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湖南省常德市淮阳中学2013-2014学年高一数学上学期期中试题新人教A版


常德淮阳中学 2013-2014 学年上学期期中考试高一数学试卷
时量: 120 分钟 满分: 150 分 一 选择题:共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。每小题只有一项是符合题目要求的。 1、 设集合 U={1,2,3,4,5,6}, M={1,3,5} 则 CU M ? A {2,4,6} 2、设集合 M ? {x A.{0} 3、函数 B {1,3,5

} C {1,2,4} D .U ( ) ( )

x 2 ? 6 x ? 5 ? 0} , N ? {x x 2 ? 5 x ? 0} ,则 M ? N =
C.{0,-1,-5} D.{0,1, 5}

B.{0,5} 的定义域是

y ? 2x ? 1





1 A. ( , ??) 2
x

1 B. [ , ??) 2

1 C. (??, ) 2

1 D. (??, ] 2
( )

4、函数 y ? a ? 2(a ? 0且a ? 1) 图象一定过点 A (0,1)
9 8 3

B (1,0)
3 -  2
2

C (0,3)

D(3,0) ( )

?1? 5、计算: log 2 ? log + ? ? ?9?
A 49 B

+ 64 3 = C 41 D 31

23

6、使得函数 f ( x ) ? ln x ? A (0,1)

1 x ? 2 有零点的一个区间是 2
B (1,2) C (2,3) D (3,4)

(

)

7、设 f ( x) ? lg A C

x ?1 1 ,g ( x) ? e x ? x ,则 x ?1 e
B f(x)是奇函数,g(x)是偶函数 D f(x)是偶函数,g(x)是奇函数

(

)

f(x)与 g(x)都是奇函数 f(x)与 g(x)都是偶函数

8、若 a ? 20.5 , b ? log π 3 , c ? log 2 0.5 ,则 A

( C



b?a?c

B

b?a?c

c ?a ?b

D

a ?b?c

9、 “龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一 觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达 了终点?用 S1、S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间, 则与故事情节相吻合是 ( )

1

10、若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数” , 那么解析式为 y ? 2 x ? 1, 值域为{1, 7}的 “孪生函数” 的所有函数值的和等于 (
2



A.32

B.64

C.72

D. 96

二 填空题:共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 11、设集合 A ? {x |1 ?
2

x ? 2}, B ? {x | x ? a}. 若 A ? B, 则 a 的范围是
.

12、已知 f ( x ? 1) ? x ,则函数的解析式 f ( x) ?

13、 已知幂函数 f ( x) 的图象过 ( 2, 14、 函数 y ? log 1 x
2

2 ) , 则 f (4) ? 2

的定义域是

15、计算:

2log3 2 ? log3

32 ? log3 8 ? 5log5 3 = 9

16、若函数 f ( x ? 1) 为奇函数, 函数 f ( x ? 1) 为偶函数,且 f (0) ? 2 ,则 f (4) ?

三、解答题 :共 6 小题,满分 70 分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

( x ? ?1) ? x ? 2    ? 2 (?1 ? x ? 2) 。 17、 (10 分)已知函数 f ( x) ? ? x     ?2 x    ( x ? 2) ?
(1)求 f (?4) 、 f (3) 、 f [ f (?2)] 的值; (2)若 f (a) ? 10 ,求 a 的值.

18、(10 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2, x ? ? ?5,5? .
2

① 当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值; ② 求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数。
2

19、 (12 分) (1)画出函数 f ( x) ? x ( x ? 4) 的图象并指出单调区间; (2)利用图象讨论:关于 x 方程 f ( x) ? a ( a 为常数)解的个数?

20、 (12 分)某商家经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品,据市场分析,若按每千克 50 元销售,一个月能售出 500kg;销售单价每涨 1 元,月销售量就减少 10kg, 针对这种销售情况, (1)设销售单价为每千克 x 元,月销售利润为 y 元,求 y 与 x 的函数关系式; (2) 商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下,使得月销售利润不少于 8000 元,销售单价应定为多少元时,利润最大?

21、 (13 分)已知函数 f ( x) ?

a 2x (a为常数) ? x 2 2 ?1

(1) 是否存在实数 a ,使函数 f ? x ? 是 R 上的奇函数,若不存在,说明理由,若存在 实数 a ,求函数 f ? x ? 的值域; (2)探索函数 f ? x ? 的单调性,并利用定义加以证明。

22、(13 分) 已知函数 f ( x) 的定义域为 R ,并满足:(1)对于一切实数 x ,都有 f ( x) ? 0 ; (2)对任意的 x, y ? R, f ( xy) ? [ f ( x)] ;
y

(3) f ( ) ? 1 ;

1 3

利用以上信息求解下列问题: (1)求 f (0) ; (2)证明 f (1) ? 1且f ( x) ? [ f (1)] ;
x
x x x ?1 (3)若 f (3 ) ? f (9 ? 3 ? 2 K ) ? 0 对任意 x ? [0,1] 恒成立,求实数 K 的取值范围。

3

常德淮阳中学 2013-2014 学年上学期期中考试高一数学试题 参考答案 时量: 120 分钟 满分: 150 分 组题: 杨模祥 一 选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。每小题只有一项是符合题目要求的。 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 A 6 C 7 B 8 D 9 B 10 D

二 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分

考场号_________座位号

11.

