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济南市2015届高三第二次模拟考试各科 数学(理科)


高三针对性训练

数学(理科)
本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,共 5 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写 在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应

题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案写在试卷上无效. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的 位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改 液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件 A,B 独立,那么 P(AB)=P(A)·P(B); 事件 A 发生的前提下事件 B 发生的概率为 P A B ?

?

?

P ? A ? B? . P ? A?

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 P ? ?1, m? , Q ? ?1,3,5? ,则“ m ? 5 ”是“ P ? Q ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 2.复数 z ? A. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5 2

2 ? 3i 的虚部是 1? i 5 5 i B. ? C. 2 2

D. ?

5 i 2

3.某射击手射击一次命中的概率是 0.7,连续两次均射中的概率是 0.4,已知某次射中,则随后一 次射中的概率是 A.

7 10

B.

6 7

C.

4 7

D.

2 5

4. 如图所示,点 P 是函数 y ? 2sin ?? x ? ? ?? x ? R, ? ? 0? 的图象 的一个最高点,M,N 是图象与 x 轴的交点.若 PM ? PN ? 0 ,则 ? 的 值为 A.8 B.4 C.

uuu r uuu r

? 8

D.

? 4

5.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数, 当 x ? ? 0,1? 时,f ? x ? ? 3x ? 1 ,则f ?

? 2015 ? ?? ? 2 ?

A. C.

3 ?1 3 ?1

B. ? 3 ? 1 D. ? 3 ?1

6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的值为 ?5 ,则输 出 y 的值为 A.0.5 B.1 C.2 D.4

?x ? y ? 0 ? 7.在不等式组 ? x ? y ? 0 确定的平面区域中,若 z ? x ? 2 y 的最大值为 9, ?y ? a ?
则 a 的值为 A.0 C.6 B.3 D.9

8. 已 知 正 实 数 m, n 满 足 m ? n ? 1 , 且 使

1 16 ? 取 得 最 小 值 . 若 曲 线 y ? xa 过 点 m m

?m n? P ? , ?,则? 的值为 ? 5 4?
A. ?1 B.

1 2

C.2

D.3

9.若双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,线段 F1F2 被抛物线 y 2 ? 4bx 2 a b

的焦点分成 5:3 两段,则此双曲线的离心率为 A.

4 15 15

B.

2 3 3

C.

15

D.

3

10.函数 f ? x ? 的定义域为 D,对给定的正数 k,若存在闭区间 ? a, b? ? D ,使得函数 f ? x ? 满足: ① f ? x ? 在? a, b? 内是单调函数;② f ? x ? 在? a, b? 上的值域为 ?ka, kb? ,则称区间 ? a, b? 为

y ? f ? x ? 的 k 级“理想区间”.下列结论错误的是
A.函数 f ? x ? ? ?x B.函数 f ? x ? ? e C.函数 f ? x ? ?
x 2

? x ? R ? 存在 1 级“理想区间”

? x ? R? 不存在 2 级“理想区间”

4x ? x ? 0 ? 存在 3 级“理想区间” x ?1
2

D. 函数 f ? x ? ? log a ? a ?
x

? ?

1? ? ? a ? 0, a ? 1? 不存在 4 级“理想区间” 4?

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物, 也称为可 入肺颗粒物,如图是根据某地某日早 7 点至晚 8 点甲、乙两个监测 点统计的数据(单位:毫克/每立方米)列出的茎叶图,则甲、乙 两地浓度的方差较小的是________.

1 ? ? 12.二项式 ? x ? 3 ? 的展开式中常数项为________. x? ?
13.已知圆 C 过点 ? ?1,0 ? ,且圆心在 x 轴的负半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被该圆所截得的弦长为

4

2 2 ,则圆 C 的标准方程为___________.
14. 已知正方形 ABCD,M 是 DC 的中点,由 AM ? mAB ? nAC 确定 m, n 的值,计算定积分

uuur

uu u r

uuu r

? ? sin xdx ? __________.
m

n?

15.如图,三个半径都是 5cm 的小球放在一个半球面的碗中,三个小球的顶端恰 好与碗的上沿处于同一水平面,则这个碗的半径 R 是_________cm. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ? cos ? 2 x ?

r

? ?

? ?

??

r r ? r f x ? a ?b . ,函数 , cos ? sin x , b ? 1,cos x ? sin x ? ? ? ? ? ? 3? ?

