nbhkdz.com冰点文库

东北师大附属中学高三一轮导学案:直线与圆锥曲线位置关系【A】


直线与圆锥曲线的位置关系(教案)A
一、 知识梳理: 1. 直线与圆锥曲线位置关系问题转化为研究方程组的实数解的问题或利用数形结合 方法解决. 几何角度: 直线与圆锥曲线位置关系,从几何角度可分为三类:无公共点,.仅有一个 公共点及有两个相异公共点. 代数角度: 直线与圆锥曲线位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组办法来 研究,设直线 l 的方程为 Ax+By+C=

0,圆锥曲线 C 的方程为 F(x,y)=0,联立方程组错误! 未找到引用源。,消去 y (或消去 x)得到一个关于变量 x 的一元二次方程:ax +bx+x=0 (1) 当错误! 未找到引用源。 0 时,则有下表中 的结论(方程的判别式 方程的判别式
方程组的实数解的个数
错误! 未找到引用源。 2 2

-4ac)

交点的个数 0 1 2

位置关系 相离 相切 相交

0 2 2

(2)当错误!未找到引用源。0 时,得到一个一元一次方程,则直线 l 与圆锥曲线相交, 且只有一个交点,此时若 C 为双曲线,则直线与双曲线的渐近线平行,若 C 为抛物线, 则直线 l 与抛物线的对称轴平行或重合,因此直线与抛物线,直线与双曲线有一个公 共点是直线与抛物线,双曲线相切的必要条件,但不是充分条件. 2. 常用方法及公式 (1).把研究直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为研究方程组的实数解的问题; (2).当根不易求解时一般用韦达定理建立参数与根的关系,同时要注意用判别式检验 根存在性; (3). 能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得弦长的有关问题 . 弦长公式 : 设 A(x1,y1),B(,y2),则|AB|=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。(方程是 x 的方程); |AB|=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。(方程是 y 的方程), 当直线斜率不存在时,可求出交点坐标 ,直线计算弦长,另外,过焦点的弦长还可根据
http://www.xiexingcun.com/ http://www.eywedu.net/

定义求解. (4).处理弦的中点问题时,用点差法较为方便 ,能直接体现弦的斜率和中点的坐标之 间的关系,但不易验证根的存在.

二、题型探究 探究一:直线与圆锥曲线的交点个数问题 例 1:直线 y=kx+1 与双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。的右支有 两个不同的公共点,求实数 k 的取值范围.

探究二:弦长问题 例 2: 已知直线 y=kx+b 与椭圆错误!未找到引用源。交于 A,B 两点,记错误!未找到 引用源。的面积为 S, (1) 在 k=0,错误!未找到引用源。的条件下,求 S 的最大值.

(2).当|AB|=2,S=1 时,求直线 AB 的方程.

探究三:有关弦的中点问题 例 3:已知椭圆错误!未找到引用源。的左焦点为 F,O 为坐标原点.设过 F 的直线交椭 圆于 A,B 两点,且线段 AB 的中点在直线 x+y=0 上,求直线 AB 方程及|AB|.

http://www.xiexingcun.com/ http://www.eywedu.net/

三、 方法提升: 1、直线与圆锥曲线的公共点问题,实际上是研究由它们的方程组成的方程组的实数 解的问题,此时要注意分类讨论与数形结合的思想方法; 2、关于直线与圆锥曲线的相交弦问题则结合韦达定理采用设而不求的办法; 3、合理引入参数表示点的坐标,减少变量。 四、反思感悟

五、课时作业 一、选择题(每小题 6 分,共 42 分) 1.如果椭圆

x2 y2 ? =1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( 36 9



A.x-2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0 答案:D 解析:由点在直线上排除 B、C,若为 A,则直线与椭圆相交的弦不被点(4,2)平 分,故选 D. 2.方程 y=ax+b 和 a2x2+y2=b2(a>b>1)在同一坐标系中的图形可能是( )

http://www.xiexingcun.com/ http://www.eywedu.net/

答案:C 解析:∵a>0,b>0,∴直线 y=ax+b 过一、三象限且在 y 轴上的截距为正,排除 B、D, 又直线过点(0,b) , (-

b b ,0),∴b>|- |. a a

3.设 A 为双曲线

x2 y2 =1 的右支上一动点,F 为该双曲线的右焦点,连 AF 交双曲 ? 16 9


线于 B, 过 B 作直线 BC 垂直于双曲线的右准线, 垂足为 C, 则直线 AC 必过定点 ( A.(

41 ,0) 10

B.(

18 ,0) 5

C.(4,0)

