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全国高中数学联赛江苏赛区2013年初赛试题答案

时间:2017-09-19


全国高中数学联赛江苏赛区 2013 年初赛试题答案
班级____________ 姓名____________

一、填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1.设方程 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 1 ? 0 的根大于 ?2 ,且小于 4,则实数 m 的范围是____________. 解:方程 x 2 ? 2mx ?

m 2 ? 1 ? 0 的两根为: x1 ? m ? 1 , x2 ? m ? 1 ;
?m ? 1 ? ?2 由题设可得: ? ,解之可得: ?1 ? m ? 3 . ?m ? 1 ? 4

(点评:本题易让人首先想到“根的分布” ,而事实上求出根来,其法也不错! ) 2.从 6 双不同号码的鞋中取出 4 只,至少配成一双的概率为____________. 解:若成两双,则有 C62 种取法;若成一双,则先在 6 双中取 1 双,再在剩下 5 双中取两双,每双各 取其中 1 只;故概率为: P ?
1 1 1 C62 ? C6 ? C52 ? C2 ? C2 17 ? . 4 33 C12

(点评:本题是极其经典的排列组合题,仅有一双的取法,必须牢记,还要会举一反三! ) 3.设实数 x、y 满足 x 2 ? 4 x ? y ? 3 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最大值与最小值之差是____________. 解:由题意可知:点 ( x, y ) 在圆 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 上, x 2 ? y 2 表示圆 C 上的点到原点距离的平方, 其最大值为 9,最小值为 1;所以 x 2 ? y 2 的最大值与最小值的差为 8. (点评:凡与圆有关的问题,毫不外地要考虑好圆心,还有几何意义! ) 4.若存在正实数 a、b 满足 (a ? bi)n ? (a ? bi) n ( i 是虚数单位, n ? N * ) ,则 n 的最小值是_______. 解:当 n ? 1, 2 时,经过计算,不存在正实数 a, b 满足 (a ? bi)n ? (a ? bi) n ,

1 3 当 n ? 3 时,取 a ? , b ? ,使得 (a ? bi)n ? (a ? bi)n ? ?1 ,故 n 的最小值是 3. 2 2
(点评:本题易让人首先想到“二项式展开” ,从一开始,验证!整数问题的“回马枪” .) 5.若 ?ABC 的三边 AB、BC、AC 成等差数列,则 ?A 的取值范围是____________. 解:令 ?ABC 的 ?A 、?B、?C 所对的边分别为 a、 b、 c ;则由题意可知: 2a ? b ? c ; 由余弦定理可得:

b2 ? c2 ? a2 3b2 ? 3c2 ? 2bc 3(b ? c)2 ? 4bc ; ? ? 2bc 8bc 8bc
1 ,当且仅当 b ? c 时,等号成立; 2

因为 b、c 是正实数,所以 cos A ? 由 0 ? A ? ? ,可知: 0 ? A ?

?
3



(点评:绝对的常规题!应该放在第 1 小题.)
1

6.若数列 {an } 满足 a4 ? 9 , (an ?1 ? an ? 1)(an ?1 ? 3an ) ? 0 ( n ? N * ) ,则满足条件的 a1 的所有可能值之 积是____________. 解:由 (an ?1 ? an ? 1)(an ?1 ? 3an ) ? 0 可知: an ?1 ? an ? 1 ? 0 或 an ?1 ? 3an ? 0 ; 因为 a4 ? 9 ,所以 a 3 可能是 3,同理 a 2 可能为 1,从而推知 a1 可能为 0; 因此,符合条件的一个数列的前四项可以是 0,1,3,9;故所有可能值之积为 0. (点评:小题应小做,小题若大做,则上了命题人的当! ) 7.已知 f ( x) ? x 2 ? 94 x ? 2013 ,则 ? ( f (n) ? f (n) ) ? ___________.
n ?30 60

解:取值代入可知: f (30) ? 93 , f (31) ? 60 , f (32) ? 29 , f (33) ? 0 ; 当 n ? 34, 35, ? , 60 时, f (n) ? 0 ,从而有 f (n) ? f (n) ? 0 ; 所以,

n ?30

? ( f (n) ?

60

f (n) ) ? 2 ? (93 ? 60 ? 29) ? 364 .

