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2013届高三一检数学模拟试题


2013 届高三一检数学模拟试题
2013-1-12
一、填空题: 本大题共 14 小题, 每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答卷纸相应位置上. ... 1.设集合 A={x|x≤1},B={x|x≥-2},则 A∩B= 2i 2.计算: = 1+i ▲ .





1 3 3.函数

y= sin2x- cos2x 的最小正周期是 2 2



. 4.为了解某校高中学生的视力情况,对该校学生按年级进行分层抽样调查,已知该校高一、 高二、高三分别有学生 800 名、600 名、500 名,若高三学生共被抽取 25 名,则高一年 级应被抽取的学生数为 ▲ . 5.如果 lg m+lg n=0,那么 m+n 的最小值是 ▲ . 6.设 a∈{-1,0,1,3},b∈{-2,4},则以(a,b)为坐标的点落在第四象限的概率为 ▲ . 7.根据如图所示的算法流程图,输出的结果 T 为 开始 I←2 T←1 ▲ .

I←I+2 T←T×I I≤6 N 输出 T 结束
(第 7 题图)

Y

1

8.设 ? , ? 为两个不重合的平面, m, n 为两条不重合的直线, 现给出下列四个命题: ①若 m // ? , n ? ? ,则 m // n ; ②若 m ? n, m ? ? ,则 n // ? ; ③若 ? ? ? ,? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则 n ? ? ; ④若 m // n, n ? ? , ? // ? , 则 m ? ? . 其中,所有真命题的序号是 ▲ 9.以椭圆 C 的短轴为直径的圆经过该椭圆的焦点,则椭圆 C 的离心率为 10.若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a8=2a3,则

▲ .



S15 的值是 S5



4 11.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 a=5,b=7,cosC= ,则角 A 5 的大小为 ▲ . 12.已知 A(-3,0) B(0, 3) O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且∠AOC=60°, , , → → → OC =λ OA + OB ,则实数 λ 的值是 ▲ . 13、若函数 y ? mx ? x ? 5 在 ? ?2, ??) 上是增函数,则 m 的取值范围是____________
2

。 14、设 a, b ? R, a ? 2b ? 6 ,则
2 2

b 的最大值是_________________。 a?3

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请 把答案写在答卷纸相应位置上. ... 15. (本题满分 14 分) 5 π π 已知 sinx= ,x∈( ,π ),求 cos2x 和 tan(x+ )值. 13 2 4

16. (本题满分 14 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形,平面 PAD⊥平面 ABCD,且 E、O 分别为

PC、BD 的中点.
求证: (1)EO∥平面 PAD;

P

E

(2)平面 PDC⊥平面 PAD.
D O A B C

2

17. (本题满分 14 分) 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是 P(亿元)和 Q(亿元) ,它们与投 1 资额 t(亿元)的关系有经验公式 P= 6 1 3t ,Q= t.今该公司将 5 亿元投资这两个 8

项目,其中对甲项目投资 x(亿元) ,投资这两个项目所获得的总利润为 y(亿元) . 求: (1)y 关于 x 的函数表达式; (2)总利润的最大值.

18. (本题满分 16 分) 2 2 已知直线 l1:3x+4y-5=0,圆 O:x +y =4. (1)求直线 l1 被圆 O 所截得的弦长; (2)如果过点(-1,2)的直线 l2 与 l1 垂直,l2 与圆心在直线 x-2y=0 上的圆 M 相 切,圆 M 被直线 l1 分成两段圆弧,其弧长比为 2∶1,求圆 M 的方程.

3

19. (本题满分 16 分) 1 1 2 已知:在数列{an}中,a1= ,an+1= an+ n+1. 4 4 4 n (1)令 bn=4 an,求证:数列{bn}是等差数列; 5 * (2)若 Sn 为数列{an}的前 n 项的和,Sn+λ nan≥ 对任意 n∈N 恒成立,求实数 λ 的 9 最小值.