D.(

22 ,0) 5

答案:A

9 9 ? (? ) 9 9 16 9 4 ? 5 ,直 解析: (特殊法)设 A(5, ),则 B(5,- ),C( ,- ).故 kAC= 4 16 4 4 5 4 2 5? 5 9 5 41 线 AC 为 y- = (x-5),即:10x-4y-41=0,与 x 轴交点为( ,0) ,排除 B、C、D, 4 2 10
选 A. 4.对于抛物线 C:y2=4x,我们称满足 y02<4x0 的点 M(x0,y0)在抛物线的内部,若点 M(x0,y0)在抛物线的内部,则直线 l:y0y=2(x+x0)与 C( ) A.恰有一个公共点 B.恰有两个公共点 C.没有公共点 D.可能有一个公共点也可能有两 个公共点 答案:C 解析:联立方程组 ?

? y 2 ? 4 x, 消去 x,得 y2-2y0y+4x0=0, y y ? 2 ( x ? x ). 0 ? 0

Δ =4y02-16x0=4(y02-4x0),∵M(x0,y0)在抛物线内,∴y02<4x0.∴Δ <0,∴无公共点. 5.抛物线 y2=2px 与直线 ax+y-4=0 交于两点 A、B,其中点 A 的坐标是(1,2).若抛 物线的焦点为 F,则|FA|+|FB|等于( ) A.5 B.6 C.3 5 D.7

答案:D 解析:由点 A 在抛物线和直线上知 p=2,a=2,故抛物线为 y2=4x,直线为 2x+y-4=0,可联 立解得 B(4,-4),F(1,0),故|AF|+|BF|=2+5=7. 6.过点 M(-2,0)的直线 m 与椭圆

x2 2 +y =1 交于 P1、P2 两点,线段 P1P2 的中点为 P, 2
http://www.xiexingcun.com/ http://www.eywedu.net/

设直线 m 的斜率为 k1(k≠0),直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 的值为( A.2 B.-2

)

1 C. 2

1 D.2

答案:D 解析:将 y=k1(x+2)代入 x2+2y2=2 中有: (1+2k12)x2+8k12x+8k12-2=0. 故 P(-

4k1

2 2

1 ? 2k1 1 ? 2k1

,

2k1
2

).∴k2=-

1 1 ,k1·k2=- . 2 2k1

7.过抛物线 y2=ax(a>0)的焦点 F 作一条直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AF、BF 的长分别为 m、n,则 A.2a 答案:D 解析:(特殊法)令 AB⊥x 轴,则 xa=xb=

m?n 等于( mn

) C.

B.4a

1 2a

D.

4 a

a a m?n 4 ? . ,∴m=n=|ya|= , 4 2 mn a

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.设 P1、P2 是抛物线 x2=y 的一条弦,如果 P1P2 的垂直平分线的方程为 y=-x+3,那么 弦 P1P2 所在的直线方程是____________________.

答案:y=x+2 解析:设 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2),显然 k P1P2 =1,则 P1P2 所在直线方程为 y=x+b,

? x 2 ? y, x ? x2 y1 ? y 2 , 由? 有 x2-x-b=0,于是 x1+x2=1,则 P1P2 的中点是 P( 1 ), 2 2 ? y ? x ? b.
P1P2 所 在 直 线 方 程 又 可 为 y-

y1 ? y 2 2

=x-

x1 ? x 2 2

.







P





线

y=-x+3



,



y1 ? y 2 x ? x2 ?? 1 2 2

+3.

http://www.xiexingcun.com/ http://www.eywedu.net/

②当②代入①得 y=x-(x1+x2)+3=x+2. 9.直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y2 =1 总有公共点,则 m 的取值范围是 ? 5 m

_________. 答案: [1,5) 解析:由焦点在 x 轴上,故 0<m<5,又数形结合知 m≥1,故 1≤m<5. 10.如果实数 b 不论取何值, 直线 y=kx+b 与双曲线 x2-2y2=1 总有公共点,那么 k 的取值 范围是_____________. 答案:-

