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河北省保定市第三中学2015-2016学年高二数学4月月考试题 理


保定三中 2015——2016 学年度第一学期 4 月月考 高二数学(理)试题
考试时 间 120 分钟 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.已知复数 z ? A. 1 ? i 分值 150 分

2i ,则 z 的共轭复数是 1? i
B. 1 ? i C. i



) D. ? i

)

2.等差数列 {an } 的前 n 项和 S n ,若 a1 ? 2, S3 ? 12 ,则 a6 ? (

A.8

B.10

C.12

D.14

?x ? 2 ? 0 ? 3.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 6 y 的最大值为( ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?
(A)3 (B)4 (C)18 (D)40 )



4.设 x ? R ,则“ x ? 2 ? 1 ”是“ x 2 ? x ? 2 ? 0 ”的( (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件

(D)既不充分也不必要条件 ) D.a>b>c

5.设 a = log3 6 , b = log510 , c = log714 ,则( A.c>b>a 6.若 tan ? + B.b>c>a

C.a>c>b )

1 =4,则 sin2 ? =( tan ?

A、

1 5

B、

1 4

C、

1 3

D、

1 2

7.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 ,且双曲线的一个焦点在抛物线 y 2 ? 4 7 x a 2 b2


?

?

的准线上,则双曲线的方程为( (A)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 21 28 28 21 3 4 4 3

8.在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(2, 0, 0) B(2, 2, 0), C (0, 2, 0), D(1,1, 2) .若 S1 , S 2 , S3 分别是三棱锥 D ? ABC 在 xOy, yOz , zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则( A. S1 ? S 2 ? S3 C. S3 ? S1 且 S3 ? S 2 B. S 2 ? S1 且 S 2 ? S3 D. S3 ? S 2 且 S3 ? S1 )
1



9.若 a ? 0 且 a ? 1 ,则函数 y ? (a ? 1) x 2 ? x 与函数 y ? log a x 在同一坐标系内的图像可能是(

10.已知点 P 在曲线 y=

4 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则α 的取值范围是( e ?1
x

)

(A) ?0,

? π? ? ? 4?

(B) ? ,

?π π ? ? ?4 2 ?

(C) ?
2

? π 3π ? ? 3π ? , ? (D) ? , π ? ?2 4 ? ?4 ?


11.设 1 ? x ? 2 ,则
2

ln x ? ln x ? ln x 2 的大小关系是( ,? ? , x ? x ? x2
ln x ? ln x ? ln x2 B、 ?? ? ? 2 x ? x ? x
2

2 ? ln x ? ln x ln x A、 ? ? ? ? x x2 ? x ?

2 ln x ? ln x ? ln x C、 ? ? ? ? 2 x x ? x ?

2

ln x2 ? ln x ? ln x D、 2 ? ? ? ? x x ? x ?

2

?1 ? x ? 1, ( x ? 1) f ( x) ? ? 4 ? ? ln x, ( x ? 1) 则方程 f ( x) ? ax 恰有两个不同的实根时,实数 a 的取值范围是 12.已知函数 (
1 (0, ) e A.
1 1 [ , ) B. 4 e



1 (0, ) 4 C.

1 [ , e) D. 4

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生 中抽取一个容量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4:5:5: 6,则应从一年级本科生中抽取_______名学生. 14. 1 ? i ? i 2 ? i 3 ? ?? ? i 2014 ? 15. . . 时, {an } 的前 n 项和最大.

?

1

?1

( x 2 ? 1 ? x 2 )dx ?

16.若等差数列 {an } 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0, a7 ? a10 ? 0 ,则当 n ? 三、解答题(共 70 分)

17.(本小题满分 10 分)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求角 C 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? x 2 ? ax(a, x ? R) . (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (2)若 f ( x) 在区间 [0, ??) 上单调递增,试求 a 的取值或取值范围

2

19. (本小题满分 12 分)已知 S n 为公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和,且 a1 ? 1 ,S1 , S 2 , S 4 成等比数列. (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式;(Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和. an an ?1

20.(本小题满分 12 分)在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,底面 ABCD 是直角梯 形, AB // CD , ?ADC ? 90? , AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 .

P

D A B

C

(Ⅰ)求证: BC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)设 Q 为侧棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值,使得二面角 Q ? BD ? P 为 45? . 21. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0 ? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? kx , g ( x) ? (1)求函数 g ( x) ?

??? ?

??? ?

