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2.1等差数列


上两节课我们共同学习了数列的定义及给 出数列的两种方法——通项公式和递推公式。 这两个公式从不同的角度反映数列的特点,下 面看这样一些例子 1, 2, 3, 4, 5, 6 ;

2, 2, 2, 2, 2, 2 , 2;

新课导入
1、某剧场前十排的座位数分别是:
48, 50, 52, 54, 56, 58,60

, 62, 64, 66 . 2、某运动员7天里的训练量是: 7550, 8050,8550, 9050, 9550, 10050,10550.

这些数列有什么特点,下面我们来学 习。。。

好好学习 天天向上

1.2 等差数列
第一课时

遂平一高 魏海群

a

教学目标
知识与能力
(1)理解等差数列的定义. (2)理解并掌握等差数列的通项 公式,能运用公式解决简单的问题.

教学重难点
重点: (1)等差数列的概念的理解与掌握.
(2)等差数列的通项公式的推导及应用. 难点: 等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.

1、 观察与思考 :下面的几个数列

4,5,6,7,8,9,10
3,0,-3,-6,-9,-12




0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6 …
从第2项起它们的后一项与前一项的差有什 麽特点?

想一想

分析:后一项与前一项的差的特点是:
1, 1, 1, 1, 1, 1 … 是常数1.

-3,-3,-3,-3,-3 …

是常数-3.

0.1,0.1, 0.1,0.1, 0.1 … 是常数0.1.

这些数列的共同特点:从第二项起,每 一项的差都等于同一常数.

等差数列的概念
一般地,如果一个数列从第二项起,每 一项与它的前一项的差等于同一个常数,那 么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做 等差数列的公差.公差通常用字母d表示.

等差数列公差的知识要点
1.an-an-1=d (n≥2)(数学表达式)

2.等差数列要求从第2项起,后一项与 前一项作差.不能颠倒

3.作差的结果要求是同一个常数. 可以是整数,也可以是0和负数.

小练习
(1) (2) (3) (4)

判断是否为等差数列

1 , 2 , 4 , 6 , 8 ,10 , 12 ,? -3, -2 , 1 , 3 , 5 , 7 , ? 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 ,? 1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 16 , ?

解析(1)、该数列的第2项与第一

项的差是1,其余的后一 项与 前一项的差
都是2.不符合等差数的定义 要求从第2项 起后项与前项的差是同一个常数. 所以, 它不是等差数列.

(2)不是. 理由同(1).

(3)是. 它符合等差数列的定义.

(4)不是。因为他从第2项起后项与前项 的差是 :1,2 , 3 ,4 ,5 ,‥‥是常数, 但不是同一常数. 所以不是.
注意: 1、等差数列要求从第2项起,后一项与 前一项作差. 不能颠倒. 2、作差的结果要求是同一个常数. 可以是整数,也可以是0和负数.

等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d 那么根据等差数列的定义得: a2-a1=d, a3-a2=d, a4-a3=d, …所以 a2=a1+d,a3=a1+2d, a4=a1+3d …

由此得到
an=a1+(n-1)d

当n=1时,上面等式两边均为a1,即等 式也是成立的,这表明n∈N+时上面公式都 成立,因而它就是等差数列的通项公式.

an=a1+(n-1)d 这种方法叫迭代法,是解决递推关 系的主要方法。

拓展:

an ? a1 ? (n ? 1)d

a 2 ? a1 ? d
a4 ? a 3 ? d

a3 ? a2 ? d

am ? a1 ? (m ? 1)d

…… +) an ? an?1 ? d

?an ? am ? (n ? m)d
可得

an ? a1 ? (n ? 1)d

an ? am ? (n ? m)d
可简便求出公差

例 1:
(1)、已知等差数列的首项 a1是3,
公差 d 是2,求它 的通项公式.

(2)、求等差数列 10 ,8 , 6 ,4 , ‥‥的第20项.
(3)、 -401是不是等差数列 –5 , -9 , -13 ,‥‥的项 ?如果是,是第几项?

(1)分析:知道a1 ,d,求an 。代 入通项公式。 解: ∵ a1=3 , d=2 ∴ an=a1+(n-1)d =3+(n-1) ×2 =2n+1

(2)分析:根据a1=10,d= -2,先求 出通项公式an ,再求出a20 解: ∵ a1=10, d=8-10= -2 , n=20 由an=a1+(n-1)d 得 ∴ a20 =a1+(n-1)d =10+(20-1)×(-2) = -28

(3)分析:根据a1= -5,d= -4,先 求出通项公式an ,再把 –401代入,然 后看是否存在正整数n . 解: ∵ a1= -5, d= -9-(-5)= -4 ∴ an= -5+(n-1) ×(-4) = -4n-1 ∵ -401= -4n-1

∴n=100
∴ -401是该数列的第100项.

例2:
在等差数列{an}中 ,已知a6=12 ,a18=36 , 求首项a1 ,公差 d 及通项an .

分析: 此题已知a6=12 ,n=6 ;a18=36 ,
n=18分别代入通项, 公式an = a1+(n-1)d 中 ,

可得两个方程,都含a1与d两个未知 数组成方
程组,可解出a1与d .