20. (本题满分 16 分) 1 3 2 2 设函数 f(x)= x -mx +(m -4)x,x∈R. 3 (1)当 m=3 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)已知函数 f(x)有三个互不相同的零点 0,α ,β ,且 α <β . 若对任意的 x∈[α ,β ],都有 f(x)≥f(1) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

4

参考解答及评分标准
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.{x|-2≤x≤1} 7.48 9. 2.1+i 3.π 4.40 5.2 1 6. 4

2 π 1 10.6 11. 12. 2 4 3 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 5 2 119 2 15.解:cos2x=1-2sin x=1-2×( ) = . ………………………6 分 13 169 5 π 5 2 12 因为 sinx= ,x∈( ,π ),所以 cosx=- 1-( ) =- . …………8 分 13 2 13 13 sinx 5 则 tanx= =- . ………………………………………………………10 分 cosx 12 π tanx+1 7 所以 tan(x+ )= = . ………………………………………14 分 4 1-tanx 17 16. (1)证法一:连接 AC. 因为四边形 ABCD 为矩形,所以 AC 过点 O,且 O 为 AC 的中点. 又因为点 E 为 PC 的中点,所以 EO//PA.……………………………………………4 分 因为 PA? 平面 PAD,EO?平面 PAD,所以 EO∥面 PAD.………………………7 分 / 证法二:取 DC 中点 F,连接 EF、OF. 因为点 E、O 分别为 PC 和 BD 的中点,所以 EF//PD,OF//BC. 在矩形 ABCD 中,AD//BC,所以 OF//AD. 因为 OF?平面 PAD,AD? 平面 PAD,所以 OF//平面 PAD. / 同理,EF//平面 PAD. 因为 OF∩EF=F,OF、EF? 平面 EOF, 所以平面 EOF//平面 PAD. ………………………………………………………4 分 因为 EO? 平面 OEF,所以 EO∥平面 PAD.………………………………7 分 证法三:分别取 PD、AD 中点 M、N,连接 EM、ON、MN. 1 1 ∥ ∥ 因为点 E、O 分别为 PC 和 BD 的中点,所以 EM = CD,ON = AB. 2 2 ∥CD,所以 EM ∥ON. 在矩形 ABCD 中,AB = = 所以四边形 EMNO 是平行四边形.所以 EO//MN.……………………………………4 分 因为 MN? 平面 PAD,EO?平面 PAD,所以 EO∥面 PAD. ……………………7 分 / (2)证法一:因为四边形 ABCD 为矩形,所以 CD⊥AD.……………………………9 分 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,CD? 平面 ABCD, 所以 CD⊥平面 PAD.…………………………………………………12 分 又因为 CD? 平面 PDC, 所以平面 PDC⊥平面 PAD. ……………………………………………14 分 证法二:在平面 PAD 内作 PF⊥AD,垂足为 F. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,所以 PF⊥平面 ABCD. 因为 CD? 平面 ABCD,所以 PF⊥CD. …………………………………9 分 因为四边形 ABCD 为矩形,所以 CD⊥AD.……………………………11 分 因为 PF∩AD=F,所以 CD⊥平面 PAD.……………………………12 分 又因为 CD? 平面 PDC, 所以平面 PDC⊥平面 PAD.……………………………………………14 分

5

1 1 17.解: (1)根据题意,得 y= 3x + (5-x), …………………………6 分 6 8

x∈[0,5] …………………………………………………7 分 .
(注:定义域写成(0,5)不扣分) (2)令 t= 3x ,t∈[0, 15] ,则 x= , 3

t2

t2 1 5 1 19 y=- + t+ =- (t-2)2+ .…………………………………………10 分
24 6 8 24 24 4 19 因为 2∈[0, 15] ,所以当 3x =2 时,即 x= 时,y 最大值= .…………13 分 3 24 19 答:总利润的最大值是 亿元. ………………………………………………14 分 24 |3×0+4×0-5| 18. (1)解法一:圆心 O 到直线 l1 的距离 d= =1,………………1 分 2 2 3 +4 圆 O 的半径 r=2,…………………………………………………………………2 分 2 2 所以半弦长为 2 -1 = 3. ……………………………………………………4 分 故直线 l1 被圆 O 所截得的弦长为 2 3.…………………………………………5 分 3+4 3 x= , 5 ?3x+4y-5=0, ? 2 解 法 二 : 解 方 程 组 得 或 2 ?x +y =4. 4-3 3 y= 5

? ? ? ? ?

