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【全国百强校】浙江省温州中学人教新课标A版 必修一 13 函数基本性质 学案(无答案)

时间:2017-08-22


函数的基本性质
一.知识回顾
函数的单调性 1.对于给定区间 D 上的函数 f ( x) ,如果________, 则称 f ( x) 是区间 D 上的增(减)函 数. 2. 判断函数单调性的常用方法: (现阶段要求掌握的) (1)定义法: (2)利用复合函数的单调性(同增异减) 3.关于函数单调性还有以下一些常见结论: (1)两个增(减)函数的和为_____

;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是______; (2)奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性;偶函数在对称的两个区间上有_____的单 调性; 4. 求函数单调区间的常用方法: 定义法、图象法、复合函数法(现阶段要求掌握的) 5.要求掌握的函数类型 一次函数,二次函数,反比例函数,nike 函数,指数函数,对数函数,幂函数,三角函数以 及复合函数 Nike 函数:函数 y ? ax ? 函数的奇偶性 1.函数的奇偶性: (1)对于函数 f ( x) ,其定义域关于原点对称 : ......... 如果______________________________________,那么函数 f ( x) 为奇函数; 如果______________________________________,那么函数 f ( x) 为偶函数. (2)奇函数的图象关于__________对称,偶函数的图象关于_________对称. (3)奇函数在对称区间的增减性 ;偶函数在对称区间的增减性 若奇函数 f ( x ) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0

? ? b b? ? b (a ? 0, b ? 0) 在 ? ?? , ? 或 , ?? ? ? ? ? ? 上单调递增 x a? ? a ? ?

.

2. 判断函数的奇偶性的方法:
(1)定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称,则为非奇非偶函数;若对 称,则再判断 f ( x) ? ? f ( x) 或 f ( x) ? f (? x) 是否定义域上的恒等式; (2)图象法;

D ,D (3) 性 质 法 : ① 设 f ( x ) , g ( x) 的 定 义 域 分 别 是 1 2 , 那 么 在 它 们 的 公 共 定 义 域

D ? D1 ? D2 上:奇 ? 奇 ? 奇,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 奇 ? 偶,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 偶 ? 奇;

(4) 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 , 函数的周期性

f ( x) ? ?1 f (? x)

对于函数 f ( x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有

f ( x ? T ) ? f ( x) ,则 f ( x) 为周期函数,T 为这个函数的周期.
具有周期性的抽象函数 (1) f ? x ? a ? ? ? f ? x ? , 则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数; (2) f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数; (3) f ( x ? a) ? ?

1 , 则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数。 f ( x)

二.例题讲解
例 1.判断函数的单调性 (1)判断并证明函数 f ( x ) ?

ax (a ? R, a ? 0) 在区间 (?1,1) 上的单调性。 x ?1
2

(2)判断并证明函数 f ( x) ? log a

1? x (a ? 0, a ? 1) 的单调性 1? x

例 2.复合函数单调性问题 (1)判断函数 f ( x) ? 2 ? x 递增区间 (2) 函数 y ? log 1 ( x2 ? 2mx ? 3) 在 (??,1) 上为增函数,则实数 m 的取值范围。
2
2

?4 x ?3

的递增区间,并求其在 [?1,3] 上的值域。

(3) 函数 f ( x) ? (log 2 x ? 1) ? (2a ? 2) log 2 x在区间[ , 4] 上的最小值是 ?4 ,求实数 a
2

1 2

的值。

例 3:函数的奇偶性 1.判断函数的奇偶性

(1) f ( x) ?

lg(1 ? x 2 ) | x ? 2 | ?2

(2) f ( x) ? lg sin x ? 1 ? sin 2 x

?

?

2.已知 f ( x) ? x (

1 1 ? ), (1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)证明: f ( x) ? 0 。 2 ?1 2
x

例 4:周期图像问题 (1)设偶函数 f ( x ) 对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 3) ? ?

1 ,且当 x ???3, ?2? 时 f ( x) ? 2 x , f ( x)
? 1 5 1 D. 5
)

则 f (113.5) ? (

)

A.

?

2 7

2 B. 7

C.

(2) 对 a,b ? R,记 max{a,b}= ? (A)0 (B)

?a , a ? b , 函数 ( f x) =max{|x+1|,|x-2|}(x ? R)的最小值是 ( ?b, a<b
(C)

1 2

3 2

(D)3

三.跟踪测试
1. 设函数 f ( x) 是减函数,且 f ( x) ? 0 ,下列函数中为增函数的是( (A) y ? ? )

1 f ( x)

(B) y ? 2 f ( x )

(C) y ? log 1 f ( x)
2

(D) y ? [ f ( x)]2

2. 若 f ( x) ? ? x2 ? 2ax 与 ( ) (A) ? ?1, 0? ? ? 0,1?

g ( x) ?

a x ?1 在区间

?1, 2? 上都是减函数,则 a 的取值范围是
(C) ? 0, 1? (D) ? 0, 1?

(B) ? ?1, 0? ? ? 0, 1?

3.奇函数 f ( x ) 满足: ① f ( x ) 在 (0, ??) 内单调递增; ② f (1) ? 0 ; 则不等式 ( x ? 1) f ( x) ? 0 的解集为( ) B (??, ?1) ? (1, ??) D (??, ?1) ? (0,1) ? (1, ??)

A (0,1) ? (1, ??) C (??, ?1) ? (0, ??)

4. 设 f ( x) 是 (??,??) 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,则

f (47.5) 等于(
5. 若函数 f (x) = x- A. [?1, ? ?)

)(A)0.5

(B) ? 0.5

(C)1.5

(D) ? 1.5

p p ) ? 在(1,+∞)上是增函数,则实数 p 的取值范围是( x 2 B. [1, ? ?) C. (??, ? 1] D. (??, 1]

7 5 3 6.已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? dx ? 5 ,其中 a, b, c, d 为常数,若 f (?7) ? ?7 ,

则 f (7) ? _______________

7.已知函数 y ? f ( x) 在 R 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x , 则 x ? 0 时, f ( x) 的 解析式为_______________ 8.已知 f ( x) 是 R 上的增函数, A (0, -1) , B (3,1) 是其图象上的两点, 则不等式 | f ( x ? 1) |? 1 的解集为__________ 9. 若 函 数 f ( x) ? a x ? b ? 2 在 ? 0, ??? 上 为 增 函 数 , 则 实 数 a , b 的 范 围 是 _______________ 10.设定义在 ? ?2, 2? 上的偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, 2? 上单调递减,若 f (1 ? m) ? f (m) , 求实数 m 的取值范围

11.已知函数 f(x) 的定义域为 (-∞, 0)∪(0, +∞), 且满足条件: ① f(xy)=f(x)+f(y), ② f(2)=1, ③ 当 x>1 时, f(x)>0. (1)求证: f(x)为偶函数; (2)讨论函数的单调性; (3)求不等式 f(x)+f(x-3)≤2 的解集.

12.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a , b 的值;

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

(Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;
2 2


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