(点评:数据大的问题,常常是“纸老虎” ,分清类别第一重要,各个击破重要手段! )

1 8.设 x、y ? [0, 2? ] ,且满足 2sin x ? cos y ? sin x ? cos y ? ? ,则 x ? y 的最大值为___________. 2 1 解:由 2sin x ? cos y ? sin x ? cos y ? ? ,可得: (2sin x ? 1)(2cos y ? 1) ? 0 ; 2 1 1 所以 sin x ? ? ,或 cos y ? ? ; 2 2
所以有 x ? 或y?

7? 11? 或 ,此时 y 可以取 [0, 2? ] 内的任意值; 6 6 2? 4? 或 ,此时 x 可以取 [0, 2? ] 内的任意值; 3 3 11? 23? . ? 2? ? 6 6

所以 x ? y 的最大值为:

(点评:平时难得见这类题!思维若呆板,定是要楞一会儿,别人一点拔,啊!我也会嘛! ) 9.已知正四面体 ABCD 的棱长为 9,点 P 是平面 ABC 上的一个动点,满足 P 到平面 DAB 、 DBC 、

DCA 的距离成等差数列,则点 P 到平面 DCA 距离的最大值是____________.
解:记点 P 到平面 DAB、DBC、DCA 的距离分别为 d1、d 2、d3 ; 则 d1 ? d 2 ? d3 为正四面体 ABCD 的高 3 6 ,由于 d1、d 2、d3 成等差数列, 故点 P 到平面 DCA 的距离的最大值为 2 6 . (注:此时是极端情形 d1 ? 0 ) (点评:绝对的常规题!应该放在第 2 题,因为想到极端情况,还是有一点意外的!)

2

10.将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数,这个四位数为完全平方数, 再过 31 年,将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数,这个数仍为完全平方数,小王 现在的年龄是____________. 解:设小王现在的年龄是 a ,小孙现在的年龄是 b ; 设 a 有 m 个数字, b 有 n 个数字,由已知得: m ? n ? 4 ; 如果 m ? 2 ,那么 n ? 3 ,但在 31 年后, a 是 2 位数,合起来是 5 位数,这与题意不符; 由对称性,可知 n 也不小于 2,从而有 m ? n ? 2 ; 设按题中要求顺序的平方数依次为 x 2 和 y 2 ,且 0 ? x ? y ; 则设 y 2 ? x 2 ? 3131 ,即有 ( y ? x)( y ? x) ? 3131 ? 31?101 , 所以必有: y ? x ? 31 且 y ? x ? 101 ,从而 x ? 35 , y ? 66 ;由 x 2 ? 1225 知,小王现在 12 岁. (点评:有两个平方数,出现了“差” , x ? y 与 x ? y 分解且奇偶性相同,就该现脑海中!)

二、解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分. 11.设 k 为实数, 0 ? k ? 6 ,椭圆 E1 :

( x ? k )2 x2 ? y 2 ? 1 与椭圆 E2 : ? y 2 ? 1 交于点 A 和 C , E1 的左 9 9

顶点为 B , E2 的右顶点为 D (如图) ,若四边形 ABCD 是正方形,求实数 k . 解:由

( x ? k )2 x2 ? y2 ? 1 与 ? y2 ? 1 , 9 9
k ; 2

解得 ( x ? k )2 ? x 2 ? 0 ,解得: x ?

将其代入

36 ? k 2 x2 ;????????10 分 ? y 2 ? 1 中,得 A 点的纵坐标为 y ? 6 9

因为四边形 ABCD 为正方形,根据对称性知: BD ? AC , 又 B(?3 ? k , 0) , D(3, 0) ,则 BD ? 6 ? k , AC ?
36 ? k 2 ;???????15 分 6

所以 6 ? k ? 所以 k ?