3 2 . 2

ln x x

ln x 的单调递增区间; x

(2)若不等式 f ( x) ? g ( x) 在区间(0,+ ?) 上恒成立,求 k 的取值范围; (3)求证:

ln 2 ln 3 ln n 1 ? 4 ??? 4 ? 4 2e 2 3 n

3

保定三中 2015——2016 学年度第一学期 4 月月考 高二数学 (理)答案 1.A【解析】解:因为 z ?

2i 2i(1 ? i) ? ? 1 ? i ,因此共轭复数为 1-i 1 ? i (1 ? i )(1 ? i )
1 ? 3 ? 2d ? 12,? d ? 2 .所以 a6 ? 2 ? (6 ? 1) ? 2 ? 12 .故选 C. 2

2.C 试题分析:假设公差为 d ,依题意可得 3 ? 2 ? 3.C

4.A【解析】 x ? 2 ? 1 ? ?1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? x ? 3 , x 2 ? x ? 2 ? 0 ? x ? ?2 或 x ? 1 ,所以“ x ? 2 ? 1 ”是 “ x 2 ? x ? 2 ? 0 ”的充分不必要 条件,故选 A. 5.D 试题分析: a = log 3 6 = 1 + log 3 2 , b = log510 = 1 + log5 2 , c = log714 = 1 + log7 2 ,又因为

log3 2 ?

lg 2 lg 2 lg 2 , log5 2 ? , log7 2 ? ,所以 a ? b ? c ,故选 D. lg 3 lg 5 lg 7

1 sin ? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ? 1 1 6.D【解析】因为 tan ? ? ? ? ? ? ? 4 ,所以. sin 2? ? . 1 2 tan ? cos ? sin ? sin ? cos ? sin 2? 2

x2 y 2 b b 3 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的渐近线方程为 y ? ? x , 由点 2, 3 在渐近线上, 所以 ? , 2 a a b a 2 双曲线的一个焦点在抛物线 y 2 ? 4 7 x 准线方程 x ? ? 7 上,所以 c ? 7 ,由此可解得 a ? 2, b ? 3 ,所以双曲
7. D 【解析】 双曲线 线方程为

?

?

x2 y 2 ? ? 1 ,故选 D. 4 3

8.D 试题分析:三棱锥 D ? ABC 在平面 xoy 上的投影为 ?ABC ,所以 S1 ? 2 ,

D1 , ?OAD1 , 设 D 在平面 yoz 、 则 D ? ABC 在平面 yoz 、 zox 平面上的投影分别为 D2 、 zox 上的投影分别为 ?OCD2 、
因为 D1 (0,1, 2 ) , D2 (1,0, 2 ) ,所以 S 2 ? S1 ?

2 ,故选 D.

9.A 试题分析:当 a ? 1 时,抛物线开口向上,对数函数单调递增,又抛物线对称轴 x ?

1 ? 0 ,故选 A. 2(a ? 1)

?4e x ?4 ? 4 ? 10.D【解析】 ∵y′= ? x = , ? ′= x 2 ? e ?1 ? ? e ? 1? ex ? 1x ? 2 e
由于 e +
x

1 1 x ≥2 当且仅当 e = x 即 x=0 时等号成立 ,∴-1≤y′<0,即-1≤tanα <0, x e e

由正切函数图象得α ∈ ? , π ? .故选 D. ?4 ?

? 3π

?

4

11.A 试题分析:令 f ( x) ? x ? ln x(1 ? x ? 2) ,则 f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? ? 0 ,所以函数 y ? f ( x)(1 ? x ? 2) 为增函 x x
2

ln x ? ln x ? ln x .又 数,∴ f ( x) ? f (1) ? 1 ? 0 ,∴ x ? ln x ? 0 ? 0 ? ? 1 ,∴ ? ? ? x x ? x ?
2 ln x 2 ln x 2ln x ? x ln x (2 ? x) ln x ? ln x ? ln x ln x ? ? ? ? 0 ,∴ , ? ? ? ? x2 x x2 x2 x x2 ? x ? 2

