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2015年02月10日高中数学组卷


说明: 1. 2. 3. 4. 试题左侧二维码为该题目对应解析; 请同学们在独立解答无法完成题目后再扫描二维码查看解析,杜绝抄袭; 查看解析还是无法掌握题目的,可按下方“向老师求助”按钮; 组卷老师可在试卷下载页面查看学生扫描二维码查看解析情况统计,了解班级整体学习情况,确 定讲解重点; 5. 公测期间二维码查看解析免扣优点,对试卷的使用方面的意见和建议,欢迎通过“意见反馈”告

之。

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2015 年 02 月 10 日 18482304902 的高中数学组卷
一.解答题(共 20 小题) 1.求 sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

2. (2013?铁岭模拟) (1)已知集合

,函数 f(x)=log2(ax ﹣2x+2)的定义域为 Q.若 ,求实数 a 的值;

2

(2)函数 f(x)定义在 R 上且 f(x+3)=f(x) ,当

时,f(x)=log2(ax ﹣2x+2) .若 f(35)

2

=1,求实数 a 的值. 2 2 2 2 3. (2011?湖南模拟)集合 A={x|x ﹣ax+a ﹣19=0},B={x|x ﹣5x+6=0},C={x|x +2x﹣8=0}满足 A∩ B≠?, A∩ C=?,求实数 a 的值.

4.设 U=R,集合 A={x|x +3x+2=0},B={x|x +(m+1)x+m=0};若(?UA)∩ B=?,求 m 的值.

2

2

5. (2010?苏州模拟)已知函数

(a、b∈R) ,

(Ⅰ )若 f(x)在 R 上存在最大值与最小值,且其最大值与最小值的和为 2680,试求 a 和 b 的值; (Ⅱ )若 f(x)为奇函数: (1)是否存在实数 b,使得 f(x)在 为增函数, 为减函数,若存在,求出 b

的值,若不存在,请说明理由; (2)如果当 x≥0 时,都有 f(x)≤0 恒成立,试求 b 的取值范围. 6.已知函数 的定义域为 M.

(1)求 M; x+2 x (2)当 x∈M 时,求 f(x)=a?2 +3?4 (a>﹣3)的最小值. 7. (2012?宣威市模拟)已知函数 f(x)对任意实数 x,y 恒有 f(x+y)=f(x)+f(y)且当 x>0,f(x) <0.又 f(1)=﹣2. (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)求函数 f(x)在区间[﹣3,3]上的最大值; 2 (3)解关于 x 的不等式 f(ax )﹣2f(x)<f(ax)+4. 2 8. (2010?青州市模拟)已知函数 f(x)=x +lnx﹣ax. (1)若 f(x)在(0,1)上是增函数,求 a 得取值范围; 2x x (2)在(1)的结论下,设 g(x)=e +|e ﹣a|,x∈[0,ln3],求函数 g(x)的最小值. 9. (2008?嘉定区一模)已知函数 f(x)=ax ﹣|x|+2a﹣1(a 为实常数) . (1)若 a=1,求 f(x)的单调区间; (2)若 a>0,设 f(x)在区间[1,2]的最小值为 g(a) ,求 g(a)的表达式;
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2

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www.jyeoo.com (3)设 ,若函数 h(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数 a 的取值范围.
x
﹣x

10. (2012?长宁区一模)设函数 f(x)=a ﹣(k﹣1)a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 值; (2)若 f(1)<0,试判断函数单调性并求使不等式 f(x +tx)+f(4﹣x)<0 恒成立的 t 的取值范围; (3)若 f(1)= ,且 g(x)=a +a
2x
﹣2x

2

﹣2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为﹣2,求 m 的值.
x

11. (2004?宝山区一模)已知 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; (2)证明:对任意实数 b,函数 y=f(x)的图象与直线 (3)设 的取值范围. 12. (2013?普陀区二模)已知 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=loga(x+1) , (x)+g(x) (1)求函数 F(x)的定义域 D 及其零点; (2)若关于 x 的方程 F(x)﹣m=0 在区间[0,1)内有解,求实数 m 的取值范围. 13. (2014?南昌模拟)已知 =(cosωx+sinωx, 函数 f(x)= ? ,且函数 f(x)的周期为 π. (Ⅰ )求 ω 的值; (Ⅱ )在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 a,b,c 成等差数列,当 f(B)=1 时,判断△ ABC 的形状. 14. (2013?珠海二模)已知函 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示: (1)求 ω,φ 的值; (2)设 g(x)=2 f( )f( )﹣1,当 x∈[0, ]时,求函数 g(x)的值域. cosωx) , =(cosωx﹣sinωx,2sinωx) ,其中 ω>0.设 ,记 F(x)=2f 最多只有一个交点;

,若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数 a

15. (2014?湖南一模)已知向量 为坐标原点. (Ⅰ )若 λ=2,α= (Ⅱ )若 |≥2

=(λcosα,λsinα) (λ≠0) ,

=(﹣sinβ,cosβ) ,

=(1,0) ,其中 O

,β∈(0,π) ,且

,求 β 的值;

|对任意实数 α、β 都成立,求实数 λ 的取值范围.