36 ? k 2 24 ,即 9(6 ? k )2 ? (6 ? k )(6 ? k ) ,解得 k ? 6 (舍) ,或 k ? ; 3 5

24 .???????????????????????????20 分 5

(点评:虽然中心不在原点的椭圆不是高考内容,但是按抛物线平移规则,不算超纲! )

3

12.如图,梯形 ABCD 中, B、D 关于对角线 AC 对称的点分别是 B '、D ' ,

A、C 关于对角线 BD 对称的点分别是 A'、C ' ;
证明:四边形 A' B ' C ' D' 是梯形. 证明:如图, B、D 关于对角线 AC 对称的点分别是 B '、D ' , 由于 AC 是对称轴,轴上的点自身对称, 则 BD 与 B ' D ' 的交点是 BD 与 AC 的交点 O ;??????5 分 从而由对称可知: BB '// DD ' , 所以
A' D'

OB OB ' OC OC ' ,同理: ;??????10 分 ? ? OD OD ' OA OA '

B O

C

再由梯形可知: AD // BC ,

OB OC BC 所以 ? ? ? 1 ;?????????15 分 OD OA AD OB ' OC ' 从而 ? ? 1 ,所以 B ' C '// A ' D ' ,且 B ' C ' ? A' D' , OD ' OA '
所以四边形 A' B ' C ' D' 是梯形.??????20 分

A B' C'

D

(点评:几何变换是第一次考! ! !通常有四大变换:平移、旋转、对称、位似.) 13.设实数 a、b 满足 0 ? a ?

1 ? b ? 1 ;证明: 2(b ? a) ? cos ? a ? cos ? b . 2

证明:将所求不等式改写: 2b ? cos ? b ? 2a ? cos ? a ; 于是可设: f ( x) ? 2 x ? cos ? x ,问题转化为: “证明: f (b) ? f (a) ” . 求导得: f ?( x) ? 2 ? ? sin ? x , f ??( x) ? ?? 2 cos ? x ; 当 x ? (0,

1 1 ) 时, f ??( x) ? ?? 2 cos ? x ? 0 ,当 x ? ( , 1) 时, f ??( x) ? ?? 2 cos ? x ? 0 ; 2 2 1 1 ) 上是单调递减函数,在区间 ( , 1) 上是单调递增函数; 2 2

所以 f ?( x) 在区间 (0,

1 又因为 f ?(0) ? f ?(1) ? 2 和 f ?( ) ? 2 ? ? ? 0 , 2
所以存在 ? 和 ? ,使得 0 ? ? ?

1 ? ? ? 1 ,且 f ?(? ) ? f ?( ? ) ? 0 ; 2

当且仅当 x ? (?、? ) 时, f ?( x) ? 0 ;????????10 分 所以函数 f ( x) 在区间 [0, ? ] 和 [ ? , 1] 上是单调递增函数, 在区间 [? , ? ] 是单调递减函数; (图像见右)

1 又因为 f (0) ? f ( ) ? f (1) ? 1 , 2

4

所以对于 x ? [0, 故当 0 ? a ?

1 1 ] , f ( x) ? 1 ;对于 x ? [ , 1] , f ( x) ? 1 ; 2 2

1 ? b ? 1 时, f (b) ? f (a) ,从而原题得证.??????20 分 2

(点评:相对于高考的内容,这道题是难题,因为平时训练题的思维没有这么深;但是, 研究函数值的问题,一定要把握好函数的图像的变化情况,而要想这清楚这个, 二次求导则是自然想到的事.其实,函数就必须从“数与形”方面去思考!)

14.正 100 边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一;证明:必存在四个同色点,恰为某等腰梯形的 顶点. 证明:记正 100 边形 A1 A2 A3 ? A100 的外接圆半径为 r ; 把顶点分为 25 个点集: { A4 k ?3 , A4 k ? 2 , A4 k ?1 , A4 k } , k ? 1, 2, 3, ? , 25 ; 第个点集之中,4 个点染成 3 色,至少有两点同色, 此两点为端点的劣弧长分别为 弧长为

?r

2? r 3? r 之一;????????????10 分 、 、 50 50 50

?r
50

2? r 3? r ,且两端同色的弧共有 9 种; 、 、 50 50

前 10 个点集之中至少存在 10 段此类弧, 因而总有两段弧“同种” ,且均在某直径一侧, 故此两段弧四个端点构成的四边形为等腰梯形.?????????????20 分 (点评:抽屉原理的关键是“造抽屉” ,想到用抽屉原理还不一定能做得出不来. 这道题实在太完美了,组合三大原理即抽屉原理、容斥原理、极端原理, 考到一个;组合图论思想考到了,组合染色沾到边儿.)

5


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