1 1 ,设切点为 ( x0 , y0 ) ,∴切线方程为 y ? y0 ? ( x ? x0 ) ,∴ x x0 1 1 1 1 y ? ln x0 ? ( x ? x0 ) ,与 y ? ax 相同,∴ a ? , ln x0 ?1 ? 0 ,∴ x0 ? e ,∴ a ? .当直线与 y ? x ? 1 平行 4 e x0 x0 1 1 1 1 1 3 时,直线为 y ? x ,当 x ? 1 时, ln x ? x ? ln1 ? ? 0 ,当 x ? e 时, ln x ? x ? ln e ? e ? 0 ,当 x ? e 时, 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 所以 y ? ln x 与 y ? x 在 (1, e) , 所以直线在 y ? x 和 y ? x ln x ? x ? ln e3 ? e3 ? 0 , (e, e3 ) 上有 2 个交点, 4 4 4 4 e 1 1 之间时与函数 f ( x) 有 2 个交点,所以 a ? [ , ) ,故选 B. 4 e
12.B 试题分析:∵ y ? ln x ,∴ y ' ? 13.60. 14. i 试题分析:由 i ? ?1 , i
2

4n

? 1, i

4 n ?1

? i ,i

4n?2

? ?1 i

4 n ?3

? ?i ,又 2014 ? 4 ? 503 ? 2 ,可得

1 ? i ? i ? i ? ?? ? i
15. ?

2

3

2014

?i.

1 1 2 ? 1 2 .试题分析: ? x 2 dx ? x 3 |1 ,而根据定积分的定义可知 1 ? x 2 dx 表示圆心在原点的单位圆上 ? ?1 ? ? 1 ? 1 3 2 3 3 1 2 ? 2 ? 半部分半圆的面积,∴ ? ( x ? 1 ? x 2 )dx ? ? ,故填: ? . ?1 3 2 3 2

16.8 试题分析: 由等差数列的性质,a7 ? a8 ? a9 ? 3a8 ,a8 ? 0 , 又因为 a7 ? a10 ? 0 , 所以 a8 ? a9 ? 0 所以 a9 ? 0 , 所以 S8 ? S 7 , S8 ? S 9 ,故数列 {an } 的前 8 项最大. 17. C=

? 6

【解析】解:因为

cos(A ? C) ? cos B ? 1,? cos(A ? C) ? cos(A ? C) ? 1, ? 2sin A sin C ? 1 ? ? a ? 2c ? sin A ? 2sin C a>c,所以 A>C,所以 C 为锐角, C= 6 1 1 2 联立方程组可知 sin C= ? sin C= 4 2 ? 5? ? C= 或 6 6 18.(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ,∴ f / ( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 1 ,
令 f / ( x) ? 0 ,则 x1 ?

1 , x2 ? ?1 , 3

x 、 f / ( x) 和 f ( x) 的变化情况如下表

5

x
f / ( x)
f ( x)

(??, ?1)

?1

1 (?1, ) 3
?

1 3
0 极小值

1 ( , ??) 3
+

+

0 极大值

?

f (?1) ? 1

?

1 5 f( )?? 3 27

?

即函数的极大值为 1,极小值为 ? (2) f ?( x) ? 3ax 2 ? 2 x ? a ,

5 ; 27

若 f ( x) 在区间 [0, ??) 上是单调递增函数, 则 f ?( x ) 在区间 [0, ??) 内恒大于或等 于零 若 a ? 0 ,这不可能, 若 a ? 0 ,则 f ( x) ? x 2 符合条件,

若 a ? 0 ,则由二次函数 f ?( x) ? 3ax 2 ? 2 x ? a 的性质知

? 2 ?a ? 0 ?? ? 0 ,即 ? ,这也不可能, ? 3a a?0 ? ? ? f (0) ? ?a ? 0
所以 a ? 0 19.试题解析:(Ⅰ)由已知,得 S 2 2 ? S1 ? S 4 ,即 a1 ( 4a1 ? 6d ) ? ( 2a1 ? d ) 2 得 2a1d ? d 2 又由 a1 ? 1 ,

d ?0

得 d ? 2 ,故 a n ? 2n ? 1 n ? N ,;

?

(Ⅱ)由已知可得 bn

?

1 , (2n ? 1)( 2n ? 1)

Tn ?

1 1 1 1 ? ? ??? 1? 3 3? 5 5 ? 7 ( 2n ? 1)( 2n ? 1)

?

n 1? 1 1 1 1 1 1 1 ? , n? N? ? ( 1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? ? 2? 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 n ? 1

20.试题分析(Ⅰ)平面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,所以 PD ? 平面 ABCD , 所以 PD ? AD , 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz .

