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函数的奇偶性——潘丽雪

时间:2011-07-01


函数奇偶性
哈尔滨师范大学 数学与应用数学 08级潘丽雪

奇函数、偶函数的概念 对函数的奇偶性的理解 奇函数、偶函数的性质

研究函数
y

(1 ) y
y=x
2

= x

2

(2 ) y
y

r />
= x

3 3

y=x

?x

o

x

x

?x

o

x

x

(? x )2 = x 2 ? f (? x ) = f (x ) (? x )3 = ? x 3 ? f (? x ) = ? f (x )
当自变量取一对相 反数时,函数值相同. 当自变量取一对相反 数时,函数值也是相反数.

y

y=x

2

y

y=x

3

?2

o

2

x

?2

o

2

x

f (? 2 ) = f (2 ) = 4 f (? 1) = f (1) = 1 ? 1? ?1? 1 f ?? ? = f ? ? = ? 2? ?2? 4 ??????

f (? 2 ) = ? f (2 ) = 8 f (? 1) = ? f (1) = 1

? 1? ?1? 1 f ?? ? = f ? ? = ? 2? ?2? 4 ??????

1.奇函数、偶函数的概念
一般地, 如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x, 都有 f (? x ) = f ( x ), 那么函数 f ( x )就叫做偶函数. 一般地, 如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x, 都有 f (? x ) = ? f ( x ), 那么函数 f (x )就叫做奇函数. 如果函数 f (x ) 是奇函数或偶函数, 那么我们就 说函数 f (x ) 具有奇偶性.

例 1.判断下列函数是否具有奇偶性

(1) f (x ) = x + 2 x (2) f (x ) = 2 x + 3x 解 : (1) f ( x ) = x 3 + 2 x 3 3 3 f (? x ) = (? x ) + 2(? x ) = ? x ? 2 x = ?(x + 2 x )
3 4 2

即 f (? x ) = ? f ( x )

所以 f (x )是奇函数.
4

(2) f (? x ) = 2(? x )
即 f (? x ) = f ( x )

+ 3(? x ) = 2 x 4 + 3 x 2
2

所以 f ( x )是偶函数.

2.对函数奇偶性的理解 从函数奇偶性的概念看出, 它们的定义域关于 原点对称. 判断下列函数的奇偶性

f (x ) = x 2 f (x ) = x 2 f (x ) = x 2 f (x ) = x 2

(x > 0) x ∈ (? 1,1]
x ∈ [? 2,4]

非奇非偶函数.
非奇非偶函数. 非奇非偶函数.

x ∈ (? 2,?1) ∪ (1,2 )

偶函数.

当x > 0时,? x < 0, 所以 f (? x )不存在. 当x = 1时,? x = ?1, 所以 f (? 1)不存在. 当x = 3时,? x = ?3, 所以 f (? 3)不存在. 当x ∈ (? 2,?1)时,? x ∈ (1,2), 所以 f (? x ) = f ( x ) 当x ∈ (2,1)时,? x ∈ (? 2,?1), 所以 f (? x ) = f ( x ) f (x ) = x 2 x ∈ (? 2,?1) ∪ (1,2 )
f (x ) = x
2

f (x ) = x 2

(x > 0)

f (x ) = x 2

x ∈ (? 1,1]

x ∈ [? 2,4]

判断一个函数非奇非偶函数的方法 :

(1)函数的定义域关于原点不对称. (2)对于定义域内存在x0使 f (? x0 ) ≠ f (x0 )
对于定义域内存在 x1 , 使 f (? x1 ) ≠ ? f ( x1 )
判断一个函数奇偶性的等价形式 :

f (? x ) = f ( x ) ? f (? x ) ? f ( x ) = 0 偶函数 f (? x ) = ? f (x ) ? f (? x ) + f (x ) = 0 奇函数

例 2.判断下列函数是否具有奇偶性

(1) f (x ) =| x | (x
(3) f (x ) =

2

+1

)

1 (2) f (x ) = x + 3 x
3

x?2 + 2? x

1 (4) f (x ) = 1 ? x + x +1

(5) f (x ) = x + 1

(6) f (x ) = 3

(7 ) f (x ) = 0

(1) f (x ) =| x | (x 2 + 1)
解 : 此函数的定义域为R
f (? x ) =| ? x | (? x ) + 1 =| x | x 2 + 1 = f ( x )
2

∴ f (? x ) = f ( x )
3

[

函数 f ( x )是偶函数.

]

(

)

∴ f (? x ) = ? f ( x )

1 (2) f (x ) = x + 3 x 解 : 此函数的定义域为 { x | x ≠ 0 } 1 ? 3 1? 3 f (? x ) = (? x ) + = ?? x + 3 ? = ? f ( x ) 3 x ? (? x ) ?

函数 f ( x )是偶函数.

(3) f (x ) =
x?2≥0 x?2≤0

x?2 + 2? x

?x=2

f ( x ) 的定义域为 {2}

由于定义域关于原点不对称, 故 f ( x )是非奇非偶函数.
1 (4) f (x ) = 1 ? x + x +1

1? x ≥ 0
x +1 > 0

? ?1 < x ≤ 1

f ( x ) 的定义域为 (? 1,1]

由于定义域关于原点不对称, 故 f ( x )是非奇非偶函数.

(5) f (x ) = x + 1
函数的定义域为R 取 x = 1, f (1) + f (? 1) = 1 + 1 ? 1 + 1 = 2 ≠ 0

取 x = 2, f (2 ) ? f (? 2) = 2 + 1 ? (? 2 + 1) = 4 ≠ 0
函数 f ( x )是非奇非偶函数.

(6) f (x ) = 3
函数的定义域为R
对定义域中任何一个 x, 都有 f ( x ) = 3

函数 f ( x )是偶函数.

f (? x ) ? f ( x ) = 3 ? 3 = 0

(7 ) f (x ) = 0
函数的定义域为R
对定义域中任何一个 x, 都有 f ( x ) = 0

f (? x ) ± f ( x ) = 0 ± 0 = 0

函数 f ( x )即是偶函数又是奇函数.
注 函数 f ( x ) = a (a为常数)是偶函数, 当a = 0时 , 即是偶函数又是奇函数;
小结 : 判断函数奇偶性的一般步骤 : 确定定义域(关于原点对称) → 验证 f (? x ) = f ( x )或f (? x ) = ? f ( x ) → 下结论.

思考题 : 奇函数和偶函数的图象各有什么特点 ? 各举一例.

1 y= x

y

1 y= | x|
P( x, f ( x ))
o

y

P`(? x,? f ( x ))
o

P( x, f ( x ))
x

P`(? x,? f ( x ))

x

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