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2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题含答案解析(超完美版)


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2015 年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题
(青海;西藏;甘肃;贵州;内蒙古;新疆;宁夏;吉林;黑龙江;云南;辽宁;广西;海南)

一、选择题 1.已知集合 A={-2,-1,0,1,2},B={X|(X-1) (X+2)<0},则 A ? B=(
A.{-1,0} B.{0,1} C

.{-1,0,1} )

D.{0,1,2} 2.若 a 为实数,且(2+ai) (a-2i)= - 4i,则 a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 3.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图, 以下结论中不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关 4.已知等比数列{an } 满足a1 =3,a1 + a3 +a5 =21,则a3 +a5 +a7 =( A.21 B.42 C.63 D.84



5.设函数 f(x)=f x =
A.3 B.6

1 + log 2 , 2 ? x , < 1 则 f(-2)+f(log 2 12)=( 2x ?1 , ≥ 1
C.9 D.12



6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分 体积的比值为( )

www.yitiku.cn A.
1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

7.过三点 A(1,3) ,B(4,2) ,C(1,-7)的圆交 y 轴于 M,N 两点,则 IMNI=(
A.2 6 B.8 C.4 6 D.10



8.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术” 。执行该 程序框图,若输入的 a , b 分别为 14 ,18,则输出的 a=( )

A.0

B.2

C.4

D.14

9.已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90o ,C 为该球上的动点,若三棱锥 O-ABC 的体积 最大值为 36,则球 O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π AB ? 2 10.如图,长方形 ABCD 的边 , BC ? 1 , O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC , CD 与 DA 运动,记
?BOP ? x ,将动点 P 到 A, B 两点距离之和表示为 x 的函数,则 y ? f ( x) 的图像大致为(


A.

B.

C.

D.

11.已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°, 则 E 的离心率为( )
A.

5

B.2

C.

3

D. 2

12.设函数 f’(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,x f’(x)- f(x)<0,则

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使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(
A. (?∞,-1)∪(0,1) C. (?∞,-1)∪(-1,0)

) B. (?1,0)∪(1,+∞) D. (0,1)∪(1,+∞)

二、填空题 13.设向量 a,b 不平行,向量 λ

a+b 与 a+2b 平行,则实数 λ

=

14.若 x,y 满足约束条件

,则 z=x+y 的最大值为

15. (a ? x)(1 ? x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a=

16.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1 ? ?1, an?1 ? sn sn?1 ,则 S n = 三、解答题 17.△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍 sin ?B (I)求 sin?C (II)若 AD=1,DC=
2 ,求 BD 和 AC 的长 2

18.某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机抽查了 20 个用户,得到 用户对产品的满意度评分如下:
A 地区:62 78 B 地区:73 93 73 86 83 48 81 95 62 65 92 66 51 81 95 97 91 74 85 78 46 56 74 88 53 54 64 82 73 76 53 76 64 65 76 89 82 79

(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评 分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可)

(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:

记事件 C: “A 地区用户的满意等级高于 B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结 果互相独立。根据所给的数据,以事件发生的频率作为响应事件的概率,求 C 的概率

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19.如图,长方形 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中,AB=16,BC=10 , AA 1 ? 8 ,点 E,F 分别在 A 1B 1, D 1C1 上,

A1E ? D1F ? 4 .过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(Ⅰ)在途中画出这个正方形(不必说明画法和理由) ; (Ⅱ)求直线 AF 与 ? 平面所成角的正弦值。

20.已知椭圆 C:9x2+y2=M2(m>0), 直线 l 不过圆点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A,B, 线段 AB 的中点为 M。 (Ⅰ)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ) 若 l 过点 (

m ,m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P, 四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能, 3

求此时 l 的斜率;若不能,说明理由。

21.设函数 f(x)=emx+x2-mx. (1)证明:f(c)在(- ? ,0)单调递减,在(0,+ ? )单调递增; (2)若对于任意 x1,x2 ? [-1,1],都有︱f(x1)-(x2)︳ ? e-1,求 m 的取值范围。

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22.选修 4—1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,?O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边的高 AD 交于点 G,切与 AB,AC 分别相切与 E,F 两点。 (Ⅰ)证明: EF ∥ BC ;
(Ⅱ)若 AG 等于 ? O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积。

23.选修 4—4:坐标系与参数方程

? x ? t cos ? , 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ? (t 为参数,t ? 0) ,其中 0 ? ? < ? ? y ? t sin ? ,
在以为极点? x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2 :=2sinθ,3 : = 2 3 cos? . (Ⅰ)求2 与3 交点的直角坐标; (Ⅱ)若1 与2 相交于点,1 与3 相交于点,求|AB|的最大值