[2,??)

12。 f ( x) ?

( x ?1)

2

13.

1 2

14.

?0,1?

15。

-1

16.

-2

三 解答题 :共 6 小题,满分 70 分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 题(10 分) . 解: (1) f (?4) =-2, f (3) =6, f [ f (?2)] = f (0) ? 0 (2)当 a ≤-1 时, a +2=10,得: a =8,不符合; 当-1< a <2 时, a =10,得: a = ? 10 ,不符合;
2

班级_____________

a ≥2 时,2 a =10,得 a =5,
18 题(10 分) .

所以, a =5

姓名______________

解: (1)a ? ?1, f ( x) ? x ? 2 x ? 2, 对称轴 x ? 1, f ( x)min ? f (1) ? 1, f ( x)max ? f (5) ? 37
2

∴ f ( x)max ? 37, f ( x) m in ? 1 (2)对称轴 x ? ?a, 当 ?a ? ?5 或 ?a ? 5 时, f ( x) 在 ? ?5,5? 上单调 ∴ a ? 5 或 a ? ?5 。

19 题(12 分) 解



4

单调增区间:(-?,0]、[2,+?) 单调减区间:[0,2]..............................6分
(2)当a<-4或a>0时, f ( x) ? a 有1个解 当a=-4或a=0时, f ( x) ? a 有2个解 当-4<a<0时,
20 题(12 分)

f ( x) ? a 有3个解........................... .10分

19、解: (1) y ? ( x ? 40)[500 ? 10( x ? 50)] ? ?10 x 2 ? 1400 x ? 40000 ????? 4分 (2)由题意可得 ? 40[500 ? 10( x ? 50)] ? 10000 ????? 8分 ? 2 ? ?10 x ? 1400 x ? 40000 ? 8000 解得: 75 ? x ? 80 ? y ? ?10 x 2 ? 1400 x ? 40000在[75,80]上单调递减 ? 销售单价应该定为75元. ?????12分

21 题(13 分)

5

21、解:(1)若 f ( x ) 是 R 上的奇函数,则有 a 1 ? ? 0 ? a ? 1????? 2分 2 1?1 下证a ? 1符合题意: f (0) ? f ( x) ? 1 2x 2x ?1 ? x = 定义域是R, 关于原点对称, 2 2 ? 1 2(2 x ? 1) 2? x ? 1 2x ?1 ? ? ? ? f ( x) 2(2 ? x ? 1) 2(2 x ? 1)

对任意 x ? R f (? x) ?

所以 f ( x ) 是 R 上的奇函数.因此a ? 1.????? 4分 2x ?1 ?2 y ? 1 由y? 得 2x ? x 2(2 ? 1) 2 y ?1 ?2 y ? 1 1 1 ? 2 x ? 0, ? ? 0, 解得 ? ? y ? 2 y ?1 2 2 1 1 ? f ( x )值域为 ( ? , ) ????? 7分 2 2

(2)设 x1 , x2 是 R 上任意两个实数,且x1 ? x2,则 1 2 x1 1 2 x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? ? 2 2 ? 1 2 2 x2 ? 1 2 x2 2 x1 2 x2 ? 2 x1 ? x2 ? ? 2 ? 1 2 x1 ? 1 (2 x2 ? 1)(2 x1 ? 1) ? y ? 2 x 是 R 上的增函数 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 1 ? 0, 2 x1 ? 1 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x )是 R 上的减函数.?????12分

22 题(13 分)

6

22、(1)解:令 x ? 0, y ? 0,由(1)知 f (0) ? 0 由(2)知 f (0) ? f (0 ? 0) ? [ f (0)]0 ? 1????? 2分 1 1 (2)证明: ? f (1) ? f ( ? 3) ? [ f ( )]3 3 3 1 又? f ( ) ? 1 3 ? f (1) ? 1 ? 对任意实数x, f ( x) ? f (1? x) ? [ f (1)]x ????? 5分 (3)解:? f (1) ? 1,? f ( x) ? [ f (1)]x 是 R 上增函数????? 7分 ? f (3x ) ? f (9 x ? 3x ?1 ? 2k ) ? 0对任意 x ? [0,1] 恒成立 ? 3x ? 9 x ? 3x ?1 ? 2k 即2k ? 9 x ? 4 ? 3x 对任意 x ? [0,1] 恒成立. ? 9 x ? 4 ? 3x 在[0,1] 上的最大值为 ? 3 ? 2 k ? ?3 3 ? k ? (??, ? ) ?????12分 2
k ?(? 3 ,??) 2 ?????13 分

更正:

7


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