16. (2010?江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(﹣1,﹣2) 、B(2,3) 、C(﹣2,﹣1) . (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( )? =0,求 t 的值.

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www.jyeoo.com 17. (2009?东城区二模)已知 (Ⅰ )设 = , , = , .

,求 f(x)的最小正周期和单调递减区间; ,且 f(x1)=f(x2)=1,求 x1+x2 的值.
2

(Ⅱ )设有不相等的两个实数

18. (2014?江西)已知函数 f(x)=(a+2cos x)cos(2x+θ)为奇函数,且 f( π) . (1)求 a,θ 的值; (2)若 f( )=﹣ ,α∈( ,π) ,求 sin(α+ )的值.

)=0,其中 a∈R,θ∈(0,

19. (2014?蓟县一模)已知 A,B,C 是△ ABC 三内角,向量 =(﹣1, (1)求角 A; (2)若 =﹣3,求 tanB.

) , =(cosA,sinA) ,且

=1.

20. (2013?四川) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 2cos (A+C)=﹣ . (Ⅰ )求 cosA 的值; (Ⅱ )若 a=4 ,b=5,求向量 在 方向上的投影.

2

cosB﹣sin (A﹣B) sinB+cos

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2015 年 02 月 10 日 18482304902 的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共 20 小题) 1.求 sin10°sin30°sin50°sin70°的值. 考点: 角的变换、收缩变换;二倍角的正弦. 专题: 计算题. 分析: 原式乘上 ,并把分子中的 sin50°sin70°,化为 cos40°cos20°
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分子中可以连续应用倍角公式,最后用诱导公式,即可求出结果. 解答: 解:原式=

点评: 本题考查角的变换,二倍角的正弦,和诱导公式,考查计算能力,是基础题.
2

2. (2013?铁岭模拟) (1)已知集合

,函数 f(x)=log2(ax ﹣2x+2)的定义域为 Q.若 ,求实数 a 的值;

(2)函数 f(x)定义在 R 上且 f(x+3)=f(x) ,当 数 a 的值.

时,f(x)=log2(ax ﹣2x+2) .若 f(35)=1,求实

2

考点: 交、并、补集的混合运算;函数的周期性;对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 2 (1)由条件知 ,ax ﹣2x+2>0 解集 (2)由 f(x)的周期为 3,知 f(35)=f(2) ,由此能求出 a. 解答: 解: (1)由条件知 即 ax ﹣2x+2>0 解集 ∴ a<0 且 ax ﹣2x+2=0 的二根为
2 2

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.由此能求出实数 a 的值.

, . .









(2)∵ f(x)的周期为 3, f(35)=f(3×11+2) =f(2) 2 =log2(a?2 ﹣4+2) =1,
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www.jyeoo.com 所以 a=1. 点评: 本题考查集合的混合运算和函数周期性的求法,解题时要认真审题,注意函数性质的灵活运用. 3. (2011?湖南模拟)集合 A={x|x ﹣ax+a ﹣19=0},B={x|x ﹣5x+6=0},C={x|x +2x﹣8=0}满足 A∩ B≠?,A∩ C=?, 求实数 a 的值. 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 计算题. 求出集合 B、集合 C,利用 A∩ B≠?,A∩ C=?,确定 2?A,3∈A,求出 a,验证 a 的正确性即可. 解:B={2,3},C={﹣4,2},而 A∩ B≠?,则 2,3 至少有一个元素在 A 中,
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2

2

2

又 A∩ C=?,∴ 2?A,3∈A,即 9﹣3a+a ﹣19=0,得 a=5 或﹣2 而 a=5 时,A=B 与 A∩ C=?矛盾, ∴ a=﹣2 点评: 本题属于以方程为依托,求集合的交集补集的基础题,考查元素与集合之间的关系,也是高考常会考的题 型. 4.设 U=R,集合 A={x|x +3x+2=0},B={x|x +(m+1)x+m=0};若(?UA)∩ B=?,求 m 的值. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 2 分析: 先化简集合 A,集合 B 是表示二次方程 x +(m+1)x+m=0 的解集,再由(CUA)∩ B=?,得 B?A,最后结 合子集的含义对 m 进行分类讨论即可求 m 的值. 解答: 解:A={﹣2,﹣1},由(CUA)∩ B=?,得 B?A, 得 B={﹣1}或={﹣2}或={﹣1,﹣2},或? 当 B={﹣1}时,△ =0,方程只有一根 此时 m=1 时,B={﹣1},符合 B?A; 当 m≠1 时,B={﹣1,﹣m},而 B?A,∴ ﹣m=﹣2,即 m=2 ∴ m=1 或 2. 点评: 本题属于以一元二次方程为依托,求集合的包含关系的题,属于基础题.也是高考常会考的题型.
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2

