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甘肃省武威市凉州区2014届高三下学期第一次诊断考试数学(理)试题Word版含答案


一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每题只有一个正确答案,将 正确答案的序号涂在答题卡上.) 1.若非空集合 A={x| 2a ? 1 ? x ? 3a ? 5 },B={x|3?x?22},则能使 A?B,成立的实数 a 的集 合是 A.{a|6?a?9} B.{a|1?a?9} C.{a|a?9} D.?

2 2.设 z ?

1 ? i ( i 是虚数单位),则 ? z 2 ? z
A. ?1 ? i B. 1 ? i C. 1 ? i D. ?1 ? i 3.等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , S 5 ? 2, S10 ? 6 ,则 a16 ? a17 ? a18 ? a19 ? a 20 ? A.54 B.48 C.32 D.16

1 4 4.已知: a, b 均为正数, ? ? 2 ,则使 a ? b ? c 恒成立的 c 的取值范围是 a b
9? ? A. ? ??, ? 2? ?

B. ?0,1?

C. ?? ?,9?

D. ?? ?,8?

5.执行右面的程序框图,那么输出 S 的值为 A.9 B.10 C.45 D.55

2 m 的值为 6.若 ? 1 0 x ? mx dx ? 0 ,则实数

?

?

A. ?

1 3

B. ?

2 3

C. ?1

D. ?2

? x-y+1≥0, ? 7.若 x,y 满足 ?2 x-y-2≤0, 则 x+2y 的最大值为 ? x+y-4≥0. ?
A.

13 2

B.6

C.11

D.10

8.某几何体的三视图如图所示,则它的侧面积为 A.24 B.24 2 C. 12 5 D.12 3

9、 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A, ? ? 0 ) 的图象如右图所示, 为了得到 g ( x) ? ? A cos?x 的图象,可以将 f ( x) 的图象 A.向右平移 C.向左平移

? ?

12 12

个单位长度 个单位长度

10.下列函数中,在 (0, A. f ( x) ? sin x ? x C. f ( x) ? sin 2 x ? x

?
2

5? 个单位长度 12 5? D.向左平移 个单位长度 12
B.向右平移

) 上有零点的函数是
B. f ( x) ? sin x ?

2

?

x[ x

D. f ( x) ? sin 2 x ?

2

?

11 .若抛物线 y2=x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为 A. ( , ?

1 4

2 ) 4

B. ( , ?
x2 a2 ? y2 b2

1 8

2 ) 4

C. ( ,

1 4

2 ) 4

D. ( ,

1 2 ) 8 4

12.已知双曲线

? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线

与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+ ? ) D. (2,+ ? )

第Ⅱ卷(90 分)
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.在等差数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项的和,且 a1 ? 2 , 的前 n 项的和是__________? 14.已知点 O 为 ?ABC 的外心,且 AC ? 4, AB ? 2 ,则 AO ? BC ? ____________. 15.已知圆 C 的圆心与点 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称,直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=6,则圆 C 的方程为___________. 16.直三棱柱 ABC-A1B1C1 的六个顶点都在球 O 的球面上.若 AB=BC=2,∠ABC=90°, AA1=2 2 ,则球 O 的表面积为____________. 三、 解答题: (本大题共 6 小题, 满分 70 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?1? S2009 S2007 ? ? 2 ,则数列 ? ? 2009 2007 ? Sn ?

2? ) ? 1 ? 2 cos2 x, ?x ? R ? . 3

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间;
B 3 (2) 若 f ( ) ? ? , ,1 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c , b? 2 2

c ? 3,

且 a ? b, 试判断 ?ABC 的形状,并说明理由.

18.(本小题满分 12 分) 为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女生 比例随机抽取 50 名学生进行百米测试, 学生成绩全部都介于 13 秒到 18 秒之间,将测试结果按如下方式分成五组,第一 组 ?13,14 ? ,第二组 ?14,15? ??第五组 ?17,18? ,如右图是按上 述分组方法得到的频率分布直方图. (Ⅰ) 设 x, y 表示样本中两个学生的百米测试成绩,已知 x, y ? ?13,14 ? ? ?17,18? 求事件“ x ? y ? 2 ”的概率; (Ⅱ) 根据有关规定,成绩小于 16 秒为达标.如果男女生使用相同的达标标准,则男 女生达标情况如附表 : 附表: 性别 是否达标 达标 不达标 合计 男 女 合计

a ? 24

b ? ___ _____

c ? ___
______

d ? 12
______

_____

n ? 50

根据附表数据,请通过计算说明能否有 99%的把握认为“体育达标与性别有关”? 附: K 2 ?
n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19.(本小题共 12 分) 如图, △BCD 是等边三角形, AB ? AD , ?BAD ? 90? ,将 △BCD 沿 BD 折叠到
△BC ?D 的位置,使得 AD ? C?B .
A
C′ C

⑴ 求证: AD ? AC? ; ⑵若 M , N 分别是 BD , C?B 的中点,求二面角
N ? AM ? B 的余弦值.
C B D
N A M B D

20. (本小题满分 12 分)已知圆心为 F1 的圆的方程为 ( x+2) 2+y 2=32 ,F2(2,0) ,C 是圆 F1 上的动点,F2C 的垂直平分线交 F1C 于 M. (1)求动点 M 的轨迹方程; (2)设 N(0,2) ,过点 P(-1,-2)作直线 l,交 M 的轨迹于不同于 N 的 A,B 两点,直线 NA,NB 的斜率分别为 k1,k2,证明:k1+k2 为定值.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? (1)若 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 单调区间;

1 ? a ln x ( a 为参数) x

(2)当 x ? ? 0, e ? 时,求函数 f ? x ? 的最小值;

请考生在第 22—24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 22. (本小题满分 10 分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BD、CA 的 延长线相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F. 求证:(1) ?DEA ? ?DFA ; (2)AB2=BE?BD-AE?AC.
? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 ( t 为参数) 23.已知直线 l 的参数方程为 ,曲线 C 的极坐标方程是 ? 2 ?y ? t ? ? 2

??

sin ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系,点 M (?1,0) ,直 1 ? sin 2 ?

