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等差数列定义


复习回顾

数列的定义
按一定次序排成的一列数叫做 数列。

一般写成a1,a2,a3,…,an,…,简记 为{an}。

通项公式
如果数列{an}的第n项an与n的关 系可以用一个公式来表示,那么这 个公式就叫做这个数列的通项公式。

递推公式
如果已知数列{a

n}的第1项(或前几 项),且任一项an与它的前一项a n1(或前几项)间的关系可以用一个公 式来表示,那么这个公式叫做这个数 列的递推公式。

① 0,5,10,15,20 ② 48 ,53,58,63

请同学们思 考,这四个 数列有何共 同特点?

③ 18,15.5,13,10.5,8,5.5 ④ 10072,10144,10216,10288,10360

等差数列的定义
? 一般地,如果一个数列{an},从第2项起每 一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列,这个常数 叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。 定义的符号表示是:

an - an-1=d(n≥2,n∈N*),

an+1-an=d(n∈N*)
这就是数列的递推公式。

练 习 一

判断下列各组数列中哪些是等差数列, 哪些不是?如果是,写出首项a1和公差d, 如果不是,说明理由。 ( 1 ) 1, 3, 5, 7, … 是 (2)9,6,3,0,-3… 是
a1=1,d=2 a1=9,d=-3

(3)-8,-6,-4,-2,… 是 a1=-8,d=2

( 4 ) 3, 3, 3, 3, … 是

a1=3,d=0

1 1 1 1 (5)1, , , , , ? 不是 2 3 4 5
(6)15,12,10,8,6,…
不是

3等差数列的通项公式 :
等差数列 ?an ? 的首项为a1,公差为d,求

an

a2 ? a1 ? d
a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d
a4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d

? n ? N an ? a1 ? (n ?1)d

??

?a2 ? a1 ? d ?a ? a ? d 3 2 ? ? ? a 4 ? a3 ? d ??? ? 当d≠0时,这是 ? d ?1 ? n ?an ? an关于 的一个一
以上n-1式联加可得:
次函数。

这就是等差数列的通项公式

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1

an ? a1 ? (n ?1)d ? an ? 2 ) ? ?

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1

提问:如果在 a 与 b 中间插入一个数A,使 成等差数列,那么A应满足什么条件?

a,A ,b

因为a,A,b组成了一个等差数列,那么由定 A– a =b -A 义可以知道:

a?b 即 A? 2
4等差中项

例如 (1) 2, 5 ,8

(2)

3 ? 1, 3 , 3 ? 1

如果a,A,b组成了一个等差数列,那么A

叫做 a 与 b 的等差中项

a?b 即 A? 2

5应用举例

例1⑴求等差数列8,5,2,… 的第20项.
⑵-401是不是等差数列-5,-9,13,…的项? 如果是,是第几项?

例题

例2 在等差数列{an}中,已知 a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .

解:由题意得:?a5

解之得: ? a1 ? ?2 ? ?d ? 3 ∴这个数列的首项a1是-2,公差d =3.

? ?a12 ? a1 ? 11d ? 31

? a1 ? 4d ? 10

学与测
? P27 ? 例题2

例题3


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