2

2

5. (2010?苏州模拟)已知函数

(a、b∈R) ,

(Ⅰ )若 f(x)在 R 上存在最大值与最小值,且其最大值与最小值的和为 2680,试求 a 和 b 的值; (Ⅱ )若 f(x)为奇函数: (1)是否存在实数 b,使得 f(x)在 为增函数, 为减函数,若存在,求出 b 的值,若

不存在,请说明理由; (2)如果当 x≥0 时,都有 f(x)≤0 恒成立,试求 b 的取值范围. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 综合题;压轴题;分类讨论. 分析: (I)第一问根据函数解析式的特征可以判断 b=0,再把函数变形后利用三角函数有界性来求解出函数的最 值.
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(II)第二问利用 f(x)为奇函数求出 a=0(1)中因为 x= 先判断函数的单调性再利用其求出函数最值. 解答: 解: (Ⅰ )∵ f(x)在 x∈R 上存在最大值和最小值, ∴ b=0(否则 f(x)值域为 R) ,
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是函数的极值即

得出 b=0(2)

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2

?3y ﹣4ay+a ﹣1≤0,

2

2

又△ =4a +12>0,由题意有



∴ a=2010; (Ⅱ )若 f(x)为奇函数,∵ x∈R,∴ f(0)=0?a=0, ∴ , ,

(1)若?b∈R,使 f(x)在(0, 则 ∴ b=0 并且当 当 ,

)上递增,在(

,π)上递减,

时,f'(x)>0,f(x)递增, 时 f'(x)<0,f(x)递减,

∴ 当 b=0 时满足题意. (2)① △ =4[(1﹣2b) +b(1﹣4b)]=4(1﹣3b) 若△ ≤0,即 ,则 f'(x)≤0 对?x≥0 恒成立,这时 f(x)在[0,+∞)上递减,
2

∴ f(x)≤f(0)=0, ② 若 b<0,则当 x≥0 时,﹣bx∈[0,+∞) , 等于 0, ③ 若 b=0,则 ④ 若 则 , ,f'(π)=﹣b﹣1<0, 不合题意, , 不可能恒小于

∴ ?x0∈(0,π) ,使 f'(x0)=0,x∈(0,x0)时,f'(x)>0, 这时 f(x)递增,f(x)>f(0)=0,不合题意, 综上 .

点评: 导数解三角函数题目,不仅方法新颖,而且简单易懂,便于掌握.常见的三角函数有关的极(最)值、三 角函数的单调性若能从导数这一角度去考虑将给我们展示一种全新的视野. 6.已知函数 的定义域为 M.

(1)求 M; x+2 x (2)当 x∈M 时,求 f(x)=a?2 +3?4 (a>﹣3)的最小值.

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www.jyeoo.com 考点: 函数的定义域及其求法;指数函数综合题. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: (1)由题意列出不等式组
x

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,求出解集再用区间表示;

(2)用配方法对解析式变形,设 t=2 由(1)的结果求出 t 的范围,则原函数变成关于 t 的二次函数,再根 据对称轴和 t 的范围进行分类,由二次函数的性质求出对应的最小值. 解答: 解: (1)由题意得, , ,解得﹣1≤x<1