(I)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (II) 在 ?ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c 已知 f ? A? ? 面积 S. 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn ,非常数等比数列 ?bn ? 的公比是 q,且满足: a1 ? 2 ,

3 ? 求 ?ABC 的 , a ? 2, B ? , 2 3

b1 ? 1, S2 ? 3b2 , a2 ? b3 .
(I)求 an与bn ; (II)设 cn ? 2bn ? ? ? 3 ,若数列 ?cn ? 是递减数列,求实数 ? 的取值范 围. 18. (本小题满分 12 分) 在 如 图 所 示 的 几 何 体 中 , 四 边 形 ABCD 是 等 腰 梯 形 , AB//CD ,
an 2

EC ? ?ABC ? 60o,AB ? 2CB=2 .在梯形 ACEF 中, EF//AC, 且 AC=2EF,

平面 ABCD. (I)求证: BC ? AF ; (II)若二面角 D ? AF ? C 为 45°,求 CE 的长. 19. (本小题满分 12 分) 已知正棱锥 S ? ABC 侧棱棱 SA,SB,SC 两两互相垂直,D,E,F 分别是它们的中点,SA=SB=SC=2,现 从 A,B,C,D,E,F 六个点中任取三个点,加上点 S,把这四个点两两相连后得到一个“空间体” ,记 这个“空间体”的体积为 X(若点 S 与所取三点在同一平面内,则规定 X=0). (I)求事件“X=0”的概率; (II)求随机变量 X 的分布列及数学期望.

20. (本小题满分 13 分)中学联盟网 已知椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 e, 半焦距为 c,B ? 0,1? 为其上顶点, 且 a ,c 2 , b 2 2 a b

依次成等差数列. (I)求椭圆的标准方程和离心率 e; (II)P,Q 为椭圆上的两个不同的动点,且 kBP ? kBQ ? e2 . (i)试证直线 PQ 过定点 M,并求出 M 点坐标; (ii) ?PBQ 是否可以为直角三角形?若是,请求出直线 PQ 的斜率;否则请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? a ? 2x ? a ? 0, 且a ? 1? .
x

(I)当 a ? 2 时,求曲线 f ? x ? 在点 P 2, f ? 2? 处的切线方程; (II)若 f ? x ? 的值恒非负,试求 a 的取值范围; (III)若函数 f ? x ? 存在极小值 g ? a ? ,求 g ? a ? 的最大值.

?

?

2015 届高三教学质量调研考试

理科数学参考答案
一、选择题 ABCDD 二、填空题 (11)甲 三、解答题 (16)解: (Ⅰ ) f ( x) ? a ? b ? cos( 2 x ? (12)4 (13) ?x ? 3? ? y 2 ? 4
2

DBBAD

(14)1

(15) 5 ?

5 21 3

?
3

) ? cos 2 x ? sin 2 x

? cos(2 x ? ) ? cos 2 x ? cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? cos 2 x 3 3 3

?

?

?

?

3 3 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 3( sin 2 x ? cos 2 x) ? 3 sin(2 x ? ) ????3 分 2 2 2 2 3

令?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ( k ? Z ) ,得 ?

5? ? ? k? ? x ? ? k? ( k ? Z ) , 12 12

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ?

? ? 5? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) . ????6 分 12 ? 12 ?

(Ⅱ )由 f ( A) ?

? 1 3 ,得 sin( 2 A ? ) ? , 3 2 2
2 ? ? 5 ? ,所以 ? 2 A ? ? ? , 3 3 3 3
??????????? 8 分 得b ?

因为 A 为 ?ABC 的内角,由题意知 0 ? A ? 因此 2 A ?

? 5 ? ? ,解得 A ? , 4 3 6 ? a b ? 又 a ? 2 , B ? ,由正弦定理 , 3 sin A sin B
由A?

?

6 ,?????? 10 分

?

4

,B ?

?

3

,可得 sin C ? sin(? ? ( A ? B)) ? sin( A ? B)

= sin A cos B ? cos A sin B ?

6? 2 2 1 2 3 ,???????11 分 ? ? ? ? 4 2 2 2 2

所以, ?ABC 的面积 S ?

1 1 6 ? 2 3? 3 ab sin C ? ? 2 ? 6 ? = .?12 分 2 2 2 4

(17)解:(1)由已知可得 ?

