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双曲线知识点归纳与例题分析


双曲线
基本知识点
标准方程(焦点在 x 轴) 双曲线
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

标准方程(焦点在 y 轴)
y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

第一定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值是常数(小于 F1 F2

) 的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距。

?M

MF1 ? MF2 ? 2a? ?2a ? F1F2 ?

P
F1

y

y
F2
x

yy F2

x
x

x

P 定义

F1

第二定义: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e , 当 e ? 1 时, 动点的轨迹是双曲线。定点 F 叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线, 常数 e ( e ? 1 )叫做双曲线的离心率。 P
F1
y
y

P
F2
x

P

yy F2

x
x

x

P

F1

范围 对称轴 对称中 心 焦点坐 标 顶点坐 标

x ? a , y?R

y ? a , x?R

x 轴, y 轴;实轴长为 2a ,虚轴长为 2b
原点 O(0,0)

F1 (?c, 0) F2 (c, 0)

F1 (0, ?c) F2 (0, c)

焦点在实轴上, c ? a 2 ? b 2 ;焦距: F1F2 ? 2c ( ? a ,0) ( a ,0) (0, ? a ,) (0, a )

1

离心率 准线方 程 顶点到 准线的 距离 焦点到 准线的 距离 渐近线 方程 共渐近 线的双 曲线系 方程

e?

c (e ? 1) a
a2 c y?? a2 c
2

x??

准线垂直于实轴且在两顶点的内侧;两准线间的距离: 2 a
c

顶点 A1 ( A2 )到准线 l1 ( l 2 )的距离为 a ? a 顶点 A1 ( A2 )到准线 l 2 ( l1 )的距离为 a
2

2

c

c

?a
2

焦点 F1 ( F2 )到准线 l1 ( l 2 )的距离为 c ? a 焦点 F1 ( F2 )到准线 l 2 ( l1 )的距离为 a
y?? b x a
2

c

c

?c

x??

b y a

x2 y2 ? ? k (k ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? k (k ? 0) a2 b2

双曲线

x2 y2 ? ? 1 与直线 y ? kx ? b 的位置关系: a2 b2

直线和 双曲线 的位置

? x2 y 2 ?1 ? ? 利用 ? a 2 b 2 转化为一元二次方程用判别式确定。 ? y ? kx ? b ?

二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦 AB 的弦长 AB ? 1 ? k 2 (x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2 通径: AB ? y2 ? y1

2

补充知识点:
等轴双曲线的主要性质有: (1)半实轴长=半虚轴长(一般而言是 a=b,但有些地区教材版本不同,不一定用的是 a,b 这两 个字母); (2)其标准方程为 x^2-y^2=C,其中 C≠0; (3)离心率 e=√2; (4)渐近线:两条渐近线 y=±x 互相垂直; (5)等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点 的距离的比例中项; (6)等轴双曲线上任意一点 P 处的切线夹在两条渐近线之 间的线段,必被 P 所平分; (7)等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数 a^2; (8) 等轴双曲线 x^2-y^2=C 绕其中心以逆时针方向旋转 45°后, 可以得到 XY=a^2/2, 其中 C≠0。 所以反比例函数 y=k/x 的图像一定是等轴双曲线。

例题分析:
例 1、动点 P 与点 F1 (0, 5) 与点 F2 (0, ? 5) 满足 PF1 ? PF2 ? 6 ,则点 P 的轨迹方程为( A.
x2 y 2 ? ?1 9 16



B. ? D. ?

x2 y 2 ? ?1 16 9

C. ?

x2 y 2 ? ? 1( y ≥ 3) 16 9

x2 y 2 ? ? 1( y ≤ ?3) 16 9
3 4

同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,则离心率为( A.
5 3



B.

5 4

C. 或

5 3

5 4

D. 3 )

例 2、已知双曲线 A. ?12 ? k ? 1 C. ?5 ? k ? 0

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 e ? 2 ,则 k 的范围为( 4 k

B. k ? 0 D. ?12 ? k ? 0
x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线互相垂直,则双曲线的离心率为 a 2 b2

同步练习二:双曲线 例 3、设 P 是双曲线



x2 y 2 ? ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 , F1,F2 分别是双曲 a2 9

线的左、右焦点,若 PF1 ? 3 ,则 PF2 的值为



同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为 (0, ? 2),, (0 2) ,且经过点 (2,15) ,则双曲线的标准方程 为 。