∴ 函数的定义域 M=[﹣1,1) . (2)f(x)=a?2
x+2

+3?4 )=4a?2 +3?2 =3
x

x

x

2x

﹣ a,

2

由(1)知,x∈[﹣1,1) ,设 t=2 ,则 t∈[ ,2) , 函数变为 g(t)=3 ① 若 ﹣ a ,又∵ a>﹣3,∴
2



≤ 时,即 a≥﹣ ,函数 g(t)在[ ,2)上时增函数, ﹣ a =2a+ , 时,f(x)取到最小值是﹣ a .
2 2 2

∴ f(x)的最小值是 g( )=3 ② 若 <

<2 时,即﹣3<a<﹣ ,当 t=

综上,当 a≥﹣ 时,f(x)的最小值是 2a+ ;当﹣3<a<﹣ ,f(x)的最小值是﹣ a . 点评: 本题是一道综合题,考查了求函数的定义域和最值,用了对数函数、指数函数和二次函数的性质,利用换 元法对函数解析式进行转化后再求函数的最值,注意换元后的定义域和对称轴的位置. 7. (2012?宣威市模拟)已知函数 f(x)对任意实数 x,y 恒有 f(x+y)=f(x)+f(y)且当 x>0,f(x)<0.又 f(1)=﹣2. (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)求函数 f(x)在区间[﹣3,3]上的最大值; 2 (3)解关于 x 的不等式 f(ax )﹣2f(x)<f(ax)+4. 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的性质;函数的最值及其几何意义. 分析: (1)先求 f(0)=0,再取 y=﹣x,则 f(﹣x)=﹣f(x)对任意 x∈R 恒成立,故可得函数为奇函数; (2)先判断函数在(﹣∞,+∞)上是减函数,再求 f(﹣3)=﹣f(3)=6,从而可求函数的最大值; 2 (3)利用函数为奇函数,可整理得 f(ax ﹣2x)<f(ax﹣2) ,利用 f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数, 2 可得 ax ﹣2x>ax﹣2,故问题转化为解不等式. 解答: 解: (1)取 x=y=0,则 f(0+0)=2f(0) ,∴ f(0)=0…1′ 取 y=﹣x,则 f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)∴ f(﹣x)=﹣f(x)对任意 x∈R 恒成立∴ f(x)为奇函数.…3′ (2)任取 x1,x2∈(﹣∞,+∞)且 x1<x2,则 x2﹣x1>0,∴ f(x2)+f(﹣x1)=f(x2﹣x1)<0,…4′ ∴ f(x2)<﹣f(﹣x1) , 又 f(x)为奇函数∴ f(x1)>f(x2) ∴ f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数.∴ 对任意 x∈[﹣3,3],恒有 f(x)≤f(﹣3)…6′ 而 f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=﹣2×3=﹣6,
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www.jyeoo.com ∴ f(﹣3)=﹣f(3)=6,∴ f(x)在[﹣3,3]上的最大值为 6…8′ 2 (3)∵ f(x)为奇函数,∴ 整理原式得 f(ax )+f(﹣2x)<f(ax)+f(﹣2) , 2 进一步得 f(ax ﹣2x)<f(ax﹣2) , 而 f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数, ∴ ax ﹣2x>ax﹣2…10′ ∴ (ax﹣2) (x﹣1)>0. ∴ 当 a=0 时,x∈(﹣∞,1) 当 a=2 时,x∈{x|x≠1 且 x∈R} 当 a<0 时, 当 0<a<2 时, 当 a>2 时, …12′
2

点评: 本题考查抽象函数的性质,赋值法事常用方法,同时借助于函数的单调性,抽象函数的不等式问题可以转 化为具体函数求解. 8. (2010?青州市模拟)已知函数 f(x)=x +lnx﹣ax. (1)若 f(x)在(0,1)上是增函数,求 a 得取值范围; 2x x (2)在(1)的结论下,设 g(x)=e +|e ﹣a|,x∈[0,ln3],求函数 g(x)的最小值. 考点: 函数的最值及其几何意义;函数单调性的性质. 专题: 计算题;转化思想. 分析: (1)本题知道了函数在(0,1)上是增函数,求 a 范围,可以转化为 f'(x)>0 在(0,1)上恒成立,由 此求解参数范围即可; (2)本题先用换元法将复合函数变成关于变量的分段二次函数,然后在两段时分别研究,求出每一段上的 最小值,再取两者中的较小者即可. 解答: 解: (1)f'(x)=2x+ ﹣a, (1 分)
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2

∵ f(x)在(0,1)上是增函数, ∴ 2x+ ﹣a>0 在(0,1)上恒成立,即 a<2x+ 恒成立. ∵ 2x+ ≥ (当且仅当 x= 时取等号) ,所以 a< . (4 分)

当 a= 时,易知 f(x)在(0,1)上也是增函数,所以 a≤ . (5 分) x 2 (2)设 t=e ,则 h(t)=t +|t﹣a|, ∵ x∈[0,ln3],∴ t∈[1,3]. (7 分) 2 当 a≤1 时,h(t)=t +t﹣a,在区间[1,3]上是增函数,所以 h(t)的最小值为 h(1)=2﹣a. (9 分) 当 1<a≤ 时,h(t)= .

因为函数 h(t)在区间[a,3]上是增函数,在区间[1,a]上也是增函数,所以 h(t)在[1,3]上为增函数, 所以 h(t)的最小值为 h(1)=a. (14 分) 所以,当 a≤1 时,g(x)的最小值为 2﹣a;当 1<a≤ 时,g(x)的最小值为 a. (15 分) 点评: 本题的考点是函数的最值及其几何意义,考查了函数单调性与导数的关系,考查了不等式恒成立求参数问 题的转化方向,利用单调性求函数的最小值.涉及到的知识点较多,综合性强. 9. (2008?嘉定区一模)已知函数 f(x)=ax ﹣|x|+2a﹣1(a 为实常数) . (1)若 a=1,求 f(x)的单调区间;
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www.jyeoo.com (2)若 a>0,设 f(x)在区间[1,2]的最小值为 g(a) ,求 g(a)的表达式; (3)设 ,若函数 h(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数 a 的取值范围.

考点: 函数的单调性及单调区间;函数单调性的性质;函数的最值及其几何意义. 专题: 综合题;分类讨论. 分析: (1)由 a=1,将函数转化为分段函数,进而每一段转化为二次函数,用二次函数法求得每段的单调区间即 可. (2)受(1)的启发,用二次函数法求函数的最小值,要注意定义域,同时由于 a 不具体,要根据对称轴 分类讨论. (3)由“函数 h(x)在区间[1,2]上是增函数”要转化为恒成立问题.可用单调性定义,也可用导数法. 解答:
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解: (1)a=1,f(x)=x ﹣|x|+1=

2

(2 分)

∴ f(x)的单调增区间为( f(x)的单调减区间为(﹣ (2)由于 a>0,当 x∈[1,2]时, ① 若 ② 若 ③ 若 ,即 ,即 ,即

) , (﹣ ,0) ; ) , ( ) (4 分)

,则 f(x)在[1,2]为增函数 g(a)=f(1)=3a﹣2 , 时,f(x)在[1,2]上是减函数:

g(a)=f(2)=6a﹣3.

