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一道奥赛题的巧解

时间:2012-08-14


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中学数学月刊 !!!!" !!" !!!!"

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一道奥赛题的巧解
吴爱龙 熊全发 江西省丰城中学 $ % % & & ’ ’ ( #################### 中 学 数 学 月 刊* ) + ’ ’ ,年 第 ,期 刊 登 了 + ’ ’ +年英国数学奥林匹克第 +轮试题 %及 其 解答 现提供一种巧解供参考 . 题目 3 & 证明数列 / 0 0 $ % 0 ’1 & 2 3&1 2 +

5 4 0

6, ( $ 27 ’ (的各项都是整数 . 证明 由已知条件得
+ 2 + + $ + 0 0 ( 14 0 . 2 3&6 % 2 2 6 ,

+ + 即0 % 0 ( 0 0 (1 ’ 2 3&3 & 2 6 $ 2 3& 23 $ + 将 式中 2 取为 2 有0 3& + 0 ( 0 2 3& 2 3 +3 2 3 +6 $ + (1 ’ . $ 0 2 3&3 &

可知 0 0 2 2 3 + 是二次方程
+ + 8 6% 0 83 0 2 3& 2 3 & 3 &1 ’ 之两根 . 由韦达定理知 0 0 23 0 2 3+1 % 2 3& 即0 0 . 2 3+1 % 2 3&6 0 2

但0 因此由归纳法推理得所 0 ’1 & &1 + 有的 0 2 都是整数 . ####################

关于三角形中线的一个不等式
丁遵标 安徽省舒城县杭埠中学 $ + % & % + % ( #################### 经过 探 讨 笔者得到了三角形中线长的 一个有趣的不等式 . 定理 若 9:9; 9<分别是 =>? @的三
+ + +

B G K L>G K L? G K L@ 1 1 + A G K L>3 G K L?3 G K L@ > ? @ > ? @ N $ G K L G K L G K L ( $ E F G E F G E F G ( + + + + + + > ? @ , E F G E F G E F G + + + H > ? @ G K L G K L + + + > ? @ B HG K L G K L G K L 1 . + + + , A 又 ME F G>3 E F G?3 E F G@ 1+ G K L 1 &3 , G K L > ? @ G K L G K L + + + B .O A

条 中 线 长为 =>? A B @的 外 接 圆 和 内 切 圆 半径 则有 9: 3 9; 3 9< 7 +3 B. ; < < : : ; + A 证明 由三角形中线长公式知 / 9+ :1 & + + + $ + ;3 + < 6: ( , 万方数据 & + + + + + 1 C $ ;3 < (3 $ ; 3< 6: ( D ,

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& + + $ ;3 < 3+ ; < E F G>( , ; < $ &3 E F G>( 7 + 9+ &3 E F G> : H 7 . ; < + + + F G? 9< &3 E F G@ 同理 9; 7 &3 E - 7 < : + : ; + 9+ 9+ 9+ : ; < H 3 3 ; < < : : ; % & 3 $ E F G>3 E F G?3 E F G@ ( . I 7 + + 设 =>? @的面积为 J 则 J1 & B $ :3 ; 3< ( + 1A B $ G K L>3 G K L?3 G K L@ ( . + 又 MJ1 + AG K L>G K L? G K L@ G K L>3 G K L?3 G K L@ > ? @ 1, E F G E F G E F G + + + + H+ A G K L>G K L? G K L@ 1A B $ G K L>3 G K L?3 G K L@ ( -

HE F G>3 E F G?3 E F G@1 &3 9+ 9+ 9+ : ; < 由 IO得 3 3 ; < < : : ; % & B B 7 3 $ &3 (1 +3 + + A + A + + + 9: 9; 9< B 故 3 3 7 +3 . ; < < : : ; + A

一道奥赛题的巧解
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 吴爱龙, 熊全发 江西省丰城中学,331100 中学数学月刊 ZHONGXUE SHUXUE YUEKAN 2005(1)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxyk200501018.aspx


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