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辽宁省实验中学、哈尔滨师大附中、东北师大附中2015年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷


辽宁省实验中学、哈尔滨师大附中、东北师大附中 2015 年高三第一次联合模拟考试 理科数学 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条 形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题

必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草 稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求) 1.已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 1} , B ? {x | x2 ? 2 x ? 0} ,则 A A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} 2.复数
2 ?i 1 ? 2i ?
B 等于

B. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | ?2 ? x ? 1}

A. 2( 2 ? i)

B.1 + i

C.i
开始

D.-i

3.点 M (1,1) 到抛物线 y = ax2 准线的距离为 2,则 a 的值 为 A. C.

1 4 1 1 或? 4 12

B. ?

1 12

输入 t

1 1 D. ? 或 4 12

S ?0 k ?1

4. 设 Sn 是公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和, 且 a1 > 0,若 S5 = S9,则当 Sn 最大时,n = A.6 B.7 C.8 D.9 5.执行如图所示的程序框图,要使输出的 S 值小于 1, 则输入的 t 值不能是下面的 A.2012 B.2013 C.2014 D.2015 6.下列命题中正确命题的个数是 ① 对于命题 p: ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p :
?x ? R ,均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ;

S ? S ? sin
k ?t

输出 S

k? 3


k ? k ?1

结束

② p 是 q 的必要不充分条件,则 ? p 是 ?q 的充分不必要条件;

③ 命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题; ④ “ m ? ?1 ”是“直线 l1:mx ? (2m ? 1) y ? 1 ? 0 与直线 l2:3x ? my ? 3 ? 0 垂直”的充要条件。 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,若粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体 的体积为 A.6 B.8 C.10 D.12 8.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,焦 点 F 到一条渐近线的距离为 d,若 | FB |? 3d ,则双曲线 离心率的取值范围是 A. (1, 2] C. (1,3] B. [ 2, ??) D. [ 3, ??) 第 7 题图

?x ? y ? 2 ? 0 ??2 ? x ? 2 9.不等式组 ? 表示的点集记为 A,不等式组 ? 表示的点集记为 B,在 A 2 ?0 ? y ? 4 ?y ? x

中任取一点 P,则 P ? B 的概率为 A.

9 32

B.

7 32

C.

7 16

D.

9 16

1 10 .设二项式 ( x ? )n (n ? N * ) 展开式的二项式系数和与各项系数和分别为 an 、 bn ,则 2 a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn
A. 2n ?1 ? 3 B. 2(2n ?1 ? 1) C. 2 n ? 1 D.1

1 5 11.已知数列 {an } 满足: an ? n3 ? n2 ? 3 ? m ,若数列的最小项为 1,则 m 的值为 3 4
A.

1 4

B.

1 3

C. ?

1 4

D. ?

1 3

?1 2 ? x ? 1 ( x ? 0) 12.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若函数 F ( x) ? f ( x) ? kx 有且只有两个零点,则 k ? ?? ln(1 ? x) ( x ? 0)
的取值范围为 A. (0,1)

1 B. (0, ) 2

1 C. ( ,1) 2

D. (1, ??)

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题 ~ 第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 作答,第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.向量 a,b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 , (a ? b) ? (2a ? b) ,则向量 a 与 b 的夹角为_____.

14. 三棱柱 ABC - A1B1C1 各顶点都在一个球面上, 侧棱与底面垂直, ∠ACB = 120° , CA = CB = 2 3 ,AA1 = 4,则这个球的表面积为_________. 15.某校高一开设 4 门选修课,有 4 名同学,每人只选一门,恰有 2 门课程没有同学选修, 共有__________种不同选课方案(用数字作答) . ? x ? ? ) ? 2 cos( ? x ? ? ) (0 ? ? ? ? 的图象关于直线 ) 16 .已知函数 y ? sin( x = 1 对称,则 sin 2 ? ? __________. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知 ΔABC 的面积为 2,且满足 0 ? AB ? AC ? 4 ,则 AB 和 AC 的夹角为 θ。 (1)求 θ 的取值范围; (2)求函数 f (? ) ? 2sin 2 ( ? ? ) ? 3 cos 2? 的取值范围. 4 18. (本小题满分 12 分) 为调查市民对汽车品牌的认可度,在秋季车展上,从有意购车的 500 名市民中,随机抽 样 100 名市民,按年龄情况进行统计的频率分布表 1 和频率分布直方图 2. 频率分布表 1 频率分布直方图 2 分组(岁) [20, 25)
[25,30)
[30,35)

?