2 2 <k< 2 2

解析:将 y=kx+b 代入 x2-2y2=1,得(1-2k2)x2-4kbx-2b2-1=0.(*) 当 1-2k2=0 即 k=±

2 时,4kbx+2b2+1=0 不能使任意 b∈R 都有解. 2

∴1-2k2≠0. ∵方程(*)对 b∈R 恒有解,∴Δ ≥0,即 16k2b2+4(1-2k2)(2b2-1)≥0 恒成立,即 8k2 ≤8b2+4 恒成立,∴8k2≤4,∴k2≤

1 . 2

又 k2≠

1 1 2 2 ,∴k2< ,∴<k< .实际上,画个图,可推出答案. 2 2 2 2

三、解答题(11—13 题每小题 10 分,14 题 13 分,共 43 分) 11.已知椭圆 C:

x y x2 y2 ? 2 =1(a>b>0),直线 l1: ? =1 被椭圆 C 截得的弦长为 2 2 , 2 a b a b
2 ,求 5

过椭圆 C 的右焦点且斜率为 3 的直线 l2 被椭圆 C 截得的弦长是椭圆长轴长的 椭圆 C 的方程. 解 析 : 由 l1 被 C 截 得 的 弦 长 为 2

2 , 得

a2+b2=8,

①设 l2:y= 3 (x-c),代入 C 的方程化简得(b2+3a2)x2-6a2cx+a2(3c2-b2)=0, ∴x1+x2=

6a 2 c a 2 (3c 2 ? b 2 ) ,x x = . 1 2 b 2 ? 3a 2 b 2 ? 3a 2
http://www.xiexingcun.com/ http://www.eywedu.net/

4ab2 4ab2 4a ∴|x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 2 ,由弦长公式得 1 ? 3 ? 2 , ? 2 2 5 b ? 3a b ? 3a
2

即 a2=3b2, ②联立①②得 a2=6,b2=2.故 C 的方程为

x2 y2 =1. ? 6 2

12.已知双曲线 C:

x2 y2 =1(a>0,b>0),B 是右顶点,F 是右焦点,点 A 在 x 轴的 ? a2 b2

正半轴,且满足| OA |、| OB |、| OF |成等比数列,过 F 作双曲线 C 在第一、三象限的 渐近线的垂线 l,垂足为 P. (1)求证: PA · OP = PA · FP ; (2)若 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于点 D、E,求双曲线 C 的离心率 e 的取值 范围.

a ? y ? ? ( x ? c), ? a a 2 ab ? b ? P( , ). 解析: (1)l:y=- (x-c),∴ ? b c c ? y ? b x, ? a ?
a2 由| OA |、| OB |、| OF |成等比数列得 A( ,0), c
∴ PA =(0,-

ab a 2 ab b 2 ab ), OP =( , ), FP =(, ). c c c c c

a ? ? y ? ? ( x ? c), ∴ PA · OP = PA · FP .(2) ? b ?b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2 , ?
4 a4 a4 a 4c 2 2 2 2 2 2 2 a 2 ∴b x - 2 (x-c) =a b .即(b - 2 )x +2 2 cx-( 2 +a b )=0,∴Δ >0 恒成立. b b b b

2 2

http://www.xiexingcun.com/ http://www.eywedu.net/

?(
∴x1·x2=

a 4c 2 ? a 2b 2 ) 2 b <0.∴b4>a4,即 b2>a2.∴c2-a2>a2 ? e> 2 . 4 a b2 ? 2 b
x2 y2 =1,且它和双曲线一个焦点 F 的距离是 1, ? a2 b2

13.已知点 P(2,1)在双曲线

(1)求双曲线的方程; (2)过点 F 的直线 l,交双曲线于 A、B 两点,若弦长|AB|不超过 4,求 l 的倾斜角 范围. 解析: (1)设焦点 F(c,0) ,由题意得 ( 2 -c)2+1=1,∴c= 2 ,则点 F 的坐标为( 2 ,0) ,∴a2+b2=2. ①又∵P( 2 ,1)在双曲线上,∴

2 1 ? 2 =1. 2 a b

②由①②得 a2=1 或 a2=4(舍去) ,∴b2=1.从而双曲线方程为 x2-y2=1. (2)①当直线 l 斜率存在时,设 l:y=k(x- 2 )代入双曲线方程得: (1-k2)x2+2 2 k2x-2k2-1=0.|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=

4(1 ? k 2 ) 2 ≤42. 2 2 (1 ? k )