? 2 ? a2 ? 3q 所以 q2-3q+2=0,??????????3 分 2 ? a2 ? q

解得 q=2 或 q=1(舍),从而 a2=4,所以 an=2n, bn ? 2n ?1 .????5 分

(2)由(1)知, cn ? 2bn ? ? ? 3 2 ? 2n ? 3n ? .?????????????7 分 由题意, cn ?1 ? cn 对任意的 n ? N * 恒成立, 即 2
n ?1

an

1 ?2? ? 3 ? ? 2 ? 3 ? 恒 成 立 , 亦 即 2? 3 ? 2 恒 成 立 , 即 ? ? ? ? ? 恒 成 2 ?3?
n ?1 n n
n n

n

立.????9 分
x ? 1 ? 2 ?n ? 1 2 1 1 ?2? 由于函数 y ? ? ? ? 是减函数,所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ,??11 分 2 ?3? ?2 ? 3 ? ? ? max 2 3 3 ? 1 1 故 ? ? ,即 λ 的取值范围为 ( ,?? ) .??????????????12 分 3 3

(18)解证: (Ⅰ )证明:在 ?ABC 中, AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos 60 ? 3 所以 AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ,由勾股定理知 ?ACB ? 90 所以 BC ? AC . 又因为 EC ⊥平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD 所以 BC ? EC . 又因为 AC ?????????4 分 ??2 分

EC ? C 所以 BC ⊥平面 ACEF ,又 AF ? 平面 ACEF
?????????6 分

所以 BC ? AF . 如图所示的空间直角坐标系 C ? xyz .

(Ⅱ )因为 EC ⊥平面 ABCD ,又由(Ⅰ)知 BC ? AC ,以 C 为原点,建立



CE =h





C ? 0,0,0?

,

A

?

3, 0, 0

?

,

? 3 ? F? , 0, h ? ? 2 ? ? ?



? 3 1 ? D? ? 2 ,? 2 ,0? ? ? ?

,

? 3 1 ? AD ? ? ? ? 2 ,? 2 ,0? ? ? ?



? ? 3 AF ? ? ? ? 2 , 0, h ? ?. ? ?

??????????8 分

? ? AD ? n1 ? 0, 设平面 DAF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则 ? ? ? AF ? n1 ? 0.
所以 n1 ? ( 3, ?3, ) .

? ?? ? 所以 ? ?? ? ?

3 1 x ? y ? 0, 2 2 令x ? 3. 3 x ? hz ? 0. 2

3 2h

??????????9 分

又平面 AFC 的法向量 n2 ? (0,1,0) 所以 cos 45 ?

???????????10 分山东中学联盟网

n1 ? n2 2 6 , 解得 h ? . ????????11 分 ? 4 n1 ? n2 2
6 . ?????????????12 分 4

所以 CE 的长为

(19)
3 解:(I)从 A, B, C, D, E, F 六个点中任取三个点共有 C6 ? 20 种不同取法, 1 3 其中所选取的 3 个点与点 S 在同一个平面内的取法有 C3 C4 ? 12

所以所求事件“ X ? 0 ”的概率 P ( X ? 0) ? (II)由题意知 X 的所有可能取值为 0, , , ,

12 3 ? . ??????????2 分 20 5

1 1 2 4 6 3 3 3

1 C3 1 P( X ? ) ? 3 ? ,??????????4 分 3 6 C6 20 1 C32 3 ,??????????6 分 P( X ? ) ? 3 ? 3 C6 20 2 C2 3 ,??????????8 分 P( X ? ) ? 33 ? 3 C6 20 4 C3 1 P( X ? ) ? 3 ? ,??????????10 分 3 3 C6 20
由(I)知 P ( X ? 0) ?

3 5

所以随机变量 X 的分布列为:

1 1 2 4 6 3 3 3 3 1 3 3 1 P 5 20 20 20 20 3 1 1 1 3 2 3 4 1 9 (X) ? 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 E . ??????????12 分 5 6 20 3 20 3 20 3 20 40
X
2 2 2 2 2 2 (20)解:(I)由题意 b ? 1 , a ? b ? 2c ,又 a ? b ? c ,

0

解得 a ? 3, c ? 2 ,
2 2

椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1. 3
??????3 分

离心率 e ?

2 6 ? 3 3

(II)(i)设直线 PQ 的方程为 x ? my ? n ,设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 联立 ?