?x=3-4 ? 5 ? 4+3 ?y= 5 ?

3 , 3 . ………………………2 分

3+4 3 4-3 3 3-4 3 4+3 3 直线 l1 与圆 O 的交点是( , )( , , ) . 5 5 5 5 故直线 l1 被圆 O 所截得的弦长 2 3. …………………………5 分 (2)因为过点(-1,2)的直线 l2 与 l1 垂直,直线 l1 的方程为 3x+4y-5=0, 所以直线 l2 的方程为:4x-3y+10=0. ……………………………………7 分 设圆心 M 的坐标为(a,b) ,圆 M 的半径为 R,则 a-2b=0. ① 因为圆 M 与直线 l2 相切,并且圆 M 被直线 l1 分成两段圆弧,其弧长比为 2∶1, |4a-3b+10| |3a+4b-5| 1 所以 =R, = R. 5 5 2 |4a-3b+10| |3a+4b-5| 所以 =2× .………………………………………9 分 5 5 可得 4a-3b+10=2×(3a+4b-5)或 4a-3b+10=-2×(3a+4b-5). 即 2a+11b-20=0,② 或 2a+b=0.③ 8 4 由①、②联立,可解得 a= ,b= . 3 3 10 8 2 4 2 100 所以 R= .故所求圆 M 的方程为(x- ) +(y- ) = .…………………12 分 3 3 3 9 由①、③联立,可解得 a=0,b=0.
6

3+4 3 3-4 3 2 4-3 3 4+3 3 2 ( - ) +( - )= 5 5 5 5

所以 R=2.故所求圆 M 的方程为 x +y =4.……………………………………15 分 8 2 4 2 100 2 2 综上,所求圆 M 的方程为:(x- ) +(y- ) = 或 x +y =4. ……………16 分 3 3 9 1 2 19.解: (1)由 an+1= an+ n+1, 4 4 得 4 an+1=4 an+2. ……………………………………………………………2 分 所以 bn+1=bn+2, 即 bn+1-bn=2.………………………………………………………………………………4 分 故数列{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列.………………………………………5 分 (2)因为数列{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,所以 bn=1+2(n-1)=2n-1. 2n-1 n 因为 bn=4 an,所以 an= n . ……………………………………………7 分 4 1 3 5 2n-3 2n -1 则 Sn= + 2 + 3 +…+ . n-1 + n 4 4 4 4 4 1 1 3 5 2n-3 2n-1 又 Sn= 2 + 3 + 4 +…+ + n+1 . n 4 4 4 4 4 4 3 1 1 1 1 1 2n-1 所以 Sn= +2( 2 + 3 + 4 +…+ n )- n+1 …………………9 分 4 4 4 4 4 4 4 1 1 2(1- n-1) 4 4 1 2n-1 = +2× - n+1 . 4 1 4 1- 4 5 2 1 2n-1 1 所以 Sn= - × n-1 - × n . ……………………………………11 分 9 9 4 3 4 5 * 因为 Sn+λ nan≥ 对任意 n∈N 恒成立, 9 所以 5 2 1 2n-1 1 n(2n-1) 5 * - × n-1 - × n+λ × ≥ 对任意 n∈N 恒成立. n 9 9 4 3 4 4 9
n+1 n

2

2

8 1 1 * 即λ ≥ × + 对任意 n∈N 恒成立.……………………12 分 9 n(2n-1) 3n 8 1 8 因为 n≥1,2n-1≥1,所以 × ≤ ,当且仅当 n=1 时取等号. 9 n(2n-1) 9 又因为 1 1 ≤ ,当且仅当 n=1 时取等号. 3n 3

8 1 1 11 所以 × + ≤ ,当且仅当 n=1 时取等号.………………15 分 9 n(2n-1) 3n 9 11 11 所以 λ ≥ ,所以 λ 的最小值为 .…………………………………………16 分 9 9 1 3 2 2 20.解:(1)当 m=3 时,f(x)= x -3x +5x,f ′ (x)=x -6x+5.………………1 分 3 2 2 因为 f(2)= ,f ′ (2)=-3,所以切点坐标为(2, ) …………………2 分 , 3 3 切线的斜率为-3. ………………………………………………………………3 分