综上可得

(10 分)

(3)

在区间[1,2]上任取 x1、x2,



= ∵ h(x)在[1,2]上是增函数 ∴ h(x2)﹣h(x1)>0 ∴ (*)可转化为 ax1x2﹣(2a﹣1)>0 对任意 x1、x2∈[1,2] 且 x1<x2 都成立,即 ax1x2>2a﹣1 ① 当 a=0 时,上式显然成立
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(*) (12 分)

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www.jyeoo.com ② a>0, ③ a<0, ,由 1<x1x2<4 得 ,由 1<x1x2<4 得, (16 分) ,解得 0<a≤1 ,得

所以实数 a 的取值范围是

点评: 本题主要考查分段函数,考查求其单调区间,方法是一段一段地求出即可,考查求其最值,方法是每一段 求出其最值,各段中最大的为最大值,最小的为最小值,考查其单调性的应用,这类问题要转化为恒成立 问题,实质还是研究最值,这里就会涉及到构造新函数的问题. 10. (2012?长宁区一模)设函数 f(x)=a ﹣(k﹣1)a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 值; (2)若 f(1)<0,试判断函数单调性并求使不等式 f(x +tx)+f(4﹣x)<0 恒成立的 t 的取值范围; (3)若 f(1)= ,且 g(x)=a +a
2x
﹣2x

x

﹣x

2

﹣2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为﹣2,求 m 的值.

考点: 指数函数综合题;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)根据奇函数的性质可得 f(0)=0,由此求得 k 值.
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(2)由 f(x)=a ﹣a (a>0 且 a≠1) ,f(1)<0,求得 1>a>0,f(x)在 R 上单调递减,不等式化为 f 2 2 (x +tx)<f(x﹣4) ,即 x +(t﹣1)x+4>0 恒成立,由△ <0 求得 t 的取值范围. (3)由 f(1)= 求得 a 的值,可得 g(x)的解析式,令 t=f(x)=2 ﹣2 ,可知 f(x)=2 ﹣2
2 x
﹣x

x

﹣x

x

﹣x

为增函

数,t≥f(1) ,令 h(t)=t ﹣2mt+2, (t≥ ) ,分类讨论求出 h(t)的最小值,再由最小值等于 2,求得 m 的 值. 解答: 解: (1)∵ f(x)是定义域为 R 的奇函数,∴ f(0)=0,…(2 分) ∴ 1﹣(k﹣1)=0,∴ k=2.…(4 分) (2)∵ 函数 f(x)=a ﹣a (a>0 且 a≠1) , ∵ f(1)<0,∴ a﹣ <0,又 a>0, ∴ 1>a>0.…(6 分) 由于 y=a 单调递减,y=a 单调递增,故 f(x)在 R 上单调递减. 2 不等式化为 f(x +tx)<f(x﹣4) . 2 2 ∴ x +tx>x﹣4,即 x +(t﹣1)x+4>0 恒成立,…(8 分) 2 ∴ △ =(t﹣1) ﹣16<0,解得﹣3<t<5.…(10 分) (3)∵ f(1)= ,a﹣ = ,即 2a ﹣3a﹣2=0,∴ a=2,或 a=﹣ (舍去) .…(12 分) ∴ g(x)=2 +2 ﹣2m(2 ﹣2 )=(2 ﹣2 ) ﹣2m(2 ﹣2 )+2. ﹣x ﹣x x x 令 t=f(x)=2 ﹣2 ,由(1)可知 k=2,故 f(x)=2 ﹣2 ,显然是增函数. ∵ x≥1,∴ t≥f(1)= , 令 h(t)=t ﹣2mt+2=(t﹣m) +2﹣m
2 2 2 2 2x
﹣2x

x

﹣x

x

﹣x

2

x

﹣x

x

﹣x

2

x

﹣x

(t≥ )…(15 分)

若 m≥ ,当 t=m 时,h(t)min=2﹣m =﹣2,∴ m=2…(16 分) 若 m< ,当 t= 时,h(t)min= ﹣3m=﹣2,解得 m= > ,舍去…(17 分)

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www.jyeoo.com 综上可知 m=2.…(18 分) 点评: 本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用,函数的奇偶性的应用,以及函数的恒成立问题,属于中档 题. 11. (2004?宝山区一模)已知 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; (2)证明:对任意实数 b,函数 y=f(x)的图象与直线 (3)设 围. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用;偶函数. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)根据偶函数可知 f(x)=f(﹣x) ,取 x=﹣1 代入即可求出 k 的值;
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x

最多只有一个交点;

