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2013哈三中二模理科数学题及答案


2013 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试

理科数学
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 24 题,满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 注意事项 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂,非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹

清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草 稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁,不得折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 集合 A ? {x || x ?1|? 2} , B ? {x | A. (1, 2) B. (?1, 2)

1 ? 3x ? 9} ,则 A ? B ? 3
C. (1,3) D. (?1,3)

2.设 Sn 是公差为 d (d ? 0) 的无穷等差数列 {an } 的前 n 项和,则“d < 0”是“数列 {Sn } 有 最大项”的 A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.ΔABC 中, m ? (cos A,sin A) , n ? (cos B, ? sin B) ,若 m ? n ? A.

? 3

B.

2? 3

C.

? 6

1 ,则角 C 为 2 5? D. 6

4.已知 a ? A.20

?

e

1

1 1 dx ,则 ( x ? ) 6 展开式中的常数项为 x ax
B.-20 C.-15 D.15

5.正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长都为 2,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为

A.

1 2

B.

1 4

C.

2 3

D.

6 4

6.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? 3 cos(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? 轴方程为 x ? 0 与 x ?

?
2

) ,其图象相邻的两条对称

?
2

,则

A. f ( x ) 的最小正周期为 2? ,且在 (0, ? ) 上为单调递增函数 B. f ( x ) 的最小正周期为 2? ,且在 (0, ? ) 上为单调递减函数 C. f ( x ) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, D. f ( x ) 的最小正周期为 ? ,且在 (0,

? ?
2 2

) 上为单调递增函数 ) 上为单调递减函数

7.一个几何体的三视图及尺寸如右图所示,则该几何体的 外接球半径为 A.

1 2

B.

3 16 17 4

C.

17 4
2

D.

8.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A,直线 l 与

B 抛物线的准线的交点为 B, A 在抛物线的准线上的摄影为 C, A F 点 若 F ?
则抛物线的方程为 A. y ? 6 x
2

?? ? ?? ?

BA , ? BC ? 36 ,

??? ??? ? ?

B. y ? 3x
2

C. y ? 12 x
2

D. y 2 ? 2 3x

9.阅读右面的程序框图,输出结果 s 的值为 A.

1 2

B.

3 16
1 8

C.

1 16

D.

10.在平行四边形 ABCD 中, AE ? EB , CF ? 2 FB , 连接 CE、DF 相交于点 M,若 AM ? ? AB ? ? AD ,则实数 λ 与 μ 的乘积为

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

????

A.

1 4

B.

3 8

C.

3 4

D.

4 3

11.已知函数 y ?

x3 mx 2 ? (m ? n) x ? 1 ? 的两个极值点分别为 x1 ,x2 ,且 x1 ? (0,1) , 3 2

x2 ? (1, ??) ,记分别以 m,n 为横、纵坐标的点 P(m, n) 表示的平面区域为 D,若函数 y ? loga (x ? 4)(a ? 1)的图象上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围为
A. (1,3] B. (1,3) C. (3, ??) D. [3, ??)

12.设点 P 在曲线 y ? e x 上,点 Q 在曲线 y ? 1 ?

1 ( x ? 0) 上,则 | PQ | 的最小值为 x
C.

A.

2 (e ? 1) 2

B. 2(e ?1)

2 2

D. 2

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在答题卡的相应位置上。 ) 13.若复数 z ? 1 ? i ,则

z ? __________。 zi

14.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,由 F 向其渐近线引垂线,垂足为 a 2 b2

P,若线段 PF 的中点在此双曲线上,则此双曲线的离线率为__________。 15.已知平面区域 Ω= ?( x, y) ?

? ? ? ?

? ? 2 ? ,直线 l: y ? mx ? 2m 和曲线 C: y ? 4 ? x 2 ?y ? 4 ? x ? ? ? ?y ? 0 ?