频 数 5 20 ① 30 10 100

频 率 0.050 0.200 0.350 ② 0.100 1.000

[35, 40)
[40, 45]

合 计

(1) 频率分布表中的① ② 位置应填什么数?并补全频率分布直方图, 再根据频率分布直方 图估计这 500 名志愿者的平均年龄; (2) 在抽出的 100 名市民中, 按分层抽样法抽取 20 人参加宣传 P 活动, 从这 20 人中选取 2 名市民担任主要发言人, 设这 2 名市民中 “年龄低于 30 岁”的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望. 19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P - ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA⊥ 底面 ABCD,E、F 分别为 AB、PC 的中点. (1)求证:EF∥ 平面 PAD; (2) 若 PA = 2, 试问在线段 EF 上是否存在点 Q, 使得二面角 Q - AP - D 的余弦值为 请说明理由.
5 ?若存在,确定点 Q 的位置;若不存在, 5

F A B

E C

D

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1、F2,点在椭圆上,且 AF2 与 x 轴 a 2 b2

垂直. (1)求椭圆的方程; (2)过 A 作直线与椭圆交于另外一点 B,求 ΔAOB 面积的最大值. 21. (本小题满分 12 分) 已知 a 是实常数,函数 f ( x) ? x ln x ? ax 2 , (1)若曲线 y ? f ( x) 在 x = 1 处的切线过点 A(0, ?2) ,求实数 a 的值; (2)若 f ( x) 有两个极值点 x1,x2(x1 < x2)

1 ① 求证: ? ? a ? 0 ; 2 1 ② 求证: f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? . 2 请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题 A 目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多 涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分。 E 22. (本小题满分 10 分) O 选修 4-1:几何证明选讲 M 如图,在 ΔABC 中,∠ ABC = 90° ,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E,点 D 是 BC 边上的中点,连接 OD 交圆 O D B 与点 M。 (1)求证:DE 是圆 O 的切线; (2)求证:DE · BC = DM · AC + DM · AB. 23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴
? 3 x? t?m ? ? 2 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? (t 为参数) ?y ? 1 t ? ? 2 (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)设点 P(m, 0) ,若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且 | PA | ? | PB |? 1 ,求实数 m 的

C

值. 24. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 | . (1) 解不等式 f ( x) ? 0 ; (2) (2)若 ?x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 2m2 ? 4m ,求实数 m 的取值范围.

理科数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 B 5 A 6 B 7 C 8 A 9 A 10 C 11 B 12 C

13.90°

14.64π

15.84

16. ?

4 5
……4 分 ……6 分

17.解: (1)设 ΔABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,

1 则由已知: bc sin ? ? 2 , 0 ? bc cos ? ? 4 , 2
可得, tan ? ? 1 ,所以: ? ?[ , ) 4 2 (2) f (? ) ? 2sin 2 ( ? ? ) ? 3 cos 2? ? [1 ? cos( ? 2? )] ? 3 cos 2? 4 2

? ?

?

?

? (1 ? sin 2? ) ? 3 cos 2? ? sin 2? ? 3 cos 2? ? 1 ? 2sin(2? ? ) ? 1 3

?

……8 分

? ? ? ? 2? π ∵? ?[ , ) ,∴2? ? ?[ , ) ,∴2 ? 2sin(2? ? ) ? 1 ? 3 4 2 3 6 3 3
5? ? 时, f (? )max ? 3 ;当 ? ? 时, f (? )min ? 2 12 4 所以:函数 f (? ) 的取值范围是 [2,3]
即当 ? ? 18.解: (1)由表知:① ,② 分别填 35、0.300 补全频率分布直方图如下: 频率 组距
0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 20 25 30 35 40 45 50

……12 分 ……2 分

年 龄 (岁)