线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点. (1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2) 线段 MA,MB 长度分别记为|MA|,|MB|,求 | MA | ? | MB | 的值. 24. (本小题满分 10 分)设关于 x 的不等式 log 2 (| x | ? | x ? 4 |) ? a (1)当 a ? 3 时,解这个不等式; (2)若不等式解集为 R ,求 a 的取值范围;

凉州区 2014 届高三年级第一次诊断考试


一、选择题 二、填空题 ABDAD 13.


BCCBD


BC 14.6

卷(理)答案
15. x ? ? y ? 1? ? 18
2 2

n n ?1

16. 16 ?

??????6 分

π 2π 或 。 3 3 π π π 2π 当 C ? 时, A ? ;当 C ? 时, A ? (不合题意,舍) , 3 2 6 3 所以 ?ABC 为直角三角形
∵0?C ? π, ∴C ? 分

??????12

x, y分别在?13,14? 和?17,18?时有aA, aB, aC , bA, bB, bC六种情况. 所以基本事件总数
为 10, 事件 “ x? y ? 2” 由 6 个基本事件组成. 所以 P ?

6 3 ? .??6 分 10 5

性别 是否达标 达标 不达标 合计

男 a=24 c=8 32
z C

女 b=6 d=12 18

合计 30 20 n=50

(Ⅱ)依题意 2 ? 2 的列联表为:

50 ? (24 ?12 ? 6 ? 8) 2 K ? ? 8.333 32 ?18 ? 30 ? 20
2

2 ,由于 K ? 6.625 ,故有 99%的把握认为“体育

达标与性别有关”. ?????12 分 (19) (共 12 分) (Ⅰ)证明:因为 ?BAD ? 90 w
?

N A
'

所以 AD ? AB , 又因为 C B ? AD ,且 AB ? C B ? B ,
'

D M

y

B x

' ' ' ' 所以 AD ? 平面 C AB ,因为 AC ? 平面 C AB ,所以 AD ? AC . ???4 分

(Ⅱ)因为△ BCD 是等边三角形, AB ? AD , ?BAD ? 90 ,
?

不防设 AB ? 1 ,则 BC ? CD ? BD ? 2 , 又因为 M , N 分别为 BD , C B 的中点,
'

又平面 ABM 的一个法向量为 n ? (0,0,1) .
cos ? m, n ?? m ? n ?1 3 ? ?? m n 3 3 .

所以

3 所以二面角 N ? AM ? B 的余弦值为 3 .

????????????12 分

21.解: (1) f ? ? x ? ? ? 当 a ? 1 时, f ? ? x ? ?

1 a ax ? 1 ? ? 2 ,定义域为 ? 0, ?? ? x2 x x

x ?1 ,令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? 1 x2

所以 f ? x ? 的单调递增区间为 ?1, ?? ? ,单调递减区间为 ? 0,1? ------------------------4 分 (2) f ? ? x ? ? ?

1 a ax ? 1 ? ? 2 x2 x x

①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 对 x ? ? 0, ?? ? 成立,所以 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上单调递减,所以

f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上的最小值为 f ? e ? ?
②当 x ?

1 1 ? a ln e ? ? a e e

1 1 ? 0 ? a ? 0 时, ;令 f ? ? x ? ? 0 ? x ? a a 1 1 ,即 a ? 时,则 f ? ? x ? ? 0 对 x ? ? 0, e ? 成立,所以 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上单 a e

(ⅰ)若 e ?

调递减,所以 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上的最小值为 f ? e ? ? (ⅱ)若 0 ?

1 1 ? a ln e ? ? a e e

1 1 1 ? 1? ?1 ? ? e ? a ? 时, f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? , e ? 单调递增,在 x ? a a e ? a? ?a ?
1 ?1? ? ? a ? a ln a ?a?

处有极小值。所以 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上的最小值为 f ?

综上,得 f ? x ? min

? ?f ? ?? ?f ? ?

?e? ?

1 1? ? ? a?a ? ? e e? ?

1? 1? ?1? ? ? ? a ? a ln ? a ? ? a? e? ?a?

------------------------------------------12 分

22 证明:

(1)连结 AD 因为 AB 为圆的直径,所以∠ADB=90°,又 EF⊥AB,∠EFA=90° 则 A、D、E、F 四点共圆 ∴∠DEA=∠DFA-------------------------------5 分 (2)由(1)知,BD?BE=BA?BF 又△ABC∽△AEF AB AC ∴ ? AE AF 即:AB?AF=AE?AC ∴ BE?BD-AE?AC =BA?BF-AB?AF =AB(BF-AF) 2 =AB -------------10 分
[.Com]

23.解(1)直线 l 的极坐标方程 2 ? cos(? ? 曲线 C 普通方程 y ? x 2

?
4

) ? ?1 ,

??3 分

??5 分

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 2 (2)将 ? 代入 y ? x 2 得 t ? 3 2t ? 2 ? 0 ,??8 分 ?y ? 2 t ? ? 2
| MA | ? | MB |?| t1t 2 |? 2
??10 分


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