P D A x

z Q C B
6

y

则 A(1, 0, 0), B (1,1, 0), C (0, 2, 0), P(0, 0,1). DB ? (1,1, 0) , BC ? (?1,1, 0) ,所以 BC ? DB ? 0 , BC ? DB ,又由

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

PD ? 平面 ABCD ,可得 PD ? BC ,所以 BC ? 平面 PBD . ??? ? (Ⅱ)平面 PBD 的法向量为 BC ? (?1,1, 0) ,

??? ? ??? ? ??? ? PC ? (0, 2, ?1) , PQ ? ? PC , ? ? (0,1) 所以 Q(0, 2? ,1 ? ? ) ,
设平面 QBD 的法向量为 n = (a, b, c) , DB ? (1,1, 0) , DQ ? (0, 2? ,1 ? ? ) , 由 n ? DB ? 0 , n ? DQ ? 0 ,所以, ?

??? ?

????

??? ?

????

?a ? b ? 0 , ?2?b ? (1 ? ? )c ? 0
2 2 2?( 2? 2 ) ? ?1 ? 2 , 2

??? ? 2? n ? BC ? ) , 所以 cos 45 ? 所以 n = (?1,1, ??? ? ? ? ?1 n BC
注意到 ? ? (0,1) ,得 ? ?

2 ? 1.
0?c?2 2 ? 3 2 结合 c ? 0 , 2

21. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4cy ,由 解得 c ? 1 . 所以抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y . (Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y ,即 y ? 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? (其中 y1 ? 所以切线 PA 的方程为 y ? y1 ?

1 1 2 x ,求导得 y? ? x 2 4

x12 x2 1 1 , y2 ? 2 ),则切线 PA, PB 的斜率分别为 x1 , x2 , 2 2 4 4

x x2 x1 ? x ? x1 ? ,即 y ? 1 x ? 1 ? y1 ,即 x1 x ? 2 y ? 2 y1 ? 0 2 2 2

同理可得切线 PB 的方程为 x2 x ? 2 y ? 2 y2 ? 0 因为切线 PA, PB 均过点 P ? x0 , y0 ? ,所以 x1 x0 ? 2 y0 ? 2 y1 ? 0 , x2 x0 ? 2 y0 ? 2 y2 ? 0 所以 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 为方程 x0 x ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 . (Ⅲ) 由抛物线定义可知 AF ? y1 ? 1 , BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 联立方程 ?

? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ?x ? 4 y
2

,消去 x 整理得 y 2 ? 2 y0 ? x0 2 y ? y0 2 ? 0

?

?

由一元二次方程根与系数的关系可得 y1 ? y2 ? x0 2 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0 2 所以 AF ? BF ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? y0 2 ? x0 2 ? 2 y0 ? 1
7

又点 P ? x0 , y0 ? 在直线 l 上,所以 x0 ? y0 ? 2 ,

1? 9 ? 所以 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 ? 2 y0 ? 5 ? 2 ? y0 ? ? ? 2? 2 ?
2 2 2

2

所以当 y0 ? ?

1 9 时, AF ? BF 取得最小值,且最小值为 . 2 2

22.试题分析:解:(1)∵ g ( x) ? ∴ g ?( x) ?

ln x ( x ? 0) x

1 ? ln x x2

令 g ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? e

故函数 g ( x) ? (2)由 kx ?

ln x 的单调递增区间为 (0, e) x

ln x ln x ln x ,得 k ? 2 , 令h( x) ? 2 x x x

则问题转化为 k 大于等于 h( x) 的最大值 又 h ?( x) ?

1 ? 2 ln x x3

令 h?( x) ? 0时,x ?

e

当 x 在区间(0,+ ? )内变化时, h ?( x ) 、 h( x) 变化情况如下表:

x
h ?( x) h( x )

(0, e ) + ↗ 0

e

( e ,+ ? ) — ↘

1 2e

由表知当 x ?

e 时,函数 h( x) 有最大值,且最大值为

1 2e

因此 k ?

1 2e

(3)由(2)知

1 1 1 ln x ln x ? ? ? ( x ? 2) ,∴ 2 4 2e 2e x 2 x x



ln 2 ln 3 ln n 1 1 1 1 ? 4 ??? 4 ? ( 2 ? 2 ??? 2 ) 4 2e 2 2 3 n 3 n

又∵

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? ? ??? 2 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 2 3 n
1 2 1 2 1 3 1 1 1 ? ) ? 1? ? 1 n ?1 n n


= (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? (

ln 2 ln 3 ln n 1 ? 4 ??? 4 ? 4 2e 2 3 n

8


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