24.选修 4-5:不等式选讲 设 ? ,b ,c ,d 均为正数,且 ? + b = c + d ,证明:

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(Ⅰ)若 ? b > cd ,则 ? + b > c + d ; (Ⅱ) ? + b > c + d 是 | ? - b |<| c - d |的充要条件。

2015 年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题
(青海;西藏;甘肃;贵州;内蒙古;新疆;宁夏;吉林;黑龙江;云南;辽宁;广西;海南)

一、选择题 1.答案:A
解析过程:

?? x ?1?? x ? 2? ? 0 解得 ?2 ? x ? 1 ,
? B ? ? x ? 2 ? x ? 1? ,? A ? B ? ??1,0? .

2.答案:B
解析过程:

? ? 2 ? ai ?? a ? 2i ? ? ? 2a ? 2a ? ? ? a 2 ? 4 ? i ? ?4i ,

? a 2 ? 4 ? ?4 解得 a ? 0 .
3.答案:D 解析过程: 由柱形图得,从 2006 年以来, 我国二氧化硫排放量呈下降趋势, 故年排放量与年份负相关 4.答案:B 解析过程:

? a1 ? a3 ? a5 ? a1 ? a1q 2 ? a1q 4 ? 3 ?1 ? q 2 ? q 4 ? ? 21

?1 ? q2 ? q4 ? 7 ,整理得 ? q 2 ? 3?? q 2 ? 2 ? ? 0
解得 q ? 2 ?a3 ? a5 ? a7 ? a1q2 ? a1q4 ? a1q6
2

? a1q 2 ?1 ? q 2 ? q 4 ? ? 3 ? 2 ? 7 ? 42

5.答案:C

www.yitiku.cn 解析过程:

? f ? ?2? ? 1 ? log2 ? 2 ? 2? ? 3 , f ? log2 12? ? 2log212?1 ? 2log2 3?log2 4?1 ? 2log ? f ? ?2? ? f ? log2 12? ? 9 .
6.答案:D
解析过程: 如图所示截面为 ABC ,设边长为 a ,则截取部分体积为 S? ADC DB ?
2 3?log 2 2

? 2log2 6 ? 6 ,

1 3

1 3 a , 6

1 3 a 1 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 6 ? 1 1 ? a3 5 6

7.答案:C
解析过程:

?1 ? 9 ? D ? 3E ? F ? 0 ? D ? ?2 ? ? 由题可得 ?10 ? 4 ? 4 D ? 2 E ? F ? 0 ,解得 ? E ? 4 , ?1 ? 49 ? D ? 7 E ? F ? 0 ? F ? ?20 ? ?
所以圆方程为 x ? y ? 2x ? 4 y ? 20 ? 0 ,令 x ? 0 ,解得 y ? ?2 ? 2 6 ,
2 2

所以 MN ? ?2 ? 2 6 ? ?2 ? 2 6 ? 4 6

?

?

8.答案:B
解析过程: 输入 a ? 14, b ? 18 第一步 a 第二步 a 第三步 a 第四步 a 第四步 a

? b 成立,执行 a ? b ,不成立执行 b ? b ? a ? 18 ? 14 ? 4 ? b 成立,执行 a ? b ,成立执行 a ? a ? b ? 14 ? 4 ? 10 , ? b 成立,执行 a ? b ,成立执行 a ? a ? b ? 10 ? 4 ? 6 ? b 成立,执行 a ? b ,成立执行 a ? a ? b ? 6 ? 4 ? 2 ? b 成立,执行 a ? b ,不成立执行 b ? b ? a ? 4 ? 2 ? 2

www.yitiku.cn 第五步 a ? b 不成立,输出 a ? 2 .选 B

9.答案:C
解析过程: 设球的半径为 r ,三棱锥 O ? ABC 的体积为 V ?

1 1 1 1 S? ABO h ? ? r 2 h ? r 2 h , 3 3 2 6

3 点 C 到平面 ABO 的最大距离为 r ,? r ? 36 ,解得 r ? 6 ,

1 6

球表面积为 4? r 2 ? 144? . 10.答案:B 解析过程: 由已知得, 当点 P 在 BC 边上运动时,即 0 ? x ?

?
4

时,

PA ? PB ? tan2 x ? 4 ? tan x ;
当点 P 在 CD 边上运动时,即
2

?
4

?x?

3? ? , x ? 时, 4 2
2

? 1 ? ? 1 ? PA ? PB ? ? ? 1? ? 1 ? ? ? 1? ? 1 , 2 2 ? tan x ? ? tan x ?
当x?