有两个不同的交点,直线 l 与曲线 C 围城的平面区域为 M,向区域 Ω 内随机投一点 A,点 A

[ 落在区域 M 内的概率为 P( M ) , P ( M) ? 若

? ?2 1 ,] 2?

, 则实数 m 的取值范围是__________。

16.已知 ΔABC 中,∠ A,∠ B,∠ 的对边分别为 a,b,c,若 a = 1,2cosC + c = 2b,则 ΔABC C 的周长的取值范围是__________。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知正项数列满足 4Sn ? (an ? 1) 。
2

(1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn。 an an ?1

18. (本小题满分 12 分) 从某学校高三年级共 1000 名男生中随机抽取 50 人测量身高。 据测量, 被测学生身高全 部介于 155cm 到 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组,第一组[155,160),第二组 [160,165),? ,第八组[190,195]。下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、 其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。 (1) 求第六组、 第七组的频率, 并估算高三年级全体男生身高在 180cm 以上 (含 180cm) 的人数; (2)学校决定让这 50 人在运动会上组成一个高旗队,在这 50 人中要选身高在 180cm 以上(含 180cm)的三人作为队长,记 X 为身高在[180,185)的人数,求 X 的分布列和数学 期望。

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,AD = CD = 2AB = 2,E, F 分别为 PC,CD 的中点,DE = EC。 (1)求证:平面 ABE⊥平面 BEF; (2)设 PA = a,若平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐 二面角 ? ? [

? ?

, ] ,求 a 的取值范围。 4 3

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 ( 3, ) ,离心率 e ? ,若点 M ( x0 , y0 ) 在 2 2 a b 2

椭圆 C 上,则点 N (

x0 y0 , ) 称为点 M 的一个“椭点” ,直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,若点 a b

A、B 的“椭点”分别是 P、Q,且以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的右顶点为 D,上顶点为 E,试探究 ΔOAB 的面积与 ΔODE 的面积的大 小关系,并证明。

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? x ? x ln x(a ? 0) 。
2 2 (1)若函数满足 f (1) ? 2 ,且在定义域内 f ( x) ? bx ? 2 x 恒成立,求实数 b 的取值范

围; (2)若函数 f ( x ) 在定义域上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (3)当

1 y 1 ? ln y ? x ? y ? 1 时,试比较 与 的大小。 e x 1 ? ln x

选考题:请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。

22. (本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, 已知 PA 与⊙ 相切, 为切点, O A 过点 P 的割线交圆于 B、 两点, CD∥ C 弦 AP, AD、BC 相交于点 E,F 为 CE 上一点,且 DE2 = EF· EC。 (1)求证:CE· = EF· EB EP; (2)若 CE:BE = 3:2,DE = 3,EF = 2,求 PA 的长。

23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

) ? 1? 2 ,圆 C 的圆心是

C ( 2, ) ,半径为 2 。 4
(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长。

?

24. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 3 | 。 (1)解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)已知关于 x 的不等式 a ? 3 ? f ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。

2013 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试

数学试卷(理工类)答案及评分标准
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 B 5 B 6 C 7 C 8 D 9 C 10 B 11 B 12 D

二、填空题: 13.

?1

14.

2

15.

?0,1?

16.

?2,3?
4分 6分

三、解答题: 17. (Ⅰ)整理得 an ? an?1 ? 2 又 a1 ? 1 得 an ? 2n ? 1 ……………………………… ………………………………

(Ⅱ)由(1)知

bn ? n 2n ? 1

1 1 1 ( ? ) …………………………… 2 2n ? 1 2n ? 1
…………………………………… ·········2 分 ········· ········· ·········4 分 ········· ········· ········· 分 ········· ········6 ········7 分 ········ ········

8分

所以 Tn ?

12 分

18. 解: (Ⅰ) 第六组 p ? 0.08 第七组 p ? 0.06 估计人数为 180 (Ⅱ) X 可能的取值为 0,1, 2, 3.

P( x ? 0) ?

3 C5 5 ? 3 C9 42

P( x ? 1) ?