1 3 3 k 2 ?1 即-2≤ 2 ≤2,解得 k2≤ 或 k2≥3.∴≤k≤ 或 k≤- 3 或 k≥ 3 . 3 3 3 k ?1
∴0≤α ≤

? ? ? ? 2? 5? 或 ≤α < , <α ≤ 或 ≤α <π . 6 3 2 2 3 6
? ? 2? 5? ]∪[ , ]∪[ ,π ]. 6 3 3 6

②当直线 l 的斜率不存在时,容易验证也满足题意.此时倾斜角为 ∴l 的倾斜角的范围是[0,

? . 2

14.(2010 江苏南京一模, 22)已知直线 x+2y+m=0(m∈R)与抛物线 C:y2=x 相交于不同 的两点 A,B, (1)求实数 m 的取值范围; (2)在抛物线 C 上是否存在一个定点 P,对(1)中任意的 m 的值,都有直线 PA 与 PB 的斜率互为相反数?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,试说明理由. 解析: (1)∵抛物线与直线有两个不同的交点,
http://www.xiexingcun.com/ http://www.eywedu.net/

∵?

? y 2 ? x, 有两个不同的解,即方程 y2+2y+m=0 有两个不同的解, ?x ? 2 y ? m ? 0

∴Δ =4-4m>0,即 m<1. (2)设 A(y12,y1),(y22,y2),P(y02,y0), 由 kAB=

y1 ? y 2 y1 ? y 2
2 2 2 2

?

y ? y1 1 1 1 , ? ? ,得 y1+y2=-2,kPA= 0 ? 2 2 y1 ? y 2 2 y0 ? y1 y0 ? y1

kPB=

y0 ? y 2 y0 ? y 2

?

1 , 假设在抛物线上存在定点 P 使得直线 PA 与 PB 的斜率互 y0 ? y 2

为相反数,即:

1 1 ,即:2y0=-(y1+y2)=2,得 y0=1. ?? y0 ? y1 y0 ? y 2

∴存在定点 P(1,1)使得直线 PA 与 PB 的斜率互为相反数.

http://www.xiexingcun.com/ http://www.eywedu.net/


东北师大附属中学高三一轮导学案:直线与圆锥曲线位置关系【B】

东北师大附属中学高三一轮导学案:直线与圆锥曲线位置关系【B】_数学_高中教育_教育...的左焦点为 F,O 为坐标原点.设过 F 的直线交椭 圆于 A,B 两点,且线段...

52东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-直线与圆锥曲线位置关系A

52东北师大附属中学高三一轮复习导学案-直线与圆锥曲线位置关系A_数学_高中教育_教育专区。东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 050A 直线...

52东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-直线与圆锥曲线位置关系A

52东北师大附属中学高三一轮复习导学案-直线与圆锥曲线位置关系A 隐藏>> 东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 050A 直线与圆锥曲线的位置关...

52东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-直线与圆锥曲线位置关系B

52东北师大附属中学高三一轮复习导学案-直线与圆锥曲线位置关系B 隐藏>> 东北...(1) 当a ≠0 时,则有下表中 的结论(方程的判别式?= b -4ac) 方程的...

46东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-两条直线的位置关系与点到直线的距离B

46东北师大附属中学高三一轮复习导学案-两条直线位置关系与点到直线的距离B 隐藏>> 东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A 平面两条...

51东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-轨迹与轨迹方程学生版

51东北师大附属中学高三一轮复习导学案-轨迹与轨迹...导学案 051B 直线与圆锥曲线位置关系(学案)B 一...ABC中,BC=2,BC = m(m > 0),求动点 A 的...

东北师大附属中学高三一轮导学案:推理与证明【A】

东北师大附属中学高三一轮导学案:推理与证明【A】_...有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行...24. 如图, 、 、 ?、 是 曲线 : 上的 个点,...

49东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--椭圆A

49东北师大附属中学高三一轮复习导学案--椭圆A_数学_高中教育_教育专区。东北...设出交点 后,再用韦达定理处理,这种方法在处理直线与圆锥曲线位置关系中极为...

东北师大附属中学高三一轮导学案:直线与圆:圆与圆的位置关系【A】

东北师大附属中学高三一轮导学案:直线与圆:圆与圆的位置关系【A】_数学_高中教育_教育专区。东北师大附属中学高三一轮导学案:直线与圆锥曲线位置关系【A】直线...