,若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数 a 的取值范

(2)由(1)中结论,可以得到函数的解析式,构造函数 y=log4(4 +1)﹣x,分析出函数的单调性及值域, 根据函数零点的判定方法,我们易确定 b 取不同值时,函数零点个数,进而得到答案. (3)函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,则方程 f(x)=g(x)有且只有一个实根,化简可 得 有且只有一个实根,令 t=2 >0,则转化才方程
x

x

有且

只有一个正根,讨论 a=1,以及△ =0 与一个正根和一个负根,三种情形,即可求出实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)∵ f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数. ∴ f(﹣x)=f(x) 即 log4(4 +1)﹣kx=log4(4 +1)+kx x x 即 log4(4 +1)﹣(k+1)x=log4(4 +1)+kx 即 2k+1=0 ∴ k= 证明: (2)由(1)得 f(x)=log4(4 +1) 令 y=log4(4 +1)﹣x x 由于 y=log4(4 +1)﹣x 为减函数,且恒为正 故当 b>0 时,y=log4(4 +1)﹣x﹣b 有唯一的零点,此时函数 y=f(x)的图象与直线 当 b≤0 时,y=log4(4 +1)﹣x﹣b 没有零点,此时函数 y=f(x)的图象与直线 故对任意实数 b,函数 y=f(x)的图象与直线 最多只有一个交点;
x x x x
﹣x

x

x

x

有一个交点, 没有交点

(3)函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点 即方程 化简得:方程 令 t=2 >0,则方程 ① ,不合题意;
x

有且只有一个实根 有且只有一个实根 有且只有一个正根

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www.jyeoo.com ② 若 或﹣3 ,不合题意;若 ,即 a>1 时,满足题意.

③ 若一个正根和一个负根,则

所以实数 a 的取值范围为{a|a>1 或 a=﹣3} 点评: 本题主要考查了偶函数的性质,以及对数函数图象与性质的综合应用,同时考查了分类讨论的思想,由于 综合考查了多个函数的难点,属于难题. 12. (2013?普陀区二模)已知 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=loga(x+1) , (x) (1)求函数 F(x)的定义域 D 及其零点; (2)若关于 x 的方程 F(x)﹣m=0 在区间[0,1)内有解,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数的零点与方程根的关系;根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)可得 F(x)的解析式,由 可得定义域,令 F(x)=0,由对数函数的性质可解得 x 的值,
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,记 F(x)=2f(x)+g

注意验证即可; (2)方程可化为 可得吗的范围. 解答: 解: (1)F(x)=2f(x)+g(x)= (a>0 且 a≠1) ,设 1﹣x=t∈(0,1],构造函数 ,可得单调性和最值,进而



,可解得﹣1<x<1,

所以函数 F(x)的定义域为(﹣1,1) 令 F(x)=0,则 方程变为 …(*) ,即(x+1) =1﹣x,即 x +3x=0
2 2

解得 x1=0,x2=﹣3,经检验 x=﹣3 是(*)的增根,所以方程(*)的解为 x=0 即函数 F(x)的零点为 0. (2)方程可化为

= 故 函数 ,设 1﹣x=t∈(0,1] 在区间(0,1]上是减函数
m



当 t=1 时,此时 x=0,ymin=5,所以 a ≥1 m ① 若 a>1,由 a ≥1 可解得 m≥0,
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www.jyeoo.com m ② 若 0<a<1,由 a ≥1 可解得 m≤0, 故当 a>1 时,实数 m 的取值范围为:m≥0, 当 0<a<1 时,实数 m 的取值范围为:m≤0 点评: 本题考查函数的零点与方程的跟的关系,属中档题.

13. (2014?南昌模拟)已知 =(cosωx+sinωx, = ? ,且函数 f(x)的周期为 π.

cosωx) , =(cosωx﹣sinωx,2sinωx) ,其中 ω>0.设函数 f(x)

(Ⅰ )求 ω 的值; (Ⅱ )在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 a,b,c 成等差数列,当 f(B)=1 时,判断△ ABC 的形 状. 考 三角函数的周期性及其求法;三角形的形状判断. 点 : 专 综合题. 题 : 分 (I)根据向量积得出 f(x)=cos2ωx+ sin2ωx 进而化简成 f(x)=2sin(2ωx+ 析 : 案.
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) ,然后根据周期公式得出答

(II) 首先根据条件求出

, 进而由角的范围求出 B 的度数, 再由等差数列的性质得出 2b=a+c,

从而利用余弦定理求出角 B 的度数进而判断三角形的形状. 解 解: 答 (I) : ∵

∵ 函数 f(x)的周期为 π∴ T= (Ⅱ )在△ ABC 中 又∵ 0<B<π∴ ∵ 2B+ π

=π∴ ω=1 ∴

∵ a,b,c 成等差∴ 2b=a+c

∴ cosB=cos 化简得:a=c 又∵ B= ∴ △ ABC 为正三角形

点 本题考查了三角函数周期性的求法以及利用余弦定理判断三角形的形状,解题过程要特别注意角的范围,属于中 评 档题.
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www.jyeoo.com : 14. (2013?珠海二模)已知函 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示: (1)求 ω,φ 的值; (2)设 g(x)=2 f( )f( )﹣1,当 x∈[0, ]时,求函数 g(x)的值域.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的最值. 专题: 综合题. 分析: (1)通过函数的图象求出函数周期,求出 ω,利用 f(0)=﹣1 求出 φ,得到函数的解析式.
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(2)利用(1)的结果求出 g(x)的表达式,当 x∈[0, 的值域. 解答: 解: (1)由图象知:T=4( )=π,则:ω=