1 C4 C52 20 ? 3 42 C9

2 1 C 4 C5 15 P( x ? 2) ? ? 3 42 C9

3 C4 2 P( x ? 3) ? 3 ? C9 42

所以 X 的分布列

X
P

0

1

2

3

5 42

10 21
4 . 3

5 14

1 21
····· 分 ····10 ····

E (X ) =

······· 12 分 ······· ·······

19.(Ⅰ)? AB // CD, CD ? AD, AD ? CD ? 2 AB ? 2 , F 分别为 CD 的中点,

? ABFD 为矩形, AB ? BF

······2 分 ······ ·····

? DE ? EC,? DC ? EF ,又 AB // CD,? AB ? EF ? BF ? EF ? E,? AE ? 面 BEF , AE ? 面 ABE ,

? 平面 ABE ⊥平面 BEF

······· 4 分 ······· ·······

(Ⅱ) ? DE ? EC,? DC ? EF ,又 PD // EF , AB // CD,? AB ? PD 又 AB ? PD ,所以 AB ? 面 PAD , AB ? PA ······6 分 ······ ······

法一:建系 AB 为 x 轴, AD 为 y 轴, AP 为 z 轴,

a B(1,0,0), D(0,2,0) P(0,0, a) , C (2,2,0) , E (1,1, ) 2
···9 ··· 平面 BCD 法向量 n1 ? (0, 0,1) ,平面 EBD 法向量 n2 ? (2a, a,?2) ···· 分

??

cos? ?

1 2 ?[ , ] ,可得 a ? [ 2 5 , 2 15 ] . ····· 分 ····12 ···· 2 2 5 5 5a ? 4
2

2

法二:连 AC 交 BF 于点 K ,四边形 ABCF 为平行四边形,所以 K 为 AC 的中点,连 EK , 则 EK // PA , EK ? 面 ABCD , BD ? EK , 作 KH ? BD 于 H 点,所以 BD ? 面 EKH , 连 EH ,则 BD ? EH , ?EHK 即为所求 ····· 分 ···· 9 ····

a 1 2 1 2 ? 5a ? [1, 3 ] ? , tan? ? 在 Rt?EHK 中, HK ? ? 1 2 2 5 5 5

解得 a ? [

2 5 2 15 , ] 5 5

····· 分 ····12 ····

?3 ?a2 ? 2 20. (Ⅰ)由已知 ? a ? ? ?

3 ?1 4b 2 x2 y2 ? b 2 ? c 2 解得 a 2 ? 4 , b 2 ? 3 ,方程为 ··3 ·· ? ? 1 ··· 分 4 3 c 1 ? a 2 ?
x1 y1 x y , ), Q( 2 , 2 ) 2 3 2 3

(Ⅱ) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 P(

(1)当直线 l 的斜率存在时,设方程为 y ? kx ? m

? y ? kx ? m ? 2 y2 联立得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx? 4(m 2 ? 3) ? 0 ?x ? ?1 ?4 3 ?

? ?? ? 48(3 ? 4k 2 ? m 2 ) ? 0 ? ? 8km ? x1 ? x 2 ? 有? 3 ? 4k 2 ? 4(m 2 ? 3) ? x1 x 2 ? ? 3 ? 4k 2 ?



由以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O 可得: 3x1 x 2 ?4 y1 y 2 ? 0 · 整理得: (3 ? 4k 2 ) x1 x2 ? 4km( x1 ? x2 ) ? 4m 2 ? 0 将①式代入②式得: 3 ? 4k 2 ? 2m 2 , ②

····6 分 ···· ···

? 3 ? 4k 2 ? 0,? m 2 ? 0, ? ? 48m 2 ? 0
又点 O 到直线 y ? kx ? m 的距离 d ?

m 1? k 2

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 1 ? k 2 ? 1? k 2 4 3? m 2m 2

4 3? m 4 3 3 ? 4k 2 ? m 2 ? 1? k 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

···· 分 ··· 8 ··· 所以 S ?OAB ?