例 4、下列各对曲线中,即有相同的离心率又有相同渐近线的是

3

x2 2 y2 x2 (A) -y =1 和 =1 3 3 9

x2 2 x2 2 (B) -y =1 和 y =1 3 3

(C)y2-

x2 y2 =1 和 x2=1 3 3

(D)

x2 2 x2 y2 -y =1 和 =1 3 9 3

同步练习四:已知双曲线的中心在原点,两个焦点 F1,F2 分别为 ( 5, 0) ,点 P 在双曲线上 0) 和 (? 5, 且 PF1 ? PF2 ,且 △PF1 F2 的面积为 1,则双曲线的方程为( A. C.
x2 y 2 ? ?1 2 3



B.

x2 y 2 ? ?1 3 2

x2 ? y2 ? 1 4

D. x2 ?

y2 ?1 4

例 5、与双曲线 近线的距离是( (A)8

x2 y2 ? ? 1 有共同的渐近线,且经过点 A (?3,2 3} 的双曲线的一个焦点到一条渐 9 16

) (B)4 (C)2 (D)1 )

同步练习五:以 y ? ? 3x 为渐近线,一个焦点是 F(0,2)的双曲线方程为( 例 6、下列方程中,以 x±2y=0 为渐近线的双曲线方程是
x 2 y2 ? ?1 (A) 16 4 x 2 y2 ( B) ? ?1 4 16 x2 (C) ? y2 ? 1 2 y2 ( D) x ? ?1 2
2

同步练习六:双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点是(0,3),那么 k 的值是

例 7、经过双曲线

的右焦点 F2 作倾斜角为 30°的弦 AB,

(1)求|AB|.

(2)F1 是双曲线的左焦点,求△F1AB 的周长.

同步练习七过点(0,3)的直线 l 与双曲线

只有一个公共点,求直线 l 的方程。

4

高考真题分析
1.【2012 高考新课标文 10】等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y 2 ? 16 x 的 准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为()
( A)

2 ( B) 2 2 (C ) ? ( D) ?

【答案】C 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为: x ? 4 ,设等轴双曲线方程为: x 2 ? y 2 ? a 2 ,将 x ? 4 代入
2 2 等轴双曲线方程解得 y = ? 16 ? a ,∵ | AB | = 4 3 ,∴ 2 16 ? a = 4 3 ,解得 a =2,

∴ C 的实轴长为 4,故选 C. 2.【2012 高考山东文 11】已知双曲线 C1 :
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2.若抛物线 a 2 b2

C2 : x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为
8 3 y 3 16 3 y 3

(A) x2 ? 【答案】D

(B) x 2 ?

(C) x2 ? 8 y

(D) x 2 ? 16 y

考点:圆锥曲线的性质 解析:由双曲线离心率为 2 且双曲线中 a,b,c 的关系可知 b ? 3a ,此题应注意 C2 的焦点在 y 轴上, 即 (0, p/2) 到直线 y ? 3 x 的距离为 2, 可知 p=8 或数形结合, 利用直角三角形求解。 3.【2012 高考全国文 10】已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,
| PF1 |? 2 | PF2 | ,则 cos ?F1 PF2 ?

(A)

1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)

4 5

【答案】C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用。首先 运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可。

5

a ? 2 ? b,? c ? 2 , 【解析】 解: 由题意可知, 设 | PF1 |? 2 x,| PF2 |? x , 则 | PF1 | ? | PF2 |? x ? 2a ? 2 2 ,

故 | PF1 |? 4 2,| PF2 |? 2 2 , F1 F2 ? 4 ,利用余弦定理可得
cos ?F1 PF2 ? PF12 ? PF2 2 ? F1 F2 2 (4 2) 2 ? (2 2) 2 ? 4 2 3 ? ? 。 2 PF1 ? PF2 4 2? 2 2 ? 4 2

4. (2011 年高考湖南卷文科 6)设双曲线 ( A.4 答案:C ) B.3 C.2 D.1

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0, 则 a 的值为 a2 9

解析:由双曲线方程可知渐近线方程为 y ? ?