]时,求出 2x+



,然后求出函数

=2,…(2 分)

由 f(0)=﹣1 得:sinφ=﹣1,即:φ=kπ﹣ ∵ |ω|<π∴ φ=﹣ . …(6 分)

k∈Z,…(4 分)

(2)由(1)知:f(x)=sin(2x﹣ ∴ g(x)=2 f(x)f( sin(2x+ ∈

)=﹣cos2x,…(7 分) cosx[ ]﹣1

)﹣1=2

=cos2x+sin2x= 当 x∈[0,

) ,…(10 分) ,则 sin(2x+ )∈ ,

]时,2x+

∴ g(x)的值域为 .…(12 分) 点评: 本题是基础题,考查三角函数的图象的求法,三角函数的化简求值,考查计算能力,常考题型.

15. (2014?湖南一模)已知向量 原点. (Ⅰ )若 λ=2,α= (Ⅱ )若 |≥2

=(λcosα,λsinα) (λ≠0) ,

=(﹣sinβ,cosβ) ,

=(1,0) ,其中 O 为坐标

,β∈(0,π) ,且

,求 β 的值;

|对任意实数 α、β 都成立,求实数 λ 的取值范围.

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;向量的模. 专题: 平面向量及应用.

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www.jyeoo.com 分析: (1)根据给出的 λ 和 α 的值,求出向量 解得 β 的值; (2)把向量 和

,由向量的坐标差求出向量

,最后由向量垂直的坐标表示可

的模代入后得到关于 λ 的不等式 λ +1+2λsin(β﹣α)≥4,把不等式左边看作关于 λ 的

2

二次函数,分 λ>0 和 λ<0 求出函数的最小值,让最小值大于等于 4 可求解 λ 的范围. 解答: 解: (1)若 λ=2, 由 所以 (2)若 ,得: ,因为 ,则 , ,即 ,所以
2

, , ,所以
2



对任意实数 α,β 都成立,则(λcosα+sinβ) +(λsinα﹣cosβ) ≥4 对任意实数 α,β

都成立, 2 即 λ +1+2λsin(β﹣α)≥4 对任意实数 α,β 都成立, 所以, 或 ,解得:λ≥3 或 λ≤﹣3,

所以实数 λ 的取值范围是(﹣∞,﹣3]∪ [3,+∞) . 点评: 本题考查了向量的数量积判断两个向量的垂直关系,考查了向量的模,考查计算能力,数学转化思想和函 数思想,是中等难度的题目. 16. (2010?江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(﹣1,﹣2) 、B(2,3) 、C(﹣2,﹣1) . (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( )? =0,求 t 的值.

考点: 平面向量数量积的运算;向量在几何中的应用. 专题: 计算题. 分析: (1) (方法一) 由题设知 从而得:

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, 则





(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则: 由 E 是 AC,BD 的中点,易得 D(1,4) 从而得:BC= 、AD= ; (2)由题设知: 由( 从而得: )? . =(﹣2,﹣1) , =0,得: (3+2t,5+t)?(﹣2,﹣1)=0, .

或者由 解答:



,得:

解: (1) (方法一)由题设知

,则

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www.jyeoo.com . 所以 .

故所求的两条对角线的长分别为 、 . (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则: E 为 B、C 的中点,E(0,1) 又 E(0,1)为 A、D 的中点,所以 D(1,4) 故所求的两条对角线的长分别为 BC= 、AD= ; (2)由题设知: 由( )? =(﹣2,﹣1) , =0,得: (3+2t,5+t)?(﹣2,﹣1)=0, . .

从而 5t=﹣11,所以

或者:





点评: 本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查向量的坐标运算和基本的求解能力.

17. (2009?东城区二模)已知 (Ⅰ )设

=





=





,求 f(x)的最小正周期和单调递减区间; ,且 f(x1)=f(x2)=1,求 x1+x2 的值.