……3 分

1 平均年龄估值为: (45 ? 0.05 ? 55 ? 0.2 ? 65 ? 0.35 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.1) ? 33.5 岁……6 分 2 (2)由表知:抽取的 20 人中,年龄低于 30 岁的有 5 人,X 的可能取值为 0,1,2
P( X ? 0) ?
2 1 1 C15 C5 C15 15 C52 21 2 ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? , , 2 2 2 C20 38 C20 38 C20 38

……9 分

X 的分布列为

X P

0

1

2

21 38

15 38

2 38
……10 分

21 15 2 1 ? 1? ? 2 ? ? (人) 38 38 38 2 19.证明: (1)取 PD 中点 M,连接 MF,MA 在 ΔCPD 中,F 为 PC 的中点,
期望 E( X ) ? 0 ?

……12 分

1 1 ∴ MF 平行且等于 DC ,正方形 ABCD 中 E 为 AB 中点, AE 平行且等于 DC , 2 2 ∴ AE 平行且等于 MF,故:EFMA 为平行四边形,∴ EF∥ AM ……2 分 又∵ EF ? 平面 PAD,AM ? 平面 PAD ∴ EF∥ 平面 PAD ……4 分 (2)如图:以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系: z 1 1 1 P(0,0, 2) , B(0,1,0) , C (1,1, 0) , E (0, ,0) , F ( , ,1) 2 2 2

由题易知平面 PAD 的法向量为 n ? (0,1,0) , ……6 分

1 假设存在 Q 满足条件:设 EQ ? ? EF , EF ? ( ,0,1) , 2

? 1 ? 1 Q ? ( , , ? ) , ? ? [0,1] , AP ? (0,0,2) , AQ ? ( , , ? ) 2 2 2 2
设平面 PAQ 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,

Q

y
x

1 ?? ? x ? y ? ?z ? 0 ? m ? (1, ?? ,0) 2 ?2 ? ?z ? 0
∴cos ? m, n ??

……10 分

m?n m n

?

?? 1? ?
2

,由已知:

?
1? ?
2

?

5 5

解得: ? ?

1 ,所以:满足条件的 Q 存在,是 EF 中点。 2

……12 分

20.解: (1)椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 8 4

……4 分 ……6 分
(k ? 2 ) 2

1 (2)当 AB 斜率不存在时: S?AOB ? ? 2 2 ? 2 ? 2 2 2
当 AB 斜率存在时:设其方程为: y ? 2 ? k ( x ? 2)

? ? y ? kx ? ( 2 ? 2k ) 由? ,得 2 2 ? ? x ? 2 y =8
由已知: ? ? 16
2 , 2

? 2k
2

2

? 1? x 2 ? 4

?

2 ? 2k kx ? 2

?

?

2 ? 2k

?

2

?8 ? 0

?

2 ? 2k k 2 ? 8 ? 2k 2 ? 1? ? ? ?
AB ? 1 ? k 2 ?

?

?

2 ? 2k

?

2

? 4? ? 8 2k ? 2 ? ?

?

?

2

?0

即: k ? ?

2 2 ? 2k ? 2 2k 2 ? 1

……8 分

O 到直线 AB 的距离: d ? ∵k ? ?

2 ? 2k 1? k
2

∴S?ABC ?

1 4 AB d ? 2 2 ? 2 2 2k ? 1

……10 分

2 ,∴2k 2 ? 1 ? 2 ,∴2k 2 ? 1? ?1, 2? 2

? 2, ??? ,∴2 ?

? ??2,0? 2k ? 1 ?
2

4

? 0, 2?

此时 S?AOB ? (0, 2 2]

.综上所求: ΔAOB 面积取最大值为 2 2

……12 分 ……1 分 ……3 分

21.解: (1)由已知: f ?( x) ? ln x ? 1 ? 2ax ( x ? 0) ,切点 P(1, a) 切线方程: y ? a ? (2a ? 1)( x ? 1) ,把 (0, ?2) 代入得:a = 1 (2) (I)依题意: f ?( x) ? 0 有两个不等实根 设 g ( x) ? ln x ? 2ax ? 1,则: g?( x) ?

1 ? 2a ( x ? 0) x
……5 分

① 当 a ? 0 时: g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 是增函数,不符合题意; ② 当 a ? 0 时:由 g ?( x) ? 0 得: x ? ? 列表如下: x
g ?( x)

1 ?0 2a

(0, ?