?
2

时, PA ? PB ? 2 2 ;

当点 P 在边 DA 上运动时,即

3? ? x ? ? 时, 4

PA ? PB ? tan2 x ? 4 ? tan x ,
从点 P 的运动过程可以看出,轨迹关于直线 x ? 且f?

?
2

对称,

?? ? ?? ? ? ? f ? ? ,且轨迹非线性,故选 B ?4? ?2?

11.答案:D
解析过程: 设双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? , a 2 b2

? 如图所示, AB ? BM , ?ABM ? 120 ,

过点 M 作 MD ? x 轴,垂足为 D .在 RtBMD 中, BD ? a, MD ? 3a ,

www.yitiku.cn 故点 M 的坐标为 M 2a, 3a ,

?

?

代入双曲线方程得

4a 2 3a 2 ? 2 ? 1 ,化简得 a 2 ? b 2 , 2 a b

所以 e ?

c2 a 2 ? b2 ? ? 2 .故选 D a2 a2

12.答案:A
解析过程:记函数 g ? x ? ?

f ? x? xf ? ? x ? ? f ? x ? ,则 g ? ? x ? ? , x2 x

因为当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 , 故当 x ? 0 时, g? ? x ? ? 0 ,所以 g ? x ? 在 ? 0, ??? 单调递减; 又因为函数 f ? x ? 是奇函数,故函数 g ? x ? 是偶函数, 所以 g ? x ? 在 ? ??,0? 单调递减, 且 g ? ?1? ? g ?1? ? 0 .当 0 ? x ? 1 时, g ? x ? ? 0 ,则 f ? x ? ? 0 ; 当 x ? ?1 时, g ? x ? ? 0 ,则 f ? x ? ? 0 , 综上所述,使得 f ? x ? ? 0 成立的 x 的取值范围是

? ??, ?1? ? ? 0,1? ,故选 A.
二、填空题 13.答案:

1 2

www.yitiku.cn 解析过程: 设 ? a ? b ? x a ? 2b ,可得 ?

? ?

?

?

?

?

?? ? x 1 ,解得 ? ? x ? . 2 ?1 ? 2 x

14.答案:

3 2

解析过程: 如图所示,可行域为 ? ABC ,直线 y ? ? x ? z 经过点 B 时, z 最大.

?x ? 1 ?x ? 2 y ? 0 1 3 ? 联立 ? 解得 ? 1 ,所以 zmax ? 1 ? ? . 2 2 y? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? ? 2

15.答案:3 解析过程:

? a ? x ??1 ? x ?

4

0 1 2 3 4 ? C4 a ? C4 ax ? C4 ax 2 ? C4 ax 3 ? C4 ax 4

0 1 2 2 3 3 4 4 5 ?C4 x ? C4 x ? C4 x ? C4 x ? C4 x, 1 3 0 2 4 所以 C4 a ? C4 a ? C4 ? C4 ? C4 ? 32 ,解得 a ? 3 .

16.答案: ?
解析过程:

1 n

? an?1 ? Sn?1 ? Sn ? Sn Sn?1 ,?

1 1 ? =1 Sn Sn ?1



?1? 1 1 ? ? ?1,? ? ? 是等差数列, Sn ?1 Sn ? Sn ?
1 1 1 ? ? ? n ? 1? ? ?1 ? n ? 1 ? ?n 即 S n ? ? . n Sn S1

?

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三、解答题
1 17.答案: (Ⅰ) (Ⅱ) BD ? 2 , AC ? 1 2
解析过程: (Ⅰ)如图所示, 由题意可得 S? ABD ?

1 AB AD sin ?BAD , 2

S? ADC ?

1 AC AD sin ?CAD , 2

? S? ABD ? 2S? ADC , ?BAD ? ?DAC ,

? AB ? 2 AC ,?

sin ?B AC 1 ? ? . sin ?C AB 2
1 1 2 BD h ? 2S? ADC ? 2 ? ? h, 2 2 2

(Ⅱ)设 BC 边上的高为 h ,则 S? ABD ? 解得 BD ?

2 ,设 AC ? x, AB ? 2x ,

1 x2 ? 1 ? 4 x2 ? 1 ? 2 2. 则 cos ?BAD ? , cos ?DAC ? 4x 2x 1 x2 ? 1 ? 4 x2 ? 1 ? 2 2, ? cos ?DAC ? cos ?BAD ? ? 4x 2x
解得 x ? 1 或 x ? ?1 (舍去).? AC ? 1 .

18.答案:见解析
解析过程: (Ⅰ)如图所示.通过茎叶图可知 A 地区的平均值比 B 地区的高, A 地区的分散程度大于 B 地区.