(Ⅱ )设有不相等的两个实数

考点: 平面向量数量积的运算;三角函数的周期性及其求法;余弦函数的单调性. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ )欲求 f(x)的最小正周期,先计算平面向量的向量积 ,再利用三角函数相关性质化简,最后
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利用公式 (Ⅱ )由于实数 的值. 解答: 解: (Ⅰ )由 分) = =cosx﹣sinx= =

求出最小正周期;根据化简得到的三角函数性质易求出单调递减区间. ,根据所求出的三角函数性质求出这两个实数,即可得到 x1+x2

得 f(x)=

. (4

(6 分)

所以 f(x)的最小正周期 T=2π, (8 分) 又由 ,k∈Z,

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www.jyeoo.com 得 故 f(x)的单调递减区间是 (Ⅱ )由 f(x)=1 得 故 又 所以 . ,于是有 . (13 分) ,得 (12 分) , ,k∈Z、 (k∈Z) 、 . (10 分)

点评: 本题考查平面向量的数量积运算,同时考查三角函数的相关性质.
2

18. (2014?江西)已知函数 f(x)=(a+2cos x)cos(2x+θ)为奇函数,且 f( (1)求 a,θ 的值; (2)若 f( )=﹣ ,α∈( ,π) ,求 sin(α+ )的值.

)=0,其中 a∈R,θ∈(0,π) .

考点: 三角函数中的恒等变换应用;函数奇偶性的性质. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)把 x= 代入函数解析式可求得 a 的值,进而根据函数为奇函数推断出 f(0)=0,进而求得 cosθ,则
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θ 的值可得. (2) 利用 f ( ) =﹣ 和函数的解析式可求得 sin , 进而求得 cos , 进而利用二倍角公式分别求得 sinα,

cosα,最后利用两角和与差的正弦公式求得答案. 解答: 解: (1)f( )=﹣(a+1)sinθ=0,

∵ θ∈(0,π) . ∴ sinθ≠0, ∴ a+1=0,即 a=﹣1 ∵ f(x)为奇函数, ∴ f(0)=(a+2)cosθ=0, ∴ cosθ=0,θ= .
2

(2)由(1)知 f(x)=(﹣1+2cos x)cos(2x+ ∴ f( )=﹣ sinα=﹣ ,

)=cos2x?(﹣sin2x)=﹣



∴ sinα= , ∵ α∈( ∴ cosα= ,π) , =﹣ ,

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www.jyeoo.com ∴ sin(α+ )=sinαcos +cosαsin = .

点评: 本题主要考查了同角三角函数关系,三角函数恒等变换的应用,函数奇偶性问题.综合运用了所学知识解 决问题的能力.

19. (2014?蓟县一模)已知 A,B,C 是△ ABC 三内角,向量 =(﹣1, (1)求角 A; (2)若 =﹣3,求 tanB.

) , =(cosA,sinA) ,且

=1.

考点: 两角和与差的正弦函数;平面向量数量积的运算;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: (1)由两向量的坐标及 ? =1,利用平面向量的数量积运算法则列出关系式,关系式左边提取 2,利用两
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角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数, 求出这个正弦函数的函数值, 由A 为三角形的内角,求出这个角的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数; (2)将已知等式分子中的 1 利用同角三角函数间的基本关系化为 sin B+cos B,整理后根据 cosB 不为 0, 2 在等式左右两边同时除以 cos B,利用同角三角函数间的基本关系弦化切后得到关于 tanB 的方程,求出方 程的解即可得到 tanB 的值. 解答: 解: (1)∵ (﹣1, ∴ sinA﹣cosA=2( ∴ sin(A﹣ )= , <A﹣ < , ) , (cosA,sinA) ,且 ? =1, sinA﹣ cosA)=2sin(A﹣ )=1,
2 2

∵ 0<A<π,∴ ﹣ ∴ A﹣ ∴ A= = ; ,

(2)由题知
2 2

,且 sin B+cos B=1,

2

2

整理得:sin B﹣sinBcosB﹣2cos B=0, 2 ∴ cosB≠0,即 cos B≠0, 2 2 ∴ 等式左右两边除以 cos B 得:tan B﹣tanB﹣2=0, ∴ tanB=2 或 tanB=﹣1, 2 2 而 tanB=﹣1 使 cos B﹣sin B=0,舍去, ∴ tanB=2. 点评: 此题考查了两角和与差的正弦函数公式,平面向量的数量积运算法则,同角三角函数间的基本关系,以及 特殊角的三角函数值,本题第二问注意舍去使原式分母为 0 的 tanB 的值.

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www.jyeoo.com 20. (2013?四川)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2cos =﹣ . (Ⅰ )求 cosA 的值; (Ⅱ )若 a=4 ,b=5,求向量 在 方向上的投影.
2

cosB﹣sin(A﹣B)sinB+cos(A+C)

考点: 两角和与差的余弦函数;向量数乘的运算及其几何意义;二倍角的正弦;二倍角的余弦;余弦定理. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (Ⅰ )由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数,求出 A 的余弦值,然后求 sinA 的值; (Ⅱ )利用 ,b=5,结合正弦定理,求出 B 的正弦函数,求出 B 的值,利用余弦定理求出 c 的大小. 解答: 解: (Ⅰ )由
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可得 可得 即 即 , ,所以 , = , , ,



(Ⅱ )由正弦定理,

由题意可知 a>b,即 A>B,所以 B= 由余弦定理可知 解得 c=1,c=﹣7(舍去) . 向量 在 方向上的投影:



=ccosB=



点评: 本题考查两角和的余弦函数,正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识,考查计算能 力转化思想.

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