? x ? m y? n 2 2 2 ,得 (3 ? m ) y ? 2mny? n ? 3 ? 0 ??????4 分 2 2 ?x ? 3 y ? 3

? ? (2mn)2 ? 4(3 ? m2 ) ? (n2 ? 3) ? 12(m2 ? n2 ) ? 0 (*)
? 2m n ? ? y1 ? y2 ? 3 ? m 2 ? 2 ? y1 y2 ? m ? 3 3 ? m2 ?
? k BM ? k MN ? y1 ? 1 y2 ? 1 2 2 ? ?e ? x1 x2 3

??????6 分

?3( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? 2 x1 x2 ? 2(my 1 ? n)(my 2 ? n)

?(2m2 - 3)y1 y2 ? (2mn? 3)( y1 ? y2 ) ? 2n2 ? 3 ? 0
? (2m 2 - 3) m2 ? 3 ? 2m n ? (2m n ? 3) ? 2n 2 ? 3 ? 0 2 2 3? m 3? m

2 2 整理得 n ? 2m n ? 3m ? 0

? (n ? 3m)(n ? m) ? 0

?n ? ?m 或 n ? 3m

??????9 分

所以直线 PQ 的方程为 x ? my ? m ? m( y ? 1) (舍)或 x ? m y ? 3m ? m( y ? 3) 所以直线 PQ 过定点 (0,?3) .??????10 分 (ii) 由题意, ?PBQ ? 90? ,若 ?BPM ? 90? ,或 ?BQM ? 90? ,则 P 或 Q 在以 BM 为直径的圆 T 上,即在圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 上 联立 ?

?x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4
2 2 ?x ? 3y ? 3

,得 y ? 0 或 1 (舍)

即 P 或 Q 只可以是椭圆的左右顶点,故 kPQ ? ? 3 . ??????13 分 (21)解: (I)当 a ? 2 时, f ( x) ? 2 ? 2x ,? f ?( x) ? 2 ln 2 ? 2 ,? f ?(2) ? 4 ln 2 ? 2 ,又 f (2) ? 0 ,
x x

∴所求切线方程为 y ? (4 ln 2 ? 2) x ;????????????????3 分 (II) g ?( x) ? 0 ,则 x ?

e , 2 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立; x ? 0 时, 若 0 ? a ? 1 ,则 x ? 1 时 f ( x) ? 1 ? 2 ? 0 ,与题意矛盾,故 a ? 1 ;??5 分 x 由 f ( x) ? 0 知 a ? 2 x ,所以 x ln a ? ln(2 x) ,

ln(2 x) ,……………………………………………6 分 x 1 ? 2 ? x ? ln(2 x) ln( 2 x ) 1 ? ln(2 x) 2 x 令 g ( x) ? ,则 g ?( x) ? ,…7 分 ? 2 x x x2 e 令 g ?( x) ? 0 ,则 x ? , 2 e e 且 0 ? x ? 时, g ?( x ) ? 0, x ? 时 g ?( x) ? 0 , 2 2 e ln e 2 ∴ g ( x)max ? g ( ) ? ? , e 2 e 2 2 2 ∴ ln a ? , a ? e e , e
∴ ln a ?
2

即 a 的取值范围为 [e e ,??) ……………………………………………9 分 (III) f ?( x) ? a x ln a ? 2, ①当 0 ? a ? 1 时 , a x ? 0, ln a ? 0,? f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 R 上 为减函数 , f ( x) 无极 小 值.?10 分

2 ln 2 2 t ②当 a ? 1 时,设方程 f ?( x) ? 0 的根为 t,得 a ? ,即 t ? log a = lna , ln a ln a ln a ∴ f ( x ) 在 (??, t ) 上为减函数,在 (t ,??) 上为增函数, 2 ln 2 ∴ f ( x ) 的极小值为 f (t ) ? at ? 2t ? ? 2 ln a ,………………12 分 ln a ln a 2 ln 2 即 g (a) ? ? 2 ln a , ln a ln a 2 ? 0. ∵ a ? 1,? ln a 1 设 h( x) ? x ? x ln x, x ? 0 ,则 h?( x) ? 1 ? ln x ? x ? ? ln x ,令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1 , x ∴ h( x) 在 (0,1) 上为增函数,在 (1,??) 上为减函数, ∴ h( x) 的最大值为 h(1) ? 1 ,
即 g (a ) 的最大值为 1,此时 a ? e ………………14 分
2


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