解: 由题意可得
a1+5d=12
a1+17d=36 ∴ d=2 ∴ a1 =2




an = 2+(n-1) ×2 = 2n

小试牛刀
本题主要考查等差数列的通项公式,属 于最基本的题目.

1.在等差数列{an}中,
(1)已知 a4=10 , a7=19 ,求 a1与 d . (2)已知 a3=9 , a9=3 ,求 a12 .

解: (1)由题意得

a1+3d= 10



a1+6d=19
解得: d=3 , a1=1 (2)由题意得 a1+2d= 9 a1+8d=3 ① ②



解得: d= -1 , a1=11 ∴ an=11-1(n-1)=12-n ∴ a12= 12-12 =0

第二课时 等差数列的性质

(1)数列{an}是等差数列?an+1-an=d(常数). (2)数列{an}是等差数列?an=a1+(n-1)d . (3)数列{an}是等差数列?an=am+(n-m)d. (4)数列{an}是等差数列?an=dn+b,其中d,b为常数. (等差数列可类比一次函数)

(1)对于任意正整数n,都有an+1-an=a2-a1; (2){an}的通项公式:an=dn+(a1-d); (3)对于任意正整数m,n,q,p,若m+n=q+p, 则am+an=ap+aq. (4)从等差数列中,每隔一定项数抽取一项所 构成的新数列仍是等差数列。

等差数列的单调性
由数列的单调性定义,易得 {an}为递增数列? d>0

{an}为递减数列? d<0
{an}为常数列? d=0

知识要点

等差中项

如果在a与b中间插入一个数A,使a, A,b成等差数列,那么A应满足什么 条件? 由a,A, b成等差数列,得 A-a=b-A 所以A=
a ?b 2

如果a,A,b成等差数列,那么A叫做 a与b的等差中项.

例 1、
若a1+a4+a7=39, a2+a5+a8=33,则 a3+a6+a9= ——.

分析:这是一组求等差数列中某些元
素的问题,考察等差数列的基本参数和其

性质.

解:
数列a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9也是 等差数列,所以: 2( a2+a5+a8 )=( a1+a4+a7 )+ ( a3+a6+a9 )

所以: a3+a6+a9=2×33-39=27

高考链接
1.(2009 湖南)设Sn是等差数列{an}的 前n项和,已知a2=3,a6=11,则s7等于 (C )

A. 13

B.35

C.49

D.63

a 2? a 6 解析:a4= 2 =7,s7=7a4=49.

2.(2009 辽宁)设an是等差数列,已知 a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于 ( B ) 1 1 A. -2 B.C. D.2 2 2 解析:a7-2a4=a3+4d-2a3-2d=2d-a3=1, 所以d=- 1 .
2

课堂小结
1、 等差数列的概念.必须从第2项起后项
减去前项,并且差是 同 一常数. 2、等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 知道其中三 个(或两个)字母变量,可用列方

程(或方程组)的方法,求余下的一个(或两
个)变量。这即是方程思想的应用。

3、等差数列{an}中an=a1+(n-1) d,可整理为an=dn+(a1-d). 4、如果a,A,b成等差数列,那

么A叫做a与b的等差中项.

记一记

随堂练习
1、做一做:
(1)、求等差数列 3 ,7 , 11 ,‥‥的 第4项和第10项。

(2)、100是不是等差数列 2 ,9 , 16 ,‥‥的项?如果是,是第几项?如果不 是,说明理由。 (3)、 -20是不是等差数列 0 ,-3.5 ,7 ,‥‥的项?如果是, 是第几项?如果不 是,说明理由。

答案:
(1)∵ a1=3 , d=7-3= 4 ∴ an=3+4(n-1)

= 4n-1
∴ a4=4×4-1=15 ,

a10=4×10 –1=39.

(2)∵ a1=2 ,d=9-2=7
∴ an=2+7(n-1) = 7n-5 ∵ 100=7n-5 ∴ n =15

∴ 100是该数列的第15项.

(3)∵ a1=0 , d= -3.5 -0= -3.5 ∴ an=0-3.5(n-1) = -3.5n+3.5 ∵ -20= -3.5n+3.5无正整数解

∴ -20不是该数列的项.
已知等差数列的通项公式,an , a1 , n , d 这四个变量,知道其中三个量就可以求 余下的一个量.

在解题过程中灵活运用等差数 列的性质是提高解题速度的关键。

高考pk,不让一招一式.

(05年福建)已知等差数列{an}中, a7+a9=16,a4=1, 则a12的值是( )

解析高考
利用公式

对于任意正整数m,n,q,p,若 m+n=q+p,则am+an=ap+aq a7+a9=a4+a12
带入得a12=15.

高考预测题
高瞻远瞩,不弃一草一木.

若a1-a4-a8-a12+a15=2,则 a3+a13= ——.

解析:
法一:由条件式,可得a1-(a1+3d)(a1+7d)-(a1+11d)+(a1+14d)=2得: a1+7d=-2 所以a3+a13=2a8=2(a1+7d)=-4 法二:2a8=a1+a15=a4+a12, a8=-2所以a3+a13=2a8=-4


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