7

2 则所求的切线方程为 y- =-3(x-2),即 9x+3y-20=0.………………4 分 3 2 2 (2)解法一:f ′ (x)=x -2mx+(m -4),令 f ′ (x)=0,得 x=m-2 或 x=m+2. 6 分 当 x∈(-∞,m-2)时,f ′ (x)>0,f(x)在(-∞,m-2)上是增函数; 当 x∈(m-2,m+2)时,f ′ (x)<0,f(x)在(m-2,m+2)上是减函数; 当 x∈(m+2,+∞)时,f ′ (x)>0,f(x)在(m+2,+∞)上是增函数.……9 分 1 2 2 因为函数 f(x)有三个互不相同的零点 0,α ,β ,且 f(x)= x[x -3mx+3(m -4)], 3 2 2 ?(3m) -12(m -4)>0, ? 所以 解得 m∈(-4,-2)∪(-2,2)∪(2,4). 2 ?3(m -4)≠0. 当 m∈(-4,-2)时,m-2<m+2<0,所以 α <m-2<β <m+2<0. 此时 f(α )=0,f(1)>f(0)=0,与题意不合,故舍去; 当 m∈(-2,2)时,m-2<0<m+2,所以 α <m-2<0<m+2<β . 因为对任意的 x∈[α ,β ],都有 f(x)≥f(1)恒成立,所以 α <1<β . 所以 f(1)为函数 f(x)在[α ,β ]上的最小值. 因为当 x=m+2 时,函数 f(x)在[α ,β ]上取最小值,所以 m+2=1,即 m=-1; 当 m∈(2,4)时,0<m-2<m+2,所以 0<α <m-2<m+2<β . 因为对任意的 x∈[α ,β ],都有 f(x)≥f(1)恒成立,所以 α <1<β . 所以 f(1)为函数 f(x)在[α ,β ]上的最小值. 因为当 x=m+2 时,函数 f(x)在[α ,β ]上取最小值,所以 m+2=1,即 m=-1 (舍 去).……15 分 综上可知,m 的取值范围是{-1}.………………………………………………16 分 2 2 解法二:f ′ (x)=x -2mx+(m -4),令 f ′ (x)=0,得 x=m-2 或 x=m+2.……6 分 所以,当 x∈(-∞,m-2)时,f ′ (x)>0,f(x)在(-∞,m-2)上是增函数; 当 x∈(m-2,m+2)时,f ′ (x)<0,f(x)在(m-2,m+2)上是减函数; 当 x∈(m+2,+∞)时,f ′ (x)>0,f(x)在(m+2,+∞)上是增函数.……9 分 当 α <β <0 时,必有 α <m-2<β <m+2<0,则当 x∈[α ,β ]时,f(x)的最小值 是 f(α )=0. 此时 f(1)>f(0)=0=f(α ),与题意不合,故舍去; 2 当 α <0<β 时,则有 α <m-2<0<m+2<β ,此时 3(m -4)<0,即-2<m<2. 因为对任意的 x∈[α ,β ],都有 f(x)≥f(1)恒成立,所以 α <1<β . 所以 f(1)为函数 f(x)在[α ,β ]上的最小值. 又函数 f(x)在[α ,β ]上的最小值就是极小值,所以 f′(1)=0,得 m=3(舍去)或 m =-1; 2 2 ?(3m) -12(m -4)>0, ? 当 0<α <β 时,则有 0<α <m-2<m+2<β ,此时?3m>0, ?3(m2-4)>0. ? 解得 m∈(2,4). 因为对任意的 x∈[α ,β ],都有 f(x)≥f(1)恒成立,所以 α <1<β . 所以 f(1)为函数 f(x)在[α ,β ]上的最小值. 又函数 f(x)在[α ,β ]上的最小值就是极小值,所以 f ′(1)=0,得 m=3 或 m=-1 (舍去) . 又因为当 m=3 时,f(1)为极大值,与题意不合,故舍去.……………………15 分 综上可知,m 的取值范围是{-1}.…………………………………………16 分

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