1 2 3m 2 AB d ? ? 3 2 2m 2

···· 分 ··· 10 ···

(2) 当直线 l 的斜率不存在时,设方程为 x ? m ( ? 2 ? m ? 2 ) 联立椭圆方程得: y 2 ?

3(4 ? m 2 ) 4

代入 3x1 x 2 ?4 y1 y 2 ? 0 得到 3m 2 ?

3(4 ? m 2 ) 2 5 2 15 ,y?? ? 0即m ? ? 4 5 5

S ?OAB ?

1 1 AB d ? m y1 ? y 2 ? 3 2 2

综上: ?OAB 的面积是定值 3 又 ?ODE 的面积 ? 21. (Ⅰ) 由原式 ? 1 ?

1 ? 2 ? 3 ? 3 ,所以二者相等. 2

··· 分 ··12 ··

1 ln x ? ?b, ······ 分 ····· 1 ····· x x 1 ln x 令 g ( x) ? 1 ? ? ,可得 g (x) 在 ?0,1? 上递减, x x 在 ?1,??? 上递增,所以 g ( x) min ? g (1) ? 0 即b ? 0 ·····3 分 ····· ····· (Ⅱ) f ?( x) ? 2ax ? ln x, ( x ? 0) ln x ln x 1 令f ?( x) ? 0, 得2a ? , 设h( x ) ? x , 当x ? e时 h( x ) max ? e x 1 ?当a ? 时,函数 f (x) 在 (0,??) 单调递增 ·····5 分 ····· ····· 2e 1 1 ' 若0 ? a ? , g ( x) ? 2ax ? ln x, ( x ? 0), g ( x) ? 2a ? x 2e 1 1 1 x ? (0, ), g / ( x) ? 0, x ? ( ,?? ), g / ( x) ? 0 g ' ( x) ? 0, x ? 2a 2a 2a , 1 ?x ? 时 得 小 即 小 取 极 值 最 值 2a 1 1 1 而 0 ? a ? 时 g ( ) ? 1 ? ln 当 ?0, 2e 2a 2a ····· ····8 f / ( x) ? 0必 根 , f (x ) 必有极值,在定义域上不单调····· 分 有

?a ?

1 2e

······ 分 ·····9 ·····

(Ⅲ)由(I)知 g ( x ) ? 1 ?

1 ? ln x 在(0,1)上单调递减 x



1 1 ? ln x 1 ? ln y ? x ? y ? 1 时, g ( x) ? g ( y) 即 ? ······ 分 ····· 10 ····· e x y 1 ? x ? y ? 1 时, ? 1 ? ln x ? 0,?1 ? ln x ? 0 e
····· 12 分 ····· ·····



y 1 ? ln y ? x 1 ? ln x 2 22.(I)∵ DE ? EF ? EC ,∴ ?EDF ? ?C , ?

又∵ ?P ? ?C ,∴ ?EDF ? ?P ,∴ ?EDF ∽ ?PAE

∴ EA ? ED ? EF ? EP 又∵ EA ? ED ? CE ? EB ,∴ CE ? EB ? EF ? EP ·5 分 · · (II) BE ? 3 , CE ?

9 15 , BP ? 2 4

PA 是⊙ O 的切线, PA2 ? PB ? PC , PA ?
23.(Ⅰ)圆 C 的极坐标方程为: ? ? 2 2 sin(? ?

15 3 4

··· 分 ··10 ··

?
4

)

···5 分 ··· ··· ···· 10 分 ···· ··· ···· 5 分 ··· ··· ···· 10 分 ··· ···

(Ⅱ)圆心到直线距离为 1 ,圆半径为 2 ,所以弦长为 2 24.(Ⅰ) f ( x) ? 0 的解集为: (?? ,?4) ? ( ,?? ) (Ⅱ) a ? ?

2 3

13 2


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