3 x ,故可知 a ? 2 。 a

5.【2012 高考辽宁文 15】已知双曲线 x2 ? y2 =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点, 若 P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________. 【答案】 2 3 【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力,难度适中。 【解析】由双曲线的方程可知 a ? 1, c ? 2,? PF1 ? PF2 ? 2a ? 2,
? PF1 ? 2 PF1 PF2 ? PF2 ? 4
2 2

? PF1 ? PF2 ,? PF1 ? PF2 ? (2c)2 ? 8,? 2 PF1 PF2 ? 4, ? ( PF1 ? PF2 )2 ? 8 ? 4 ? 12,? PF1 ? PF2 ? 2 3
【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理,实现差—积—和的转化。 6. 【2012 高考江苏 8】 (5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 则 m 的值为. 【答案】2。 【考点】双曲线的性质。
x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 , m m ?4

2

2

6

【解析】由

x2 y2 2 2 ? 2 ? 1 得 a = m,b= m ? 4,c= m ? m ? 4 。 m m ?4
c a m ? m2 ? 4 m

∴ e= =

= 5 ,即 m2 ? 4m ? 4=0 ,解得 m=2 。

课后作业
1.双曲线
x2 y2 ? ? 1 的实轴长和虑轴长分别是( 3 4

)

A. 2 3 ,4 2.双曲线

B.4, 2 3

C.3,4

D. 2, 3 )

x2 y2 ? ? 1 的焦点到它的渐近线的距离等于( a2 b2

A. b a 2 ? b 2

B. b

C. a

D. a a 2 ? b 2 )

3.如果双曲线的实半轴长为 2,焦距为 6,那么双曲线的离心率为( A.
3 2

B.

6 2

C.

3 2 1 2

D.2 )

4.双曲线的渐近方程是 y ? ? x ,焦点在坐标轴一,焦距为 10,其方程为( A.
y2 x2 y2 x2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 B. ? ? 1或 ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ? ?1 20 5 20 5 20 5 5 20 20 5

5.双曲线 A. ?

x2 y2 ? ? 1 的右准线与渐近线在第一象限的交点和右焦点连线的斜率是( 9 16

)

3 4 3 5 B. ? C. ? D. ? 5 3 4 3
x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线所成的角是( 16 25

6.双曲线 A. 2 arctan
4 5

) D. ? ? 2 arctan
5 4

B. 2 arctan

5 4

C. ? ? 2 arctan )

4 5

7.双曲线

x2 y2 ? ? 1 与其共轭双曲线有( a2 b2

A.相同的焦点

B. 相同的准线

C. 相同的渐近线
3 4

D. 相等的实轴长 ( )

8.已知双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,则此双曲线的 A.焦距为 10

B.实轴长与虚轴长分别为 8 与 6

7

C.离心率 e 只能是 或

5 4

5 3

D.离心率 e 不可能是 或

5 4

5 3

9.等轴双曲线的一个焦点是 F1(4,0),则它的标准方程是,渐近线方程是 10.若双曲线的实轴长,虚轴长,焦距依次成等差数列,则其离心率为_____________ 11.若双曲线
x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到它的右焦点的距离是 8,则到它的右准线之间的距离为 64 36

12.若双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,左焦点坐标为 (? 26 ,0) ,则它的两条准线之间的 距离为_______________ 13.写出满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)双曲线的两个焦点是椭圆
y2 x2 ? ? 1 的两个顶点,双曲线的两条准线经过这个椭圆的两个 100 64

焦点:______________________ (2)双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,两顶点之间的距离为 2:____________________ 14.双曲线的其中一条渐近线的斜率为 ,求此双曲线的离心率___________ 15.已知双曲线 x 2 ?my 2 ? 1(m ? 0) 的右顶点为 A,而 B、C 是双曲线右支上的两点,如果 ?ABC 是 正三角形,则 m 的取值范围是_____________________ 16.设圆过双曲线
x2 y2 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心 9 16

2 7

的距离是_____________________ 17.已知双曲线
x2 y2 ? ? 1 上一点 M 到左焦点 F1 的距离是它到右焦点距离的 5 倍,则 M 点的坐标 16 9

为_________________ 18.已知直线 l 过定点(0,1),与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左支交于不同的两点 A、B,过线段 AB 的 中点 M 与定点 P(?2,0) 的直线交 y 轴于 Q(0, b) ,求 b 的取值范围.

8

19.已知双曲线

x2 y2 ? ?1 8 16

(1)过右焦点 F2 作一条渐近线的垂线(垂中为 A),交另一渐近线于 B 点,求证:线段 AB 被双 曲线的左准线平分; (2)过中心 O 作直线分别交双曲线于 C、D 两点,且 ?CDF1 ( F1为左焦点) 的面积为 20,求直线 CD 的方程。

20.P 为双曲线
2 2

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )上一点, PM ? x 轴于 M,射线 MP 交渐近线于 Q。求证: a2 b2

MQ ? MP 是定值。

9


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