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(Ⅱ)记事件不满意为事件 A1 , B1 ,满意为事件 A2 , B2 , 非常满意为事件 A3 , B3 .则由题意可得

P ? A1 ? ?

4 12 4 10 8 2 P ? A3 ? ? , P ? B1 ? ? , P ? B2 ? ? , P ? B3 ? ? , P ? A2 ? ? 20 20 20 20 20 20,

则 P ?C ? ? P ? A2 ? P ? B1 ? ? P ? A3 ? P ? B1 ? ? P ? B2 ? .

?

?

?

12 10 4 ? 10 8 ? 12 ? ? ?? ? ? ? 20 20 20 ? 20 20 ? 25

19.解析过程:
(Ⅰ)如图所示

(Ⅱ)建立空间直角坐标系.由题意和(Ⅰ)可得

A?10,0,0? , F ? 0,4,8? , E ?10,4,8? , G ?10,10,0?
则 AF ? ? ?10, 4,8? , EF ? ? ?10,0,0 ? , EG ? ? 0,6, ?8? . 设平面 EFHG 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

??? ?

??? ?

??? ?

?

? ??? ? ? ?n ? EF ? 0 ??10 x ? 0 则 ? ? ??? 即? , ? ? ?n ? EG ? 0 ?6 y ? 8 z ? 0 ? 解得 x ? 0 ,令 y ? 4, z ? 3 ,则 n ? ? 0, 4,3?
所以直线 AF 与 ? 平面所成角的正弦值为

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??? ? ? ??? ? ? AF ? n 16 ? 24 2 2 . sin ? ? cos AF , n ? ??? ? ? ? ? 5 100 ? 16 ? 84 16 ? 9 AF n

20.答案:见解析
解析过程: (Ⅰ)设直线 l 的方程为 y ? kx ? b, ? k ? 0? ,点 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则M ?

? y ? kx ? b ? x1 ? x2 y1 ? y2 ? . 联立方程 , , ? 2 ? 2 2 2 ? ? 2 ?9 x ? y ? m

2 2 2 2 消去 y 整理得 9 ? k x ? 2kbx ? b ? m ? 0 (*)

?

?

所以 x1 ? x2 ? ?

2kb 18b ? 2kb ? , , y1 ? y2 ? k ? ? ? 2b ? 2 2 ? 9?k 9 ? k2 ? 9?k ?

所以 kOM ? k AB

y1 ? y2 18b ? 9 ? k 2 ? ? 2 ?k ? ??? ? ? k ? ?9 . x1 ? x2 9 ? k 2 ? 2kb ? 2
m ?1 ? k ? m ?3 ? k ? ,b ? . 3 3

(Ⅱ)假设直线 l 存在,直线方程为 y ? kx ? 设点 P x p , y p ,则由题意和(Ⅰ) 可得 x p ? x1 ? x2 ? ?
2

?

?

2kb 18b , y p ? y1 ? y2 ? ,因为点 P 在椭圆上, 2 9?k 9 ? k2
2

? 2kb ? ? 18b ? 所以 9 ? ? ?? ? m2 ,整理得 36b 2 ? m 2 ? 9 ? k 2 ? , 2 ? 2 ? 9 ? k 9 ? k ? ? ? ?
? m ?3 ? k ? ? 2 2 即 36 ? ? ? m ?9 ? k ? , 3 ? ?
2
2 化简得 k ? 8k ? 9 ? 0 ,解得 k ? 4 ? 7 ,
2 2 2 有(*)知 ? ? 4k b ? 4 9 ? k

?

?? b

2

? m2 ? ? 0 ,

验证可知 k ? 4 ? 7 都满足.

21.答案:见解析
解析过程: (Ⅰ)因为 f ? x ? ? e
mx

? x2 ? mx ,

www.yitiku.cn 所以 f ? ? x ? ? me
mx

? 2x ? m ,

f ?? ? x ? ? m2emx ? 2 ? 0 在 R 上恒成立,
所以 f ? ? x ? ? me
mx

? 2x ? m 在 R 上单调递增.

而 f ? ? 0? ? 0 ,所以 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ; 所以 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 在 ? ??,0? 单调递减,在 ? 0, ??? 单调递增. (Ⅱ)有(Ⅰ)知 fmin ? x ? ? f ? 0? ? 1 , 当 m ? 0 时, f ? x ? ? 1 ? x ,
2

此时 f ? x ? 在 ??1,1? 上的最大值是 2 . 所以此时 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? e ? 1 . 当 m ? 0 时, f ? ?1? ? e
?m

? 1? m , f ?1? ? em ?1 ? m
m ?m

令 g ? m? ? f ?1? ? f ? ?1? ? e ? e 所以 g? ? m? ? e ? e
m ?m

? 2m ,

?2? 0
m ?m

所以 g ? m? ? f ?1? ? f ? ?1? ? e ? e

? 2m 在 R 上单调递增.

