1 ? kQ 1 / a ? kQ 2 / r ? kQ 3 /

?

2 r ? kQ 4 / r

?

U 4 ? kQ 1 / a ? kQ 2 /

?

2 r ? kQ 3 / r ? kQ 4 / a

?

以上各式中, 计算各球上的电荷在另一球处引起的电势时, 利用了 r?a 的条件。 由于 U 1 ? U 4 ,且 Q 1 ? Q 4 ? Q 1?? ? Q / 4 ,



Q1 ? Q 1 ? a

?

?

2 ?1 /

??

2 ?r ? a ? / 8

??

Q4 ? Q 1 ? a

?

?

2 ?1 /

??

2 ?r ? a ? / 8

??

利用 r?a 的条件,略去二阶小量,上式可写成
Q1 ? Q 1 ? a

?

?

2 ?1 /

??

2r / 8

??

Q4 ? Q 1 ? a

?

?

2 ?1 /

??

2r / 8
?

??

最后将球 1 与球 4 断开并把球 1 接地。 设接地后球 1 所带电量为 q1, 电势为 U 1 , 则球 1 的电势为
? U 1 ? kQ 1 / a ? kQ 2 / r ? kQ 3
- 16 -

?

2 r ? kQ 4 / r ? 0

?

q1 ? ? a Q 2 ? Q 3 /

?

2 ? Q4 / r

?

? ? aQ 5 / 8 ? 1 / 4 2 ?

?

?

? ? ??

2 ? 1 a / 8 2r / r

? ?

??

? ? aQ 5 / 8 ? 1 / 4 2 / r

?

?

此时球 1 上带负电,故流入大地的电量 Q 入地 为
Q 入地 ? Q 1 ? q 1

? Q1? a

?

? ?

2 ?1 /

?

2 r / 8 ? aQ 5 / 8 ? 1 / 4 2 / r

?

?

?

??

? Q 1? a 5 ?

?

2 ?1?

2 /2 /r /8

? ?

? Q 1? a 4 ? 3 2 /2 /r /8

?

?

? ?

? ? 3 2 a? 4 ? ? ? 2 Q ? ? 1? 8 ? r ? ? 答: ?

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