1 ) 2a

?

1 2a
0

(?

1 , ??) 2a


+ ↗

g ( x)

极大值

依题意: g (?

1 1 1 ) ? ln(? ) ? 0 ,解得: ? ? a ? 0 2a 2a 2 (II)由(I)知: f ( x) , f ?( x) 变化如下:
x
f ?( x) f ( x)

1 综上所求: ? ? a ? 0 ,得证 …8 分 2
( x2 , ??)

(0, x1 )

x1 0

( x1 , x2 )

x2 0



+ ↗

↘ ……10 分

由表可知: f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 上为增函数,所以: f ( x2 ) ? f ( x1 ) 又 f ?(1) ? g (1) ? 2a ? 1 ? 0 , 故 x1 ? (0,1) 由(I)知: ax1 ?

?1 ? ln x1 , f ( x1 ) ? x1 ln x1 ? ax12 ? 2

1 ? (x1 ln x1 ? x1 ) (0 ? x1 ? 1) 2

1 1 设 h( x) ? ( x ln x ? x) (0 ? x ? 1) ,则 h?( x) ? ln x ? 0 成立,所以 h( x) 单调递减, 2 2
1 1 故: h( x) ? h(1) ? ? ,也就是 f ( x1 ) ? ? 2 2 1 综上所证: f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? 成立…12 分 2

23. 解: (1)由 ? ? 2cos? ,得: ? 2 ? 2? cos? ,∴ x2 ? y 2 ? 2x ,即 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,

∴ 曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1
? 3 x? t?m ? ? 2 由? ,得 x ? 3 y ? m ,即 x ? 3 y ? m ? 0 , ? y ? 1t ? ? 2

……3 分

∴ 直线 l 的普通方程为 x ? 3 y ? m ? 0

……5 分

? 3 x? t ?m ? ? 2 (2)将 ? 代入 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,整理得: t 2 ? 3(m ? 1)t ? m2 ? 2m ? 0 , ? y ? 1t ? ? 2

由 ? ? 0 ,即 3(m ? 1)2 ? 4(m2 ? 2m) ? 0 ,解得:-1 < m < 3 设 t1、t2 是上述方程的两实根,则 t1 ? t2 ? ? 3(m ? 1) , t1t2 ? m2 ? 2m 又直线 l 过点 P(m, 0) ,由上式及 t 的几何意义得 ……8 分

| PA | ? | PB |?| t1t2 |?| m2 ? 2m |? 1 ,解得: m ? 1 或 m ? 1 ? 2 ,都符合-1 < m < 3,
因此实数 m 的值为 1 或 1 ? 2 或 1 ? 2 24.解: (1)当 x < -2 时, f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 1 ? 2 x ? x ? 2 ? ? x ? 3 , f ( x) ? 0 ,即 ? x ? 3 ? 0 ,解得 x ? 3 ,又 x ? ?2 ,∴x ? ?2 ; 当 ?2 ? x ?
1 时, f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 1 ? 2 x ? x ? 2 ? ?3x ? 1 , 2

……10 分

1 1 1 f ( x) ? 0 ,即 ?3 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ? ,又 ?2 ? x ? ,∴?2 ? x ? ? ; 2 3 3

当x?

1 时, f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 3 , 2 1 ,∴x ? 3 . 2

f ( x) ? 0 ,即 x ? 3 ? 0 ,解得 x ? 3 ,又 x ?

……3 分

1? ? 综上,不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? ??, ? ? 3? ?

(3, ??) .

……5 分

? ? ? x ? 3, x ? ?2 ? 1 ? (2) f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? ??3x ? 1, ?2 ? x ? 2 ? 1 ? x ? 3, x ? ? ? 2

5 ?1? ∴ f ( x ) min ? f ? ? ? ? .……8 分 2 2 ? ?

5 ∵?x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 2m2 ? 4m ,∴4m ? 2m2 ? f ( x)min ? ? , 2 1 5 1 5 整理得: 4m2 ? 8m ? 5 ? 0 ,解得: ? ? m ? ,因此 m 的取值范围是 (? , ) ……10 分 2 2 2 2


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