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2.2.4 对数函数及其性质(2)


2.2.4 对数函数及其性质(2)

1.对数函数的单调性 增函数 当 a>1 时,y=logax 为____________ ; 减函数 当 0<a<1 时,y=logax 为____________. > 2.对于 y=logax,若 a>1,当 x>1 时,y_______0 ,当 0< < > x<1 时,y______0 ;若 0<a<1,当

0<x<1 时,y_______0 , < 当 x>1 时,y______0. 减 练习 1:函数 f(x)=log2(2-x2)在区间[0, 2)是_________

函数(填“增”或“减”).

3.反函数

y=ax a>0,且 a≠1) 函数 y=logax(a>0,且 a≠1)与________( y=x 对称. 互为反函数,其图象关于直线________
练习2:函数 y=f(x)的图象与函数 y=3x 的图象关于直线 y log3x =x 对称,则 f(x)=__________. 练习3:若函数 f(x)的反函数为 y=log2x,则 f(x)=

f(x)=2x(x∈R) _________________.

题型 1 反函数问题

1.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,且 其图象经过点( a,a),则 f(x)=( B ) A.log2x B.log 1 x
2

1 C.2x

D.x2

1 解析: f(x)=logax, 代入( a, a), 解得 a=2, 所以 f(x)=log 1 x.
2

故选 B.

*【变式与拓展】

己知函数 f ( x) ? a x ? k 的图象过点(1,3)其反函数 y ? f -1 ? x ? 的图象过(2,0)点,求 f ? x ? 的表达式.

题型 2 对数型函数的基本性质

1-x 【例 2】 已知函数 f(x)=lg . 1+x
(1)求 f(x)的定义域;

(2)判断 f(x)的奇偶性并证明;
(3)判断 f(x)的单调性(不证明);

(4)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.

1-x x-1 解:(1) >0? <0 1+x x+1 ?(x-1)· (x+1)<0?-1<x<1. ∴f(x)的定义域为(-1,1). (2)函数的定义域为(-1,1),任取 x∈(-1,1),
?1-x? 1+x 1-x ? ?-1 f(-x)=lg =lg? =-lg =-f(x), ? 1-x 1+x ?1+x?

∴f(x)是奇函数.

1-x -1-x+2 2 (3) = =-1+ . 1+x 1+x 1+x 2 ∵ 是(-1,1)上的减函数, 1+x 1-x ∴f(x)=lg 在(-1,1)上是减函数. 1+x 1-x 1-x (4)对 lg >0? >1, 1+x 1+x
而从(1)知1+x>0,故可等价于1-x>1+x,又等价于x<0. 故对当x∈(-1,0)时,有f(x)>0.

1-x 注意对一次分式 实施变形以判断其单调性: 1+x 1-x -1-x+2 凑出一个分母,并把分子变成常数 . = =- 1 + 1+x 1+x 2 ,这样可很容易看出它是一个减函数. 1+x

【变式与拓展】

2-x 2.给出四个函数:①y=lg ; 2+x
②y=lg(2-x)-lg(2+x); ③y=lg[(x+2)(x-2)]; ④y=lg(x+2)+lg(x-2).

其中奇函数是________,偶函数是________ .

解析:①②的定义域相同,均为(-2,2),且均有 f(-x)= - f(x),所以都是奇函数; ③的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),且有 f(-x)=f(x),

所以为偶函数;
而④的定义域为(2,+∞)不对称,因此是非奇非偶函数. 答案:①② ③

对数型函数可以用f(-x) ±f(x)=0来判断奇偶性。

【例 4】 判断 f(x)=log2(x+ x2+1)的奇偶性.
易错分析:对对数运算公式不熟悉,或者对奇偶性的判别 方法不理解.定义中 f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),也可改为研究

f(-x)+f(x)=0,f(-x)-f(x)=0 是否成立.

解:方法一:∵f(-x)=log2(-x+ ?-x?2+1) 1 =log2(-x+ x +1)=log2 x+ x2+1
2

=-log2(x+ x2+1)=-f(x), ∴f(x)是奇函数. 方法二:∵f(x)+f(-x) =log2(x+ x2+1)+log2(-x+ x2+1) =log2[(x+ x2+1)· (-x+ x2+1)=log21=0. f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.

例3.求值域:

y ? log 1 ? ? x ? 2 x+3?
2 2

(2)设 u=3+2x-x2,则 u=-(x-1)2+4≤4. ∵u>0,∴0<u≤4. 又 y=log 1 u 在(0,+∞)上是减函数,
2

∴log 1 u≥log 1 4=-2.
2 2

∴y=log 1 (3+2x-x2)的值域为{y|y≥-2}.
2

【变式与拓展】 3.已知y=log4(2x+3-x2). (1)求 y 的定义域; (2)求 y 的单调区间; (3)求 y 的最大值,并求出对应的 x 值.

解:(1)由2x+3-x2>0,解得-1<x<3. ∴f(x)的定义域为{x|-1<x<3}.

(2)令u=2x+3-x2,则u>0,y=log4u.
由于u=2x+3-x2=-(x-1)2+4. 再考虑定义域可知,其增区间是(-1,1),减区间是[1,3). 又y=log4u在(0,+∞)上为增函数, 故该函数单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为[1,3). (3)∵u=2x+3-x2=-(x-1)2+4≤4, ∴y=log4u≤log44=1.

故当x=1,u取最大值4时,y取最大值1.

题型 3 含参的逆问题

【例 4】 已知 y=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,求实 数 a 的取值范围. 易错分析:解题中虽然考虑了对数函数与一次函数的复合 关系,却忽视了对数函数定义域的限制,单调区间应是定义域 的某个子区间,即函数应在[0,1]上有意义.

解: ∵y=loga(2-ax)是由y=logau,u=2-ax复合而成,

又a>0,
∴u=2-ax在[0,1]上是x的减函数,由复合函数关系知 y=logau应为增函数,∴a>1. 又由于x在[0,1]上时,y=loga(2-ax)有意义,u=2-ax又 是减函数, ∴当x=1时,u=2-ax取最小值为umin=2-a>0即可. ∴a<2.

综上所述,所求的取值范围是1<a<2.

【变式与拓展】 *3.已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减 函数,并且最大值为 1?如果存在,试求出 a 的值,如果不存 在,请说明理由.

解:(1)由题意,得 3-ax>0 对一切 x∈[0,2]恒成立.

∵a>0,且 a≠1,
∴g(x)=3-ax 在[0,2]上为减函数.

3 ∴g(2)=3-2a>0.∴a<2. ∴实数 a
? 3? 的取值范围是(0,1)∪?1,2?. ? ?

(2)假设存在这样的实数 a,
由题意知:f(1)=1,即loga(3-a)=1.
? 3 ? 3 ∴a=2.则 f(x)=log 3 ?3-2x?, ? ?
2

当 x=2 时,f(x)无意义. 故这样的函数不存在.

[方法· 规律· 小结]

1.指数函数与对数函数的关系.

对数函数 y = logax与指数函数 y = ax 的图象关于直线 y = x 对称, 它们互为反函数. 2.y=logaf(x)型或y=f(logax)型的函数.

(1) 要注意变量的取值范围,例如, f(x) = log2x , g(x) = x2 + x ,

则 f[g(x)] = log2(x2 + x) 中需有 g(x) > 0 ; g[f(x)] = (log2x)2 + log2x 中
需有x>0. (2)判断y=logaf(x)型或y=f(logax)型函数的奇偶性时,首先要 注意函数中变量的范围,再利用奇偶性定义判断.


高一数学《2.2.2对数函数及其性质(一)》教案

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