而 g ? 0 ? ? 0 ,所以 m ? 0 时, g ? m? ? 0 ,即 f ?1? ? f ? ?1? . 所以 m ? 0 时, g ? m? ? 0 ,即 f ?1? ? f ? ?1?
m 当 m ? 0 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ?1? ? 1 ? e ? m ? e ? 1 ? m ? 1

当 m ? 0 时,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? ?1? ? 1 ? e?m ? m ? e?m ? ? ?m?

? e ? 1 ? ?m ? 1 ? ?1 ? m ? 0
所以,综上所述 m 的取值范围是 ??1,1?

22.答案:见解析
解析过程:

www.yitiku.cn (Ⅰ)如图所示,连接 OE, OF ,

则 OE ? AB, OF ? AC 即 ?AEO ? ?AFO ? 90? . 因为 OE ? OF ,所以 ?OEF ? ?OFE , 所以 ?AEF ? 90? ? ?OEF , ?AFE ? 90? ? ?OFE ,即 ?AEF ? ?AFE .
? 因为 ?AEF ? ?AFE ? ?EAF ? 180 ,

所以 ?AEF ? ?AFE ?

1 180? ? ?EAF ? . ? 2

因为 ? ABC 是等腰三角形, 所以 ?B ? ?C ?

1 180? ? ?BAC ? , ? 2

所以 ?AEF ? ?AFE ? ?B ? ?C ,所以 EF ? BC . (Ⅱ)设 ? O 的半径为 r ,? AG ? r , OA ? 2r .
2 2 2 在 Rt ? AEO 中,? AE ? EO ? AO .? 2 3

?

?

2

? r 2 ? ? 2r ? ,解得 r ? 2 .
2

在 Rt ? AEO 中, sin ?OAE ?

OE r 1 ? ? .??OAE ? 30? , OA 2r 2

? ?OAE ? ?OAF ?

1 ?EAF , AE ? AF ,??EAF ? 2?OAE ? 60? , 2

? ? AEF ,? ABC 是等边三角形.
连接 OM ,? OM ? 2 ,? OD ? MN ,

? MD ? ND ?

1 MN ? 3 .在 Rt ? ODM , 2

OD ? OM 2 ? MD 2 ? 22 ?

? 3?

2

? 1.

? AD ? OA ? OD ? 4 ? 1 ? 5 .
在 Rt ? ADB 中, AB ?

AD 5 10 3 . ? ? ? cos ?BAD cos30 3

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? 四边形 EBCF 的面积为

S? ABC ? S? AEF

3 ? 10 3 ? 3 ? ?? ? ? 2 3 ? ? ? 4 ? 3 ? 4

2

?

?

2

?

16 3 . 3

23.答案:见解析
解析过程: (Ⅰ)将曲线 C2 , C3 化为直角坐标系方程

C2 : x2 ? y2 ? 2 y ? 0 , C3 : x2 ? y2 ? 2 3x ? 0 .

? 3 x? ? ? x ? y ? 2 y ? 0 x ? 0 ? ? ? 2 . ,? 联立 ? 解得 ? 2 2 3 ?y ? 0 ? ? ? x ? y ? 2 3x ? 0 y? ? ? 2
2 2

所以交点坐标为 ? 0, 0 ? , ?

? 3 3? ? 2 ,2? ?. ? ?

(Ⅱ)曲线 因此 所以 当 时,

的极坐标方程为 , 的极坐标为 . 取得最大值,最大值为 .

,其中 .

.

的极坐标为

24.答案:见解析
解析过程: (Ⅰ)由题意可得

?

a? b

?

2

? a ? b ? 2 ab ,

?
?

c? d

?

2

? c ? d ? 2 cd ,

? ab ? cd ,? ab ? cd ,而 a ? b ? c ? d ,

?

a? b

? ??
2

c? d

? ,即
2

a? b? c? d .

(Ⅱ) a ? b ? c ? d ? a ? b ? 2 ab ? c ? d ? 2 cd

? ab ? cd ? ab ? cd

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? ?4ab ? ?4cd ? ? a ? b ? ? 4ab ? ? c ? d ? ? 4cd
2 2

? ?a ? b? ? ?c ? d ?
2

